论文部分内容阅读
古亚细亚寓言中的亚历山大王在面对奇形怪状地纠缠起来的结子时，手起剑落，砍开这个奇异的“高尔丁死结”，以他的智慧和魄力让人们钦佩。而作为一名数学老师，肩负的重要职责之一就是开启学生的数学智慧，教会学生用智慧的方法高效地解决生活及数学学习中的问题。
在我看来函数思想在解题中，尤其是在解一些表面上看来与函数无关的问题，往往可收到意想不到的效果，加之函数是中学数学的重要内容之一，有关函数的综合能力题题源十分丰富，涉及的知识面比较广，解法灵活多样，是历年高考命题的一个常考常新的话题，所以不防暂时把它看作解某些数学“高尔丁死结”题的“亚历山大之剑”。
一、用函数思想巧解不等式
正如亚历山大初次面对“高尔丁死结”的情形，有些不等式如果采用常规方法，往往不易下手或比较冗繁，但如果换个角度，像亚历山大一样不去按常规方法思考，而是从函数思想考虑，按照函数的某些性质适当的构造函数，问题可能很容易解决。
例：若不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立，求x取值范围。
【解析】：原不等式(x2-1)m -（2x-1）<0，
令f(m)= (x2-1)m -（2x-1） (-2≤m≤2)
則根据题意有 即 ,
解得
反思：从表面上看，这是一个关于x的一元二次不等式，实际上是一个关于m的一元一次不等式，然后利用分类讨论思想，这样本题的解决将特别麻烦，若将m∈[-2,2]视为主元，转变为函数f(m)= (x2-1)m -（2x-1） (-2≤m≤2)，则利用函数的观点来解决比较简便。
二、用函数思想巧解数列题
数列是一种特殊的函数，因而用函数某些知识可以使有些数列问题得到有效解决。如涉及到数列最值问题时，可借助目标函数，运用求导或函数单调性得解。
例：已知数列 满足 则 的最小值为__________.
【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以 ，设，令，则 在 上是单调递增，在 上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时 有最小值。
又因为 ， ，所以 的最小值为
反思：本题考查了递推数列的通项公式的求解，得到 与n的关系，从而构造成函数，然后利用导数判断函数单调性，最终将求数列最值转化为利用函数单调性求出最值。
三、用函数思想智解解析几何题
对于动态的解析几何问题，如果存在两个互相联系，互相制约的变量。我们常常把其中一个看成自变量，另一个看成自变量的函数，通过明确函数解析式，利用函数思想来研究、处理。
例：设0<θ< ，曲线x2sinθ+ y2cosθ=1和x2cosθ－y2sinθ=1有4个不同的交点。证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。
解：联立两曲线方程解得x2=cosθ+sinθ
y2=cosθ－sinθ
此方程组有4个解且x2>0，y2>0，故0<θ< ，又4个交点坐标满足
x2+y2=2cosθ，所以4个交点在半径r = (0<θ< )的圆上，又cosθ在
(0， )上是减函数，故由cos0=1，cos = 知r的取值范围为( ， )。
反思：本题考查了三角函数的恒等变换，同时也考查了函数的单调性，从而利用函数单调性来求出函数的值域，所以掌握函数思想对解这类题很方便。
四、用函数思想速解应用题
数学应用题往往需要我们对问题的有关信息和数据进行分析、加工，选择某种可控制的因素作为变量，建立恰当的函数模型，再进行解模使问题获解，因此对函数模型的有效分析成为解题不可缺少的环节。全面认清次函数模型的特征，才能灵活自如的解应用题。
例：某租赁公司拥有汽车100辆。当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未出租的车每辆每月需要维护费50元。问当每辆车的月租金定为多少时？租赁公司月收益最大？最大月收益多少？
分析：建立目标函数，通过求函数最值解决问题。设每辆车的月租金定为x元时，则租赁公司的月收益y是x的函数。
解：设每辆车的月租金定为x元，
则租赁公司的月收益为 ,
整理得： 。
所以，当x=4050时，f(x)最大，其最大值为f(4050)=307050。即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元
反思：本题贴近生活，要求学生读懂题目，迅速准确地建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。同时从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域并结合问题的实际意义做出回答。
解数学题不同于文学上的赏风景，要“窈窕寻壑”，还要“崎岖经丘”，而是要在较短时间里直接有效地达到目的，那复杂的“高尔丁死结”， 所有试图解开的人都无一例外地以失败而告终，这样的失败我们的学生是不能屡屡承受的。所以，我们要帮学生找到最有效的解决问题的方式。函数在高中数学、其他学科及现实生活中广泛而有效的应用证明，只要我们夯实基础、拓宽思路，沟通知识间的纵横联系，以函数的性质、概念为理论依据，把握基本初等函数的性质及其他数学知识，借助数量代换、化归转化等，就可以把函数思想当作解题的“亚历山大之剑”，透过表面现象，抓住问题的本质，在合理构造函数的基础上，深刻分析并挖掘函数的特点，使问题甚至那些如“高尔丁死结”那样的难题有效得到解决。
在我看来函数思想在解题中，尤其是在解一些表面上看来与函数无关的问题，往往可收到意想不到的效果，加之函数是中学数学的重要内容之一，有关函数的综合能力题题源十分丰富，涉及的知识面比较广，解法灵活多样，是历年高考命题的一个常考常新的话题，所以不防暂时把它看作解某些数学“高尔丁死结”题的“亚历山大之剑”。
一、用函数思想巧解不等式
正如亚历山大初次面对“高尔丁死结”的情形，有些不等式如果采用常规方法，往往不易下手或比较冗繁，但如果换个角度，像亚历山大一样不去按常规方法思考，而是从函数思想考虑，按照函数的某些性质适当的构造函数，问题可能很容易解决。
例：若不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立，求x取值范围。
【解析】：原不等式(x2-1)m -（2x-1）<0，
令f(m)= (x2-1)m -（2x-1） (-2≤m≤2)
則根据题意有 即 ,
解得
反思：从表面上看，这是一个关于x的一元二次不等式，实际上是一个关于m的一元一次不等式，然后利用分类讨论思想，这样本题的解决将特别麻烦，若将m∈[-2,2]视为主元，转变为函数f(m)= (x2-1)m -（2x-1） (-2≤m≤2)，则利用函数的观点来解决比较简便。
二、用函数思想巧解数列题
数列是一种特殊的函数，因而用函数某些知识可以使有些数列问题得到有效解决。如涉及到数列最值问题时，可借助目标函数，运用求导或函数单调性得解。
例：已知数列 满足 则 的最小值为__________.
【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以 ，设，令，则 在 上是单调递增，在 上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时 有最小值。
又因为 ， ，所以 的最小值为
反思：本题考查了递推数列的通项公式的求解，得到 与n的关系，从而构造成函数，然后利用导数判断函数单调性，最终将求数列最值转化为利用函数单调性求出最值。
三、用函数思想智解解析几何题
对于动态的解析几何问题，如果存在两个互相联系，互相制约的变量。我们常常把其中一个看成自变量，另一个看成自变量的函数，通过明确函数解析式，利用函数思想来研究、处理。
例：设0<θ< ，曲线x2sinθ+ y2cosθ=1和x2cosθ－y2sinθ=1有4个不同的交点。证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围。
解：联立两曲线方程解得x2=cosθ+sinθ
y2=cosθ－sinθ
此方程组有4个解且x2>0，y2>0，故0<θ< ，又4个交点坐标满足
x2+y2=2cosθ，所以4个交点在半径r = (0<θ< )的圆上，又cosθ在
(0， )上是减函数，故由cos0=1，cos = 知r的取值范围为( ， )。
反思：本题考查了三角函数的恒等变换，同时也考查了函数的单调性，从而利用函数单调性来求出函数的值域，所以掌握函数思想对解这类题很方便。
四、用函数思想速解应用题
数学应用题往往需要我们对问题的有关信息和数据进行分析、加工，选择某种可控制的因素作为变量，建立恰当的函数模型，再进行解模使问题获解，因此对函数模型的有效分析成为解题不可缺少的环节。全面认清次函数模型的特征，才能灵活自如的解应用题。
例：某租赁公司拥有汽车100辆。当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未出租的车每辆每月需要维护费50元。问当每辆车的月租金定为多少时？租赁公司月收益最大？最大月收益多少？
分析：建立目标函数，通过求函数最值解决问题。设每辆车的月租金定为x元时，则租赁公司的月收益y是x的函数。
解：设每辆车的月租金定为x元，
则租赁公司的月收益为 ,
整理得： 。
所以，当x=4050时，f(x)最大，其最大值为f(4050)=307050。即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元
反思：本题贴近生活，要求学生读懂题目，迅速准确地建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。同时从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域并结合问题的实际意义做出回答。
解数学题不同于文学上的赏风景，要“窈窕寻壑”，还要“崎岖经丘”，而是要在较短时间里直接有效地达到目的，那复杂的“高尔丁死结”， 所有试图解开的人都无一例外地以失败而告终，这样的失败我们的学生是不能屡屡承受的。所以，我们要帮学生找到最有效的解决问题的方式。函数在高中数学、其他学科及现实生活中广泛而有效的应用证明，只要我们夯实基础、拓宽思路，沟通知识间的纵横联系，以函数的性质、概念为理论依据，把握基本初等函数的性质及其他数学知识，借助数量代换、化归转化等，就可以把函数思想当作解题的“亚历山大之剑”，透过表面现象，抓住问题的本质，在合理构造函数的基础上，深刻分析并挖掘函数的特点，使问题甚至那些如“高尔丁死结”那样的难题有效得到解决。