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概率与统计以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中占有重要地位. 从近几年特别是2010年的高考试题分析，本章内容的考查形式与特点是：（1）选择题、填空题主要考查抽样方法，总体分布的估计等内容，一般在每份试卷中有1~2题，多为容易题和中档题. 抽样方法的试题中主要考查各种抽样方法的定义和特点以及有关数据计算，在总体分布的估计中考查频率分布直方图等的识图与计算. （2）解答题中主要将离散型随机变量的分布列、期望、方差和各种概率的计算融合在一起进行考查，这是当前高考的热点内容，能很好地考查分析问题的能力.
为此复习中我们要有如下对策:（1）重视基础知识的理解和掌握，弄清一些基本概念，如：等可能性事件、互斥事件、独立事件，随机事件的分布列、期望、方差，抽样方法等. （2）把握基本题型、基本思想，本部分内容的题型主要有三种，一是各种概率的计算；二是随机变量的分布列、期望等的运算及其应用；三是抽样方法和总体分布的估计. （3）注意解题步骤规范性的训练，特别是概率应用题的解答.
例1 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，[n]个白球. 在甲、乙两袋中各任取2个球.
（1）若[n=3]，求取到的4个球全是红球的概率；
（2）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为[34]，求[n].
解 （1）记“取到的4个球全是红球”为事件[A]. [P(A)=C22C24⋅C22C25=16⋅110=160.]
（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件[B]，“取到的4个球只有1个红球”为事件[B1]，“取到的4个球全是白球”为事件[B2]. 由题意，得
[P(B)=1-34=14.] [P(B1)=C12⋅C12C24⋅C2nC2n+2+C22C24⋅C12⋅C1nC2n+2][=2n23(n+2)(n+1);]
[P(B2)=C22C24⋅C2nC2n+2][=n(n-1)6(n+2)(n+1);]
所以[P(B)=P(B1)+P(B2)]
[=2n23(n+2)(n+1)+n(n-1)6(n+2)(n+1)][=14]，
化简，得[7n2-11n-6=0,]解得[n=2]，或[n=-37]（舍去），故[n=2].
点评 本题属于古典概率，已知概率的结果，利用方程的思想逆求出[n]是该题的关键.
例2 某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”，要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中某人一次抽到2张“世博会吉祥物海宝”卡才能获奖，当某人获奖或者盒中卡片抽完时游戏终止.
（1）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽’卡?”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为[2528.]”请你回答：有几张“世博会会徽”卡呢?
（2）在（1）的条件下，甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取. 用随机变量[ξ]表示游戏终止时总共抽取的次数（注意，一次抽取的是两张卡片），求[ξ]的分布列和数学期望.
解 （1）设盒子中有“会徽卡”[n]张，依题意有，[1-C2nC28=2528]，解得[n=3]，即盒中有“会徽卡”3张.
（2）因为[ξ]表示游戏终止时，所有人共抽取卡片的次数，所以[ξ]的所有可能取值为1，2，3，4.
[P(ξ=1)=C25C28=514;]
[P(ξ=2)=C23C28⋅C25C26+C13⋅C15C28⋅C24C26=27;]
[P(ξ=3)=C23C28⋅C11⋅C15C26⋅C24C24+C13⋅C15C28⋅C22C26⋅C24C24]
[+C13⋅C15C28⋅C12⋅C14C26⋅C23C24=314]；
[P(ξ=4)=C13⋅C15C28⋅C12⋅C14C26⋅C11⋅C13C24⋅C22C22=17.]
随机变量[ξ]的分布列为：
[[ξ]&1&2&3&4&[P]&[514]&[27]&[314]&[17]&]
[∴ξ]的数学期望为
[Eξ=1×514+2×27+3×314+4×17=57.]
点评 求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差. 对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.
例3 已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数据：
[年份&1985&1986&1987&1988&1989&1990&1991&1992&x(kg)&70&74&80&78&85&92&90&95&y(t)&5.1&6.0&6.8&7.8&9.0&10.2&10.0&12.0&]
[年份&1993&1994&1995&1996&1997&1998&1999&x(kg)&92&108&115&123&130&138&145&y(t)&11.5&11.0&11.8&12.2&12.5&12.8&13.0&]
（1）求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关；（2）若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量.
解 （1）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
[i&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&[xi]&70&74&80&78&85&92&90&95&92&108&115&123&130&138&145&[yi]&5.1&6.0&6.8&7.8&9.0&10.2&10.0&12.0&11.5&11.0&11.8&12.2&12.5&12.8&13.0&[xiyi]&357&444&544&608.4&765&938.4&900&1140&1058&1188&1357&1500.6&1625&1766.4&1885&]
[x=151515=101]，[y=151.715=10.11]，
[i=115x2i=161125]，[i=115y2i=1628.55]，
[i=115xiyi=16076.8.]故蔬菜产量与放用氮肥量的相关系数
[r=16076.8-15×101×10.11(161125-15×1012)(1628.55-15×10.112)≈0.8643.]由于[n=15]，故自由度为15-2=13. 由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0. 05及自由度13相关系数临界值[r0.05=0.514]，则[r>r0.05]，从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系.
（2）设所求的回归直线方程为[y=bx+a]，则[b=i=115xiyi-15xyi=115x2i-15x2=16076.8-15×101×10.11161125-15×1012≈0.0937,]
[a=y-bx=10.11-0.0937×101≈0.6463]，
∴回归直线方程为
[y=0.0937x+0.6463.]
当[x=150]时，[y=14.701(t)].
点评 1. 根据公式[r=i=1nxiyi-nxy(i=1nx2i-nx2)(i=1ny2i-ny2)]计算[r]的值，检验所得结果：如果[|r|≤r0.05]，那么可以认为[y]与[x]之间的线性相关关系不显著，从而接受统计假设. 如果[|r|>r0.05]，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了. 这个小概率事件的发生使我们有理由认为[y]与[x]之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就表明可以认为[y]与[x]之间具有线性相关关系. 2. 求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算. 如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到[i=1nxi]，[i=1nyi]，[i=1nx2i]，[i=1ny2i]，[i=1nxiyi]这些量，也就无需有制表这一步，直接算出结果就行了. 另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理.
例4 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是 .
[频率/组距][产品数量][45 55 65 75 85 95][0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0]
解析 20×(0.040×10＋0.025×10)＝13.
点评 此考点在高考中常常是结合一些实际问题考查频率分布表与频率分布直方图，同时考查识图、用图的能力. 主要题型：（1）根据表或图中数据求解限制条件下的个体频数与频率、参数等相关的数据；（2）频率分布表与频率分布表或直方图的完善. 解答此类问题主要有三条途径：①利用所有分组对应的频率之和为1；②利用公式：频率＝条形图的面积＝纵坐标×横坐标，或利用公式频数＝样本容量×频率；③利用频率分布图中相关数据.
专题训练七
一、选择题
1. 对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程[y=bx+a]中，回归系数[b]（ ）
A. 可以小于0 B. 大于0
C. 能等于0 D. 只能小于0
2. 两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图，则有（ ）
A. μ1<μ2，σ1<σ2 B. μ1<μ2，σ1>σ2
C. μ1>μ2，σ1<σ2 D. μ1>μ2，σ1>σ2
[0.5 1.0][-1.0 -0.5][1.6
1.2
0.8
0.4]
3. 同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为[ξ]，则[ξ]的数学期望是（ ）
A. 20 B. 25
C. 30 D. 40
4. 已知一组数据[x1]、[x2]、[x3]、[x4]、[x5]的平均数是[x]= 2，方差是[13]，那么另一组数据3[x1]-2、3[x2]-2、3[x3]-2、3[x4]-2、3[x5]-2的平均数和方差分别为( )
A. 2,[13] B. 2,1
C. 4,[13] D. 4,3
5. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为[x、y]、10、11、9. 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则[｜x－y｜]的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况. 若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为（ ）
A. 3,2 B. 2,3 C. 2,30 D. 30,2
7. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为[a、b，]则椭圆[x2a2+y2b2=1]的离心率[e>32]的概率是（ ）
A. [118] B. [536] C. [16] D. [13]
8. 有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）
A. [14] B. [13] C. [12] D. [15]
9. 某年度大学学科能力测验有12万名学生参加，各学科成绩采用15级分，数学学科能力测验成绩分布图如图. 数学成绩级分高于11分的考生（最接近的）人数是（ ）.
[级分 ] [14
12
10
8
6
4
2][0 1 2 3 4 5 6 7 8 9][10 11 12 13 14 15][人数百分比]
A. 4000人 B. 10000人
C. 15000人 D. 20000人
10. 将4个不相同的小球放入编号为1、2、3的3个盒子中，当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰有两个和谐盒的概率为（ ）
A. [281] B. [481] C. [1281] D. [1681]
二、填空题
11. 某中学有1000人参加并且高考数学成绩近似地服从正态分布[N100,102]，求此校数学成绩在120分以上的考生人数 （Φ(2)≈0.977）.
12. 在[1,2,⋯,2006]中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 .
13. 给出下列关系：①正方形的边长与面积之间的关系；②某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系；③人的身高与视力之间的关系；④雾天的能见度与交通事故的发生率之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系. 其中具有相关关系的是 .
14. 在集合M＝{0，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对任意[x∈A]，则[1x∈A]”的集合的概率是 .
15. 由于电脑故障，使得随机变量[X]的分布列中部分数据丢失(以“[x，y]”代替)，其表如下：
[X&1&2&3&4&5&6&P&0.20&0.10&0.x5&0.10&0.1y&0.20&]
则丢失的两个数据依次为 .
三、解答题
16. 将数字1、2、3、4任意排成一列，如果数字[k]恰好出现在第[k]个位置上，则称之为一个巧合数，求巧合数的数学期望.
17. 假设关于某设备的使用年限[x]和所支出的维修费用[y]（万元），有如下的统计数据[(xi，yi)][(i=1、2、3、4、5)]，由资料知[y]对[x]呈线性相关，并且统计的五组数据的平均值分别为[x=4]，[y=5.4]，若用五组数据得到的线性回归方程[y=bx+a]去估计，使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元. （１）求回归直线方程；（２）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
18. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是[a、b、c]，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. （说明理由）
19. 有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况，现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1L所行路程试验，得到如下样本数据（单位：km）13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分组如下：
[分组&频数&频率&[[12.45，12.95)]&&&[[12.95，13.45)]&&&[[13.45，13.95)]&&&[[13.95，14.45)]&&&合计&10&10&]
（1）完成上面频率分布表；（2）根据上表在给定坐标系中画出频率分布直方图，并根据样本估计总体数据落在[[12.95，13.95)]中的概率；（3）根据样本，对总体的平均值进行估计.
20. 一项“过关游戏”规定：在第[n]关要抛掷一颗骰子[n]次，如果这[n]次抛掷所出现的点数之和大于[2n]，则算过关. 问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1、2、3、4、5、6点数的均匀正方体. 抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现的点数. ）
21. 一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是[25]；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是[79]. （1）若袋中共有10个球；①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为[X]，求随机变量[X]的分布列. （2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于[710]，并指出袋中哪种颜色的球个数最少.
为此复习中我们要有如下对策:（1）重视基础知识的理解和掌握，弄清一些基本概念，如：等可能性事件、互斥事件、独立事件，随机事件的分布列、期望、方差，抽样方法等. （2）把握基本题型、基本思想，本部分内容的题型主要有三种，一是各种概率的计算；二是随机变量的分布列、期望等的运算及其应用；三是抽样方法和总体分布的估计. （3）注意解题步骤规范性的训练，特别是概率应用题的解答.
例1 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，[n]个白球. 在甲、乙两袋中各任取2个球.
（1）若[n=3]，求取到的4个球全是红球的概率；
（2）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为[34]，求[n].
解 （1）记“取到的4个球全是红球”为事件[A]. [P(A)=C22C24⋅C22C25=16⋅110=160.]
（2）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件[B]，“取到的4个球只有1个红球”为事件[B1]，“取到的4个球全是白球”为事件[B2]. 由题意，得
[P(B)=1-34=14.] [P(B1)=C12⋅C12C24⋅C2nC2n+2+C22C24⋅C12⋅C1nC2n+2][=2n23(n+2)(n+1);]
[P(B2)=C22C24⋅C2nC2n+2][=n(n-1)6(n+2)(n+1);]
所以[P(B)=P(B1)+P(B2)]
[=2n23(n+2)(n+1)+n(n-1)6(n+2)(n+1)][=14]，
化简，得[7n2-11n-6=0,]解得[n=2]，或[n=-37]（舍去），故[n=2].
点评 本题属于古典概率，已知概率的结果，利用方程的思想逆求出[n]是该题的关键.
例2 某中学举办“上海世博会”知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会吉祥物海宝”或“世博会会徽”，要求4人一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中某人一次抽到2张“世博会吉祥物海宝”卡才能获奖，当某人获奖或者盒中卡片抽完时游戏终止.
（1）游戏开始之前，一位高中生问：“盒子中有几张‘世博会会徽’卡?”主持人说：“若从盒中任抽2张卡片不都是‘世博会会徽’卡的概率为[2528.]”请你回答：有几张“世博会会徽”卡呢?
（2）在（1）的条件下，甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取. 用随机变量[ξ]表示游戏终止时总共抽取的次数（注意，一次抽取的是两张卡片），求[ξ]的分布列和数学期望.
解 （1）设盒子中有“会徽卡”[n]张，依题意有，[1-C2nC28=2528]，解得[n=3]，即盒中有“会徽卡”3张.
（2）因为[ξ]表示游戏终止时，所有人共抽取卡片的次数，所以[ξ]的所有可能取值为1，2，3，4.
[P(ξ=1)=C25C28=514;]
[P(ξ=2)=C23C28⋅C25C26+C13⋅C15C28⋅C24C26=27;]
[P(ξ=3)=C23C28⋅C11⋅C15C26⋅C24C24+C13⋅C15C28⋅C22C26⋅C24C24]
[+C13⋅C15C28⋅C12⋅C14C26⋅C23C24=314]；
[P(ξ=4)=C13⋅C15C28⋅C12⋅C14C26⋅C11⋅C13C24⋅C22C22=17.]
随机变量[ξ]的分布列为：
[[ξ]&1&2&3&4&[P]&[514]&[27]&[314]&[17]&]
[∴ξ]的数学期望为
[Eξ=1×514+2×27+3×314+4×17=57.]
点评 求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差. 对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.
例3 已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量yt之间的关系有如下数据：
[年份&1985&1986&1987&1988&1989&1990&1991&1992&x(kg)&70&74&80&78&85&92&90&95&y(t)&5.1&6.0&6.8&7.8&9.0&10.2&10.0&12.0&]
[年份&1993&1994&1995&1996&1997&1998&1999&x(kg)&92&108&115&123&130&138&145&y(t)&11.5&11.0&11.8&12.2&12.5&12.8&13.0&]
（1）求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关；（2）若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量.
解 （1）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
[i&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&[xi]&70&74&80&78&85&92&90&95&92&108&115&123&130&138&145&[yi]&5.1&6.0&6.8&7.8&9.0&10.2&10.0&12.0&11.5&11.0&11.8&12.2&12.5&12.8&13.0&[xiyi]&357&444&544&608.4&765&938.4&900&1140&1058&1188&1357&1500.6&1625&1766.4&1885&]
[x=151515=101]，[y=151.715=10.11]，
[i=115x2i=161125]，[i=115y2i=1628.55]，
[i=115xiyi=16076.8.]故蔬菜产量与放用氮肥量的相关系数
[r=16076.8-15×101×10.11(161125-15×1012)(1628.55-15×10.112)≈0.8643.]由于[n=15]，故自由度为15-2=13. 由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0. 05及自由度13相关系数临界值[r0.05=0.514]，则[r>r0.05]，从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系.
（2）设所求的回归直线方程为[y=bx+a]，则[b=i=115xiyi-15xyi=115x2i-15x2=16076.8-15×101×10.11161125-15×1012≈0.0937,]
[a=y-bx=10.11-0.0937×101≈0.6463]，
∴回归直线方程为
[y=0.0937x+0.6463.]
当[x=150]时，[y=14.701(t)].
点评 1. 根据公式[r=i=1nxiyi-nxy(i=1nx2i-nx2)(i=1ny2i-ny2)]计算[r]的值，检验所得结果：如果[|r|≤r0.05]，那么可以认为[y]与[x]之间的线性相关关系不显著，从而接受统计假设. 如果[|r|>r0.05]，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了. 这个小概率事件的发生使我们有理由认为[y]与[x]之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就表明可以认为[y]与[x]之间具有线性相关关系. 2. 求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算. 如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到[i=1nxi]，[i=1nyi]，[i=1nx2i]，[i=1ny2i]，[i=1nxiyi]这些量，也就无需有制表这一步，直接算出结果就行了. 另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理.
例4 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是 .
[频率/组距][产品数量][45 55 65 75 85 95][0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0]
解析 20×(0.040×10＋0.025×10)＝13.
点评 此考点在高考中常常是结合一些实际问题考查频率分布表与频率分布直方图，同时考查识图、用图的能力. 主要题型：（1）根据表或图中数据求解限制条件下的个体频数与频率、参数等相关的数据；（2）频率分布表与频率分布表或直方图的完善. 解答此类问题主要有三条途径：①利用所有分组对应的频率之和为1；②利用公式：频率＝条形图的面积＝纵坐标×横坐标，或利用公式频数＝样本容量×频率；③利用频率分布图中相关数据.
专题训练七
一、选择题
1. 对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程[y=bx+a]中，回归系数[b]（ ）
A. 可以小于0 B. 大于0
C. 能等于0 D. 只能小于0
2. 两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图，则有（ ）
A. μ1<μ2，σ1<σ2 B. μ1<μ2，σ1>σ2
C. μ1>μ2，σ1<σ2 D. μ1>μ2，σ1>σ2
[0.5 1.0][-1.0 -0.5][1.6
1.2
0.8
0.4]
3. 同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为[ξ]，则[ξ]的数学期望是（ ）
A. 20 B. 25
C. 30 D. 40
4. 已知一组数据[x1]、[x2]、[x3]、[x4]、[x5]的平均数是[x]= 2，方差是[13]，那么另一组数据3[x1]-2、3[x2]-2、3[x3]-2、3[x4]-2、3[x5]-2的平均数和方差分别为( )
A. 2,[13] B. 2,1
C. 4,[13] D. 4,3
5. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为[x、y]、10、11、9. 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则[｜x－y｜]的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况. 若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为（ ）
A. 3,2 B. 2,3 C. 2,30 D. 30,2
7. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为[a、b，]则椭圆[x2a2+y2b2=1]的离心率[e>32]的概率是（ ）
A. [118] B. [536] C. [16] D. [13]
8. 有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是（ ）
A. [14] B. [13] C. [12] D. [15]
9. 某年度大学学科能力测验有12万名学生参加，各学科成绩采用15级分，数学学科能力测验成绩分布图如图. 数学成绩级分高于11分的考生（最接近的）人数是（ ）.
[级分 ] [14
12
10
8
6
4
2][0 1 2 3 4 5 6 7 8 9][10 11 12 13 14 15][人数百分比]
A. 4000人 B. 10000人
C. 15000人 D. 20000人
10. 将4个不相同的小球放入编号为1、2、3的3个盒子中，当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰有两个和谐盒的概率为（ ）
A. [281] B. [481] C. [1281] D. [1681]
二、填空题
11. 某中学有1000人参加并且高考数学成绩近似地服从正态分布[N100,102]，求此校数学成绩在120分以上的考生人数 （Φ(2)≈0.977）.
12. 在[1,2,⋯,2006]中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 .
13. 给出下列关系：①正方形的边长与面积之间的关系；②某化妆品的销售量与广告宣传费之间的关系；③人的身高与视力之间的关系；④雾天的能见度与交通事故的发生率之间的关系；⑤学生与其学号之间的关系. 其中具有相关关系的是 .
14. 在集合M＝{0，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对任意[x∈A]，则[1x∈A]”的集合的概率是 .
15. 由于电脑故障，使得随机变量[X]的分布列中部分数据丢失(以“[x，y]”代替)，其表如下：
[X&1&2&3&4&5&6&P&0.20&0.10&0.x5&0.10&0.1y&0.20&]
则丢失的两个数据依次为 .
三、解答题
16. 将数字1、2、3、4任意排成一列，如果数字[k]恰好出现在第[k]个位置上，则称之为一个巧合数，求巧合数的数学期望.
17. 假设关于某设备的使用年限[x]和所支出的维修费用[y]（万元），有如下的统计数据[(xi，yi)][(i=1、2、3、4、5)]，由资料知[y]对[x]呈线性相关，并且统计的五组数据的平均值分别为[x=4]，[y=5.4]，若用五组数据得到的线性回归方程[y=bx+a]去估计，使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元. （１）求回归直线方程；（２）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
18. 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是[a、b、c]，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小. （说明理由）
19. 有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况，现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1L所行路程试验，得到如下样本数据（单位：km）13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分组如下：
[分组&频数&频率&[[12.45，12.95)]&&&[[12.95，13.45)]&&&[[13.45，13.95)]&&&[[13.95，14.45)]&&&合计&10&10&]
（1）完成上面频率分布表；（2）根据上表在给定坐标系中画出频率分布直方图，并根据样本估计总体数据落在[[12.95，13.95)]中的概率；（3）根据样本，对总体的平均值进行估计.
20. 一项“过关游戏”规定：在第[n]关要抛掷一颗骰子[n]次，如果这[n]次抛掷所出现的点数之和大于[2n]，则算过关. 问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1、2、3、4、5、6点数的均匀正方体. 抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现的点数. ）
21. 一个袋中装有若干大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是[25]；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是[79]. （1）若袋中共有10个球；①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为[X]，求随机变量[X]的分布列. （2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于[710]，并指出袋中哪种颜色的球个数最少.