著名的数学家保罗·哈尔莫斯说过：“数学究竟是由什么组成？公理？概念？定义？方法？诚然，没有这些组成部分，数学就不存在，这些都是数学的组成部分.但是，他们中间任何一个都不是数学的心脏——数学家存在的理由是解决问题，因此数学真正的组成部分是问题与解.”
　　在苏教版高中〈必修五〉的第一章解三角形中，有正弦定理和余弦定理的内容，而正，余弦定理也是高考的重要内容之一，它通常会与三角，向量，函数等内容相结合，下面就通过一题多解，来谈谈对学生思维培养.
　　例题 如图：已知等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD长为2，则△ABC的面积的最大值是多少？
　　分析：因为D为AC的中点，所以S△ABC=2S△ABD，然后设AD=x,则AB=2x,这样这个三角形的三条边长都有了，再利用余弦定理及同角三角关系求解.
　　解法一：设AD=x,则AB=2x,由面积公式得：
　　S△ABC=2S△ABD=2·12AB·BD·sin∠ABD=4x·sin∠ABD=4x1-cos2∠ABD，
　　在△ABD中，cos∠ABD=AB2+BD2-AD22AB·BD=4+4x2-x28x=3x2+48x代入上式得：
　　S△ABC=4x1-4+3x28x2=-94x2-2092+649.
　　由构成三角形的条件：2x+x＞2x+2＞2x解得:23＜x＜2，
　　故当x=253,S△ABC取得最大值83.
　　分析：抓住BD这条已知的边，建立坐标系，设A的坐标建立等量关系求解，这样拓展了学生的解题的思路，也很好地把坐标化的思想进行了渗透.
　　解法二：以BD所在的直线为x轴，BD的垂直平分线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则B（-1，0），D（1，0），设A（x,y）,则由AB=2AD得：(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2，
　　即：x2-103x+y2+1=0，故y2=-x2-103x+1=-x-532+169≤169,
　　所以｜y｜≤43,所以S△ABC=2×12×BD×｜y｜=2｜y｜≤83.
　　分析：由于前面刚讲过三角函数，引导学生思考.要求的面积怎么来表示？设哪个角比较方便地表示边？表示哪条边？这样一步步地向前引导.引进角这样一个变量，把边转化成用角来表示，然后用三角里面的知识处理最值问题.
　　解法三：过D点作DE⊥BC于E，过A点作AF⊥BC于F，
　　设∠DCB=θ,则DE=2sinθ,AF=4sinθ,又∵E是FC的中点，F为BC的中点，
　　∴BF=43cosθ,BC=83cosθ,S=12×83cosθ×4sinθ=83sin2θ,
　　∴当θ=45°时,Smax=83
　　分析：解法一是求的△ABD的面积，△ABC的面积好不好表示呢？设AD=x,那么底BC的长好不好用x来表示？注意到∠ADB+∠CDB=180°，它们的余弦值互为相反数，这样建立联系.再利用在直角ABF中，把高AF的长求出来，进而问题获解.
　　解法四：
　　设AD=x,
　　则CD=x,AB=2x,在△ABD中,cos∠ADB=BD2+AD2-AB22AD·BD=4+x2-4x22·2·x,
　　在△BCD中，cos∠BDC=BD2+CD2-BC22BD·DC=4+x2-BC22·2·x,
　　又∵∠ADB+∠CDB=180°,∴cos∠ADB=-cos∠CDB,∴BC=8-2x2
　　又∵在Rt△ABF中,cosB=BFAB=128-2x2x=
　　8-2x24x,
　　∴sinB=1-8-2x216x2=18x2-84x
　　∴S=12BC·AF=128-2x2·2x·18x2-84x=14(8-2x2)(18x2-8)=
　　-94x4+10x2-4=
　　-94x2-2092+649
　　由构成三角形的条件：2x+x＞2x+2＞2x解得:23＜x＜2，
　　故当x=253时,S△ABC取得最大值83
　　分析：利用海伦公式主要是拓展一下学生的思维.
　　解法五：设AD=x,则AB=2x,
　　由海伦给出的三角形面积公式：
　　S=p(p-a)(p-b)(p-c),p=12(a+b+c)
　　S△ABC=2S△ABD=
　　232x+132x+1-x32x+1-2x32x+1-2
　　=294x2-11-14x2
　　=-94x4+10x2-4=
　　-94x2-2092+649
　　由构成三角形的条件：2x+x＞2x+2＞2x解得23＜x＜2，
　　故当x=253时,S△ABC取得最大值83