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摘要：在实际生产生活以及科学研究中，对于很多结果我们很难计算其精确数值，但是，往往在误差合理的范围内，可以用近似值来代替精确值。本文介绍了压缩映射原理、微分公式、泰勒公式三种方法在近似计算中的应用
关键词：压缩映射;不动点;微分;泰勒公式;近似计算
Abstract：We are difficult to calculate the accurate numbers of the results in production and life and scientific research，but can use approximate numbers to replace them within the limits of allowable error. In this paper，three methods of application for compress mapping theorem and differential and Taylor formula in approximation algorithm are showed.
Keywords：compress mapping;fixed point;differential;Taylor formula;approximation algorithm
一、压缩映射原理在近似计算中的应用
1 压缩映射原理
定义 （泛函分析中的定义）给定度量空间 及映射 ，若存在 ，使得 ，则称 为映射 的不动点，若存在正常数 ，使得对任给的 ，都有 成立，则称 是 上一个压缩映射.
定理 （巴拿赫压缩映射原理）设 为完备的度量空间， 是压缩映射，则 有且仅有一个不动点.
注 压缩映射是连续的.
注 空间 的完备条件是为了保证映射 的不动点存在.
定义 （高等数学上的定义）设 在闭区间 上有定义，方程 在 上的解被称为 在 上的不动点.若存在常数 ，使得 ，都有 成立，则称 是 上的压缩映射.
定理 设 是有界闭区间 上的压缩映射，那么函数 在闭区间 上存在唯一的不动点.
推论 如果函数 在闭区间 上可导，且 ，则函数 在闭区间 上存在唯一的不动点.
推论 如果函数 是 到自身的映射， 在 上连续，且 ，则函数 在 上存在唯一的不动点.
定理 设函数 是闭区间 上的压缩映射，且 ，而 ， ，对 ，有 ，则函数 在 上存在唯一的不动点 ，而且 .
注 若 非闭，函数 是压缩映射，但是函数 在 中的不动点未必存在.
2 在近似计算中的应用
例1 试用压缩映射的原理计算 的近似值.
解 注意到 是方程
的是实根，构造辅助函数
，
则任给 ，都有
，
可令
，
容易验证，当 时，有
，
，
所以 是压缩因子 的压缩映射.由于 是 中的有界闭集，故有 ，使得 进而可用迭代法求得 的近似值.
取 ，从而有
，
， ， ，
由上述说明可知
，
从而还可求出近似值与精确值之间的误差.
由上可知，巴拿赫不动点定理不仅能够证明一定条件下不动点的存在性和唯一性，而且提供了计算不动点的方法，即迭代法.一般地，我们可以从任意选取的一点初值出发，逐次作点列的迭代运算，其最终收敛到所求方程的解.这种方法又称为逐次逼近法，这也是计算数学中的一种重要方法.
二 微分公式在近似计算中的应用
1 微分的概念
定义 设函数 在某区间 内有定义，当自变量 在点 处产生一个改变量 （其中 ）时，函数的改变量 与 有下列关系
，
其中 是与 无关的常数，则称函数 在点 处可微，称 为函数 在点 处的微分，记为 .
注4 由可微与可导的关系，进一步可得
忽略掉高阶无穷小 ，有 .
2 在近似计算中的应用
例 2 试用微分计算 的近似值.
解 注意到 ，且 可直接开方得2，于是设函数
，
有
， 且 ，
取 给 一个增量 ，对应函数 增量
即 .
例 3 试用微分计算 的近似值
解 注意到 ，且 ，于是设函数
，
有
，
取 给 一个增量 ，对应函数 增量
即 .
由于近似公式 里，省略了高阶无穷小 ，因此，选择微分作近似计算时，误差取决于自变量的增量 ，随 的减小而减小.
三 泰勒公式在近似计算中的应用
1 泰勒中值定理
定理 （泰勒中值定理）如果函数 在含有点 的某个开区间 内具有直到 阶的导数，那么对于 ，有
称为 在点 处关于 的 阶泰勒公式.其中 （ 在 与 之间）称为拉格朗日型余项.
注5 当 时， 是比 的高阶无穷小，故
.
注6 在泰勒中值定理中，若取 是，泰勒公式变成如下形式
，
称其为 的 阶麦克劳林公式.
2 在近似计算 中的应用
例4 应用 阶泰勒公式计算 的近似值.
解 注意到要计算 的近似值，需利用函数 在点 的 解泰勒公式而得到，由 阶泰勒公式
得到
误差 （ 在 与 之间）.
例5 应用 阶泰勒公式计算 的近似值.
解 注意到 与0很接近，因此应用函数 的3阶麦克劳林公式
得到
误差 （ 在 与 之间）
由泰勒公式可以观察到，利用泰勒公式作近似计算时，选取泰勒公式的阶数越高，近似计算的精确度越高.并且微分的近似计算公式就是一阶泰勒公式的特殊情况，因此微分近似计算的精确度并不高，但是在精确度要求不高的情况下，选择微分作近似计算更加简单.
参考文献：
[1] 刘炳初. 泛函分析[M]. 北京：科学出版社. 1998：3-22.
[2] 邓志颖，潘建辉. 巴拿赫不动点定理及其应用[J]. 高等数学研究，2013（4）：78-81
[3] 强文久，李元章，黄雯荣.数学分析基本概念与方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993：29-35.
[4] 刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义：上册[M]. 4版. 北京：高等教育出版社. 2003：57-60.
[5] 孔繁亮，张立斌，巨小维，朱捷，高等数学：上册[M]. 2版. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社. 2011：55-60.
[6] 同济大学数学系. 高等数学：上册[M]. 6版. 北京：高等教育出版社. 2008：139-144.
作者简介：
巨小维（1982-），女，山东临朐人，讲师，主要研究方向：非线性泛函分析。
基金项目：黑龙江省高等学校教改工程项目（JG2014010966）。
关键词：压缩映射;不动点;微分;泰勒公式;近似计算
Abstract：We are difficult to calculate the accurate numbers of the results in production and life and scientific research，but can use approximate numbers to replace them within the limits of allowable error. In this paper，three methods of application for compress mapping theorem and differential and Taylor formula in approximation algorithm are showed.
Keywords：compress mapping;fixed point;differential;Taylor formula;approximation algorithm
一、压缩映射原理在近似计算中的应用
1 压缩映射原理
定义 （泛函分析中的定义）给定度量空间 及映射 ，若存在 ，使得 ，则称 为映射 的不动点，若存在正常数 ，使得对任给的 ，都有 成立，则称 是 上一个压缩映射.
定理 （巴拿赫压缩映射原理）设 为完备的度量空间， 是压缩映射，则 有且仅有一个不动点.
注 压缩映射是连续的.
注 空间 的完备条件是为了保证映射 的不动点存在.
定义 （高等数学上的定义）设 在闭区间 上有定义，方程 在 上的解被称为 在 上的不动点.若存在常数 ，使得 ，都有 成立，则称 是 上的压缩映射.
定理 设 是有界闭区间 上的压缩映射，那么函数 在闭区间 上存在唯一的不动点.
推论 如果函数 在闭区间 上可导，且 ，则函数 在闭区间 上存在唯一的不动点.
推论 如果函数 是 到自身的映射， 在 上连续，且 ，则函数 在 上存在唯一的不动点.
定理 设函数 是闭区间 上的压缩映射，且 ，而 ， ，对 ，有 ，则函数 在 上存在唯一的不动点 ，而且 .
注 若 非闭，函数 是压缩映射，但是函数 在 中的不动点未必存在.
2 在近似计算中的应用
例1 试用压缩映射的原理计算 的近似值.
解 注意到 是方程
的是实根，构造辅助函数
，
则任给 ，都有
，
可令
，
容易验证，当 时，有
，
，
所以 是压缩因子 的压缩映射.由于 是 中的有界闭集，故有 ，使得 进而可用迭代法求得 的近似值.
取 ，从而有
，
， ， ，
由上述说明可知
，
从而还可求出近似值与精确值之间的误差.
由上可知，巴拿赫不动点定理不仅能够证明一定条件下不动点的存在性和唯一性，而且提供了计算不动点的方法，即迭代法.一般地，我们可以从任意选取的一点初值出发，逐次作点列的迭代运算，其最终收敛到所求方程的解.这种方法又称为逐次逼近法，这也是计算数学中的一种重要方法.
二 微分公式在近似计算中的应用
1 微分的概念
定义 设函数 在某区间 内有定义，当自变量 在点 处产生一个改变量 （其中 ）时，函数的改变量 与 有下列关系
，
其中 是与 无关的常数，则称函数 在点 处可微，称 为函数 在点 处的微分，记为 .
注4 由可微与可导的关系，进一步可得
忽略掉高阶无穷小 ，有 .
2 在近似计算中的应用
例 2 试用微分计算 的近似值.
解 注意到 ，且 可直接开方得2，于是设函数
，
有
， 且 ，
取 给 一个增量 ，对应函数 增量
即 .
例 3 试用微分计算 的近似值
解 注意到 ，且 ，于是设函数
，
有
，
取 给 一个增量 ，对应函数 增量
即 .
由于近似公式 里，省略了高阶无穷小 ，因此，选择微分作近似计算时，误差取决于自变量的增量 ，随 的减小而减小.
三 泰勒公式在近似计算中的应用
1 泰勒中值定理
定理 （泰勒中值定理）如果函数 在含有点 的某个开区间 内具有直到 阶的导数，那么对于 ，有
称为 在点 处关于 的 阶泰勒公式.其中 （ 在 与 之间）称为拉格朗日型余项.
注5 当 时， 是比 的高阶无穷小，故
.
注6 在泰勒中值定理中，若取 是，泰勒公式变成如下形式
，
称其为 的 阶麦克劳林公式.
2 在近似计算 中的应用
例4 应用 阶泰勒公式计算 的近似值.
解 注意到要计算 的近似值，需利用函数 在点 的 解泰勒公式而得到，由 阶泰勒公式
得到
误差 （ 在 与 之间）.
例5 应用 阶泰勒公式计算 的近似值.
解 注意到 与0很接近，因此应用函数 的3阶麦克劳林公式
得到
误差 （ 在 与 之间）
由泰勒公式可以观察到，利用泰勒公式作近似计算时，选取泰勒公式的阶数越高，近似计算的精确度越高.并且微分的近似计算公式就是一阶泰勒公式的特殊情况，因此微分近似计算的精确度并不高，但是在精确度要求不高的情况下，选择微分作近似计算更加简单.
参考文献：
[1] 刘炳初. 泛函分析[M]. 北京：科学出版社. 1998：3-22.
[2] 邓志颖，潘建辉. 巴拿赫不动点定理及其应用[J]. 高等数学研究，2013（4）：78-81
[3] 强文久，李元章，黄雯荣.数学分析基本概念与方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993：29-35.
[4] 刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义：上册[M]. 4版. 北京：高等教育出版社. 2003：57-60.
[5] 孔繁亮，张立斌，巨小维，朱捷，高等数学：上册[M]. 2版. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社. 2011：55-60.
[6] 同济大学数学系. 高等数学：上册[M]. 6版. 北京：高等教育出版社. 2008：139-144.
作者简介：
巨小维（1982-），女，山东临朐人，讲师，主要研究方向：非线性泛函分析。
基金项目：黑龙江省高等学校教改工程项目（JG2014010966）。