论文部分内容阅读
[摘 要]要让学生掌握用轴对称变换的方法，解决“两点之间线段最短”路径问题，教师要题目分析到位，将问题转化明确，从而让学生把握住重点，明确好方向.教师还要做好引导，引领学生总结结论.
[关键词]有效教学；最短路径；轴对称；探索
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）29-0019-02
“两点之间线段最短”是课标实验教科书人教版初一上册的内容.教材通过生活实例解释，比如说用相同速度从学校到家，走什么路线最快到家？最短的距离当然是走直线，可以测量距离.而如何使用这个知识点，是到了初二的时候学生才有所接触，那就是“最短路径问题”.“最短路径问题”看似困难，而当学生想清楚了解决起来就比较简单.教师要把这个知识点的问题提得到位、讲透彻却并不容易.学生会有一系列问题，如怎么去看图？哪里才有直线？怎样构成线段？怎么寻找对称轴、对称点？下面我们就来看看广西师大附中张知莹老师如何解决问题.
一、教学过程
1.提出问题，转化思想
广西师大附中张知莹老师从中考考题出发，讲解初二上册书本13.4课题学习中的最短路径问题.
问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
如果把河边L近似地看成一条直线，如图1，P为直线L上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为“当点P在L的什么位置时，AP与PB的和最小”.解决这类题型的方法是运用轴对称变换，把同侧的两个点变成异侧，如图2，将点A的对称点A′与点B相连，构成“两点之间线段最短”，引出今天的知识点.
2.延伸练习，巩固结论
课程中教师让学生解释了A′B为何是最短距离之后给出了变式练习，再结合三角形、四边形、坐标系等学习内容，把图形转变成“点变线不变”的练习题，让学生加深印象，再在四边形的基础上将背景图形不断变换，把四边形的基础知识结合在一起加强巩固，最后“点不变增加线”，升华内容变成两个点和两条对称轴的情况，如图3和图4，期望能够通过不断地强化“两点之间，线段最短”的思想达到训练的目的.
二、课堂评价
第一，教师对教材的整合比较到位.由易到难，层层深入，同时归纳了整个初中阶段可能会遇到的有关距离最短的问题，将材料很好地展现到了学生面前.如上题中，先从基本图形入手，让学生有一个较为系统的知识网络，再让学生对知识的运用加以拓展.但是由于学生知识的积累还不够，网络虽然已经搭建起来，学生能够往里面填的材料却不足，不知道要如何去找對应的对称点和对称轴.
第二，教师对学生的关注和引导比较到位.学生对基础知识有疑问，不知道是如何作关于直线L的对称，找到一个点的对称点，教师及时对学生的这种理解做了相应的改变，加入了推导过程和解释的过程，并且很好地解释了为什么这条直线是最短的，如图5所示.
第三，教师注重学生思维培养.这是本节课的一大优点，教师问到关键的点：你为什么会想到这样做？让学生的思维得到很好的拓展和延伸.比如学生在做出相应的习题后，教师抓住时机问他们是如何想的，把学生的思维方式总结归纳出来，使得大部分学生有了数感，以后遇到这样的题目就知道这样去想了.
三、探索实践
在听完课后，我做了大胆的尝试，用了连续两节课的时间，在自己的班上把课程再上一遍.
1.提出问题，总结归纳
对于“点A、B位于直线L一侧，在L上找到一点P使得AP BP最短.”我会归纳出几个核心问题提问学生：“对称的点是哪个？对称轴是哪条？所用的思想方法是什么？”总结归纳，让学生从一道题中得出自己的思维方法，从而举一反三.
2.同类问题，举一反三
根据例题的结论，学生会有意识地去寻找对称的点和对称轴.如果出现图像变换的时候，他们也可以答题.如练习：如图6所示，正方形[ABCD]的面积为12，[△ABE]是等边三角形，点[E]在正方形[ABCD]内，在对角线[AC]上有一点[P]，使[PD PE]的和最小，则这个最小值为 .
学生很容易发现点D、E是对称点，而对称轴是AC.在比较两个对称点D和E后，大家会发现点D更容易找到对称点B，这样将问题中的[PD PE]转化成了求BE的长度，从而使问题简单化.
学生明白了要找的目标后，题目就会变得简单，学生在背景图形不断变换的情况下，较好地掌握了解题的思想和方法.
3.衍生方法，讨论结果
题目出现两条对称轴.例题：如图3，已知牧马营地在A处，放马到草地吃草后，再到河边L处喝水后回到点B处，牧马人到草地和河边的什么位置放马，才能使所走的路径最短？
学生刚开始听到题目时有点懵，但当我问道：“这是不是我们之前的‘两点之间，线段最短’”的问题时，大家还是能够很肯定的回答.接着我又问：“那么如何才能出现‘两点’，使得线段最短呢？”学生很快想到一定还是使用对称这样的方式来解决，尝试去将两个点分别对称.最后发现两个点同时作对称就能够达到最短的要求.但同时遇到一个争议比较大的问题：是不是可以作两个点关于任意一条对称轴的对称点呢？学生通过讨论，发现四种情况：1.关于草地作对称；2.关于河边L 作对称；3.点A、B分别关于河边L、草地作对称；4.点A、B分别关于草地、河边L作对称.
学生的答案五花八门，结果产生矛盾，问题发生争执，到底哪一个才是正确的呢？大家讨论可以发现，图7和图8的画法只能完成牧草或者是喝水一件事，都不符合题意.图9很多学生有了争议，通过讨论学生发现A-C-D-B这条路线，只是做了所谓的对称，并没有体现出“两点之间线段最短”.怎么体现“两点之间线段最短”有没有具体的实例验证？只有图10能给出正确答案.总结大家的结论，学生发现这样的对称并不是任意的，而是对称点距离哪条对称轴近，就作关于这条对称轴的对称.
4.追加问题，提升思维难度
借助学生讨论出正确答案的那股劲，我追加问题：如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？
通过本节课的尝试，我发现问题式教学可以改变教师“以讲为主，以讲居先”的格局.好的问题还可以调动学生的学习积极性和主动性，更加注重学生参与课堂的能力和探索的能力.学生从讨论中自我寻找正确的思维方式，更有利于学生数学思维能力的培养.这样的课堂目标明确，学生真正参与到课堂来.学生对自己讨论的题目更有兴趣，并能够不断地质疑.让学生学会探索，让学生学会学习，我想这才是我们教育的本质.
[ 参 考 文 献 ]
[1] 课程教材研究所·义务教育课程标准实验教科书·数学[M].北京：人民教育出版社，2011.
[2] 课程教材研究所.义务教育课程标准实验教科书（教师教学用书）[M].北京：人民教育出版社，2011.
[3] 何伟方.最短路径问题：“两点之间线段最短”的应用[J].学苑教育，2013（21）：52-53.
[4] 陶卫东.探究“最短路径”问题[J].数学教育通讯（初等教育），2013（9）：62-64.
（责任编辑 黄桂坚）
[关键词]有效教学；最短路径；轴对称；探索
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）29-0019-02
“两点之间线段最短”是课标实验教科书人教版初一上册的内容.教材通过生活实例解释，比如说用相同速度从学校到家，走什么路线最快到家？最短的距离当然是走直线，可以测量距离.而如何使用这个知识点，是到了初二的时候学生才有所接触，那就是“最短路径问题”.“最短路径问题”看似困难，而当学生想清楚了解决起来就比较简单.教师要把这个知识点的问题提得到位、讲透彻却并不容易.学生会有一系列问题，如怎么去看图？哪里才有直线？怎样构成线段？怎么寻找对称轴、对称点？下面我们就来看看广西师大附中张知莹老师如何解决问题.
一、教学过程
1.提出问题，转化思想
广西师大附中张知莹老师从中考考题出发，讲解初二上册书本13.4课题学习中的最短路径问题.
问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
如果把河边L近似地看成一条直线，如图1，P为直线L上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为“当点P在L的什么位置时，AP与PB的和最小”.解决这类题型的方法是运用轴对称变换，把同侧的两个点变成异侧，如图2，将点A的对称点A′与点B相连，构成“两点之间线段最短”，引出今天的知识点.
2.延伸练习，巩固结论
课程中教师让学生解释了A′B为何是最短距离之后给出了变式练习，再结合三角形、四边形、坐标系等学习内容，把图形转变成“点变线不变”的练习题，让学生加深印象，再在四边形的基础上将背景图形不断变换，把四边形的基础知识结合在一起加强巩固，最后“点不变增加线”，升华内容变成两个点和两条对称轴的情况，如图3和图4，期望能够通过不断地强化“两点之间，线段最短”的思想达到训练的目的.
二、课堂评价
第一，教师对教材的整合比较到位.由易到难，层层深入，同时归纳了整个初中阶段可能会遇到的有关距离最短的问题，将材料很好地展现到了学生面前.如上题中，先从基本图形入手，让学生有一个较为系统的知识网络，再让学生对知识的运用加以拓展.但是由于学生知识的积累还不够，网络虽然已经搭建起来，学生能够往里面填的材料却不足，不知道要如何去找對应的对称点和对称轴.
第二，教师对学生的关注和引导比较到位.学生对基础知识有疑问，不知道是如何作关于直线L的对称，找到一个点的对称点，教师及时对学生的这种理解做了相应的改变，加入了推导过程和解释的过程，并且很好地解释了为什么这条直线是最短的，如图5所示.
第三，教师注重学生思维培养.这是本节课的一大优点，教师问到关键的点：你为什么会想到这样做？让学生的思维得到很好的拓展和延伸.比如学生在做出相应的习题后，教师抓住时机问他们是如何想的，把学生的思维方式总结归纳出来，使得大部分学生有了数感，以后遇到这样的题目就知道这样去想了.
三、探索实践
在听完课后，我做了大胆的尝试，用了连续两节课的时间，在自己的班上把课程再上一遍.
1.提出问题，总结归纳
对于“点A、B位于直线L一侧，在L上找到一点P使得AP BP最短.”我会归纳出几个核心问题提问学生：“对称的点是哪个？对称轴是哪条？所用的思想方法是什么？”总结归纳，让学生从一道题中得出自己的思维方法，从而举一反三.
2.同类问题，举一反三
根据例题的结论，学生会有意识地去寻找对称的点和对称轴.如果出现图像变换的时候，他们也可以答题.如练习：如图6所示，正方形[ABCD]的面积为12，[△ABE]是等边三角形，点[E]在正方形[ABCD]内，在对角线[AC]上有一点[P]，使[PD PE]的和最小，则这个最小值为 .
学生很容易发现点D、E是对称点，而对称轴是AC.在比较两个对称点D和E后，大家会发现点D更容易找到对称点B，这样将问题中的[PD PE]转化成了求BE的长度，从而使问题简单化.
学生明白了要找的目标后，题目就会变得简单，学生在背景图形不断变换的情况下，较好地掌握了解题的思想和方法.
3.衍生方法，讨论结果
题目出现两条对称轴.例题：如图3，已知牧马营地在A处，放马到草地吃草后，再到河边L处喝水后回到点B处，牧马人到草地和河边的什么位置放马，才能使所走的路径最短？
学生刚开始听到题目时有点懵，但当我问道：“这是不是我们之前的‘两点之间，线段最短’”的问题时，大家还是能够很肯定的回答.接着我又问：“那么如何才能出现‘两点’，使得线段最短呢？”学生很快想到一定还是使用对称这样的方式来解决，尝试去将两个点分别对称.最后发现两个点同时作对称就能够达到最短的要求.但同时遇到一个争议比较大的问题：是不是可以作两个点关于任意一条对称轴的对称点呢？学生通过讨论，发现四种情况：1.关于草地作对称；2.关于河边L 作对称；3.点A、B分别关于河边L、草地作对称；4.点A、B分别关于草地、河边L作对称.
学生的答案五花八门，结果产生矛盾，问题发生争执，到底哪一个才是正确的呢？大家讨论可以发现，图7和图8的画法只能完成牧草或者是喝水一件事，都不符合题意.图9很多学生有了争议，通过讨论学生发现A-C-D-B这条路线，只是做了所谓的对称，并没有体现出“两点之间线段最短”.怎么体现“两点之间线段最短”有没有具体的实例验证？只有图10能给出正确答案.总结大家的结论，学生发现这样的对称并不是任意的，而是对称点距离哪条对称轴近，就作关于这条对称轴的对称.
4.追加问题，提升思维难度
借助学生讨论出正确答案的那股劲，我追加问题：如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？
通过本节课的尝试，我发现问题式教学可以改变教师“以讲为主，以讲居先”的格局.好的问题还可以调动学生的学习积极性和主动性，更加注重学生参与课堂的能力和探索的能力.学生从讨论中自我寻找正确的思维方式，更有利于学生数学思维能力的培养.这样的课堂目标明确，学生真正参与到课堂来.学生对自己讨论的题目更有兴趣，并能够不断地质疑.让学生学会探索，让学生学会学习，我想这才是我们教育的本质.
[ 参 考 文 献 ]
[1] 课程教材研究所·义务教育课程标准实验教科书·数学[M].北京：人民教育出版社，2011.
[2] 课程教材研究所.义务教育课程标准实验教科书（教师教学用书）[M].北京：人民教育出版社，2011.
[3] 何伟方.最短路径问题：“两点之间线段最短”的应用[J].学苑教育，2013（21）：52-53.
[4] 陶卫东.探究“最短路径”问题[J].数学教育通讯（初等教育），2013（9）：62-64.
（责任编辑 黄桂坚）