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我虽然对勾股定理教过多次，但教学理念和教学行为真正发生大的变革却是在2005年4月5日的校公开课和2006年3月28日浦东新区第二教育署的公开课后，而浦东新区的课堂教学改进记载是我从不自觉到自觉改进教学方式的强大的外在动力．下面我将改进前后对勾股定理的教学进行对比，以求从中明晰在今后的教学中亟待解决的问题，并引发我对探究型的思考．
在我教学生涯的头几年，即在改进前，我对勾股定理的教学主要依据教材．在课堂教学中：我首先向学生介绍勾股定理的数学史：《周髀算经》中出现的“勾广三，股修四，径隅五”，然后通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，从而归纳出a．2 b．2=c．2 ，再利用拼图法推证勾股定理，最后进行勾股定理的简单应用：解决简单的几何计算、作图及实际生产、生活问题．
通过一段时间的教学实践和二期课改精神的学习，我很快意识到在当今的素质教育大背景下，这种教学方法已无法适应学生创新能力的培养．故我在2005年4月5日的校公开课中我尝试对勾股定理以探究型课进行教学．在课堂中，首先，我在黑板上画了一个直角三角形，并分别以这个直角三角形三边向外作正方形，然后让学生分组讨论这三个正方形面积之间的关系．我原先以为只要给学生足够的思考时间，学生一定会得到a．2 b．2=c．2 的猜想的．但实践证明我的预计是错误的．虽然学生进行了充分的讨论，也确实很热闹，但由于学生思维的发散性，猜想变得五花八门，就是没有一个小组朝a．2 b．2=c．2 猜想的．结果我只好把a．2 b．2=c．2 结论告诉学生，原先的教学目的也没有完成．
经过前两次的教学实践，特别是2005年4月5日的校公开课的失败，我陷入了沉思．我首先意识到对勾股定理以探究型课进行教学的方向是对的，也意识到按照教材进行教学设计是行不通的，因为教学中一定会遇到两个困惑：
① 通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a．2 b．2=c．2 ，由于得到的数据不总是整数，学生是很难猜想出它们的平方关系的；
② 勾股定理的证明要求数形结合，具有较高的难度，一般来说学生很难在思路上比较自然地解决．
为了解决以上教学中的两个困惑．我认真学习了顾泠沅老师主持的《教师专业成长的行动研究》，使我获益匪浅．在这启发下，在2006年3月28日署公开课中，我对教学设计进行了重大变革，在教学设计中加入了两次关键性的铺垫．第一次通过设置小方格的背景，为学生可以准确计算面积作一个铺垫，而准确计算的面积数据又通过数据表作为平台，为学生提出猜想时观察系列数据提供第二次铺垫．两次铺垫目的是为学生提出猜想奠定合情推理的可能性．
课后，听课的老师对本堂课又进行了评课．大家一致认为，本堂课中，学生经历了“观察—猜想—归纳—验证”这一勾股定理的探索的整个过程，从中深切体会到数形结合和特殊到一般的数学思想和方法．学生不但最终知道了勾股定理，而且还充分利用了数学知识的自身特点，对学生圆满地进行了一次数学理性精神本质的教育．这正是数学学科最重要的育人价值，也是培养具有创新精神和实践能力的国家未来建设者的真正体现．总之，对我的教学给予了充分的肯定，但围绕本堂课是否为探究型课，大家有了争论．有的老师认为，本课不属于一堂探究型课，因为a．2 b．2=c．2 关系是由老师引导学生朝这一方面思考的，对得出的猜想：a．2 b．2=c．2 进行证明的方法也是由老师给出的．也有的老师提出，本课应属于一堂探究型课，因为在整堂课中，学生始终在老师的引领下进行问题探究．最终围绕本堂课是否为探究型课大家没有达成共识，但通过一系列《勾股定理》的教学改进却引发我对探究型课的进一步思考．
我个人认为探究课主要特征应是基于兴趣、基于问题的课，其教学应以体验、了解、掌握一定的探究过程、方法，最终在一定程度上解决问题为目标．所以，探究课主要目的是改变学生的学习方式，让不同的学生从不同的视角，产生不同的问题．
我们不难发现，现实课堂教学中没有绝对的探究型课，也没有绝对的灌输型课．好比世上没有绝对的脑力劳动，也没有绝对的体力劳动．譬如科研工作中只是以脑力劳动为主，其实也存在一些体力劳动的成分；同样如建筑工人的工作中只是以体力劳动为主，其实也存在一些脑力劳动的成分．所以，我认为探究型课是相对普通的课而言的，只是探究型课中探究的成分占了课堂的主导地位，但绝不是不允许存在知识灌输的成分．
《勾股定理》课堂教学中，a．2 b．2=c．2 ，这是中外少数大数学家们首先发现的，这一结论的发现不可能由学生在短短的40分钟的课堂中所能想到的，我认为这一发现只能由老师灌输给学生或引导给学生．但我认为这丝毫不影响本堂课是探究型课的性质．当然，对探究的问题来说，要是探究的问题完全是由学生自己提出来的，那当然很好，而且在数学教学中也必须有意识地重视培养学生提问、质疑的能力．但是这并不意味着我们一定要等到学生能够自己提出好的探究问题之后才能组织探究式学习活动．相反地，在数学课堂教学中，切实可行而且效果良好的方法是教师设置问题情境，并通过引导优化和集中学生的问题，使得后续的探究有明确的目标和内容，这样的教学过程也可以培养学生提出问题的意识和能力．如果这样的程度也不容易达到，就完全可以由教师直接提出探究的问题，根据别人提出的问题，学生也完全可以进行有高度探究性的学习活动．而且只要学生真正卷入了探究知识的过程，他们就会提出这样那样的问题．实际上，真正的学生探究活动整个地就是由问题引导的，学生提出问题能力的培养可以贯穿于学习活动的始终自然地进行，而不必刻意追求一开始问题就是由学生自己提出来的．
设计一个探究式学习活动，我们虽然不强求活动在每一个方面都具有高度的探究性，但毕竟要有具有一定探究性的活动内容，而且尤其不能缺少能起着核心要素作用的探究性活动内容．否则，就难免泛化问题，探究式学习就会成为装满旧酒的新瓶上的时髦标签．
探究式学习有时也被人们称为“问题导向式”的学习，因此“问题”往往被视为探究式学习的核心．然而，“问题”在探究式学习中的重要性主要体现在它的好坏、它对学生合适与否会直接影响探究式学习活动的进行，而不在于它是否一定是由学生探究得来的．如前所述，即使探究的问题直接来自教师或其他途径，学生也完全可以进行高度探究性的学习活动．
在数学知识的探究式教学中，由于学生探究的是人类早已发现的、成熟的知识内容，学生的学习活动不易设计成真正具有探究性的过程．在较极端的情况下，往往成为目标和路线都明摆着的形式化的探究，提出猜想的环节即使有也只是走走过场，而对猜想的求证过程则更是被误导成了纯粹的验证，而更能反映数学研究活动真实的证伪则不见踪影．这样的教学，不仅不利于培养学生的探究能力，更严重的是会误导对数学本质的理解，在学生头脑中形成不正确的数学形象．因此，要实施真正的探究式学习，就不能省掉各种猜想这一环以及为催生猜想而精心设计的活动．
综上，我认为我们完全可以分辨和避免对探究型课的神化．同时，如果充分认识到数学猜想的提出在数学家的探究和學生的探究中的核心地位，我们也就十分明确在数学探究式学习活动的设计中功夫应该花在什么地方了．这就是我由《勾股定理》的教学改进引发的对探究型课的思考．
在我教学生涯的头几年，即在改进前，我对勾股定理的教学主要依据教材．在课堂教学中：我首先向学生介绍勾股定理的数学史：《周髀算经》中出现的“勾广三，股修四，径隅五”，然后通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，从而归纳出a．2 b．2=c．2 ，再利用拼图法推证勾股定理，最后进行勾股定理的简单应用：解决简单的几何计算、作图及实际生产、生活问题．
通过一段时间的教学实践和二期课改精神的学习，我很快意识到在当今的素质教育大背景下，这种教学方法已无法适应学生创新能力的培养．故我在2005年4月5日的校公开课中我尝试对勾股定理以探究型课进行教学．在课堂中，首先，我在黑板上画了一个直角三角形，并分别以这个直角三角形三边向外作正方形，然后让学生分组讨论这三个正方形面积之间的关系．我原先以为只要给学生足够的思考时间，学生一定会得到a．2 b．2=c．2 的猜想的．但实践证明我的预计是错误的．虽然学生进行了充分的讨论，也确实很热闹，但由于学生思维的发散性，猜想变得五花八门，就是没有一个小组朝a．2 b．2=c．2 猜想的．结果我只好把a．2 b．2=c．2 结论告诉学生，原先的教学目的也没有完成．
经过前两次的教学实践，特别是2005年4月5日的校公开课的失败，我陷入了沉思．我首先意识到对勾股定理以探究型课进行教学的方向是对的，也意识到按照教材进行教学设计是行不通的，因为教学中一定会遇到两个困惑：
① 通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a．2 b．2=c．2 ，由于得到的数据不总是整数，学生是很难猜想出它们的平方关系的；
② 勾股定理的证明要求数形结合，具有较高的难度，一般来说学生很难在思路上比较自然地解决．
为了解决以上教学中的两个困惑．我认真学习了顾泠沅老师主持的《教师专业成长的行动研究》，使我获益匪浅．在这启发下，在2006年3月28日署公开课中，我对教学设计进行了重大变革，在教学设计中加入了两次关键性的铺垫．第一次通过设置小方格的背景，为学生可以准确计算面积作一个铺垫，而准确计算的面积数据又通过数据表作为平台，为学生提出猜想时观察系列数据提供第二次铺垫．两次铺垫目的是为学生提出猜想奠定合情推理的可能性．
课后，听课的老师对本堂课又进行了评课．大家一致认为，本堂课中，学生经历了“观察—猜想—归纳—验证”这一勾股定理的探索的整个过程，从中深切体会到数形结合和特殊到一般的数学思想和方法．学生不但最终知道了勾股定理，而且还充分利用了数学知识的自身特点，对学生圆满地进行了一次数学理性精神本质的教育．这正是数学学科最重要的育人价值，也是培养具有创新精神和实践能力的国家未来建设者的真正体现．总之，对我的教学给予了充分的肯定，但围绕本堂课是否为探究型课，大家有了争论．有的老师认为，本课不属于一堂探究型课，因为a．2 b．2=c．2 关系是由老师引导学生朝这一方面思考的，对得出的猜想：a．2 b．2=c．2 进行证明的方法也是由老师给出的．也有的老师提出，本课应属于一堂探究型课，因为在整堂课中，学生始终在老师的引领下进行问题探究．最终围绕本堂课是否为探究型课大家没有达成共识，但通过一系列《勾股定理》的教学改进却引发我对探究型课的进一步思考．
我个人认为探究课主要特征应是基于兴趣、基于问题的课，其教学应以体验、了解、掌握一定的探究过程、方法，最终在一定程度上解决问题为目标．所以，探究课主要目的是改变学生的学习方式，让不同的学生从不同的视角，产生不同的问题．
我们不难发现，现实课堂教学中没有绝对的探究型课，也没有绝对的灌输型课．好比世上没有绝对的脑力劳动，也没有绝对的体力劳动．譬如科研工作中只是以脑力劳动为主，其实也存在一些体力劳动的成分；同样如建筑工人的工作中只是以体力劳动为主，其实也存在一些脑力劳动的成分．所以，我认为探究型课是相对普通的课而言的，只是探究型课中探究的成分占了课堂的主导地位，但绝不是不允许存在知识灌输的成分．
《勾股定理》课堂教学中，a．2 b．2=c．2 ，这是中外少数大数学家们首先发现的，这一结论的发现不可能由学生在短短的40分钟的课堂中所能想到的，我认为这一发现只能由老师灌输给学生或引导给学生．但我认为这丝毫不影响本堂课是探究型课的性质．当然，对探究的问题来说，要是探究的问题完全是由学生自己提出来的，那当然很好，而且在数学教学中也必须有意识地重视培养学生提问、质疑的能力．但是这并不意味着我们一定要等到学生能够自己提出好的探究问题之后才能组织探究式学习活动．相反地，在数学课堂教学中，切实可行而且效果良好的方法是教师设置问题情境，并通过引导优化和集中学生的问题，使得后续的探究有明确的目标和内容，这样的教学过程也可以培养学生提出问题的意识和能力．如果这样的程度也不容易达到，就完全可以由教师直接提出探究的问题，根据别人提出的问题，学生也完全可以进行有高度探究性的学习活动．而且只要学生真正卷入了探究知识的过程，他们就会提出这样那样的问题．实际上，真正的学生探究活动整个地就是由问题引导的，学生提出问题能力的培养可以贯穿于学习活动的始终自然地进行，而不必刻意追求一开始问题就是由学生自己提出来的．
设计一个探究式学习活动，我们虽然不强求活动在每一个方面都具有高度的探究性，但毕竟要有具有一定探究性的活动内容，而且尤其不能缺少能起着核心要素作用的探究性活动内容．否则，就难免泛化问题，探究式学习就会成为装满旧酒的新瓶上的时髦标签．
探究式学习有时也被人们称为“问题导向式”的学习，因此“问题”往往被视为探究式学习的核心．然而，“问题”在探究式学习中的重要性主要体现在它的好坏、它对学生合适与否会直接影响探究式学习活动的进行，而不在于它是否一定是由学生探究得来的．如前所述，即使探究的问题直接来自教师或其他途径，学生也完全可以进行高度探究性的学习活动．
在数学知识的探究式教学中，由于学生探究的是人类早已发现的、成熟的知识内容，学生的学习活动不易设计成真正具有探究性的过程．在较极端的情况下，往往成为目标和路线都明摆着的形式化的探究，提出猜想的环节即使有也只是走走过场，而对猜想的求证过程则更是被误导成了纯粹的验证，而更能反映数学研究活动真实的证伪则不见踪影．这样的教学，不仅不利于培养学生的探究能力，更严重的是会误导对数学本质的理解，在学生头脑中形成不正确的数学形象．因此，要实施真正的探究式学习，就不能省掉各种猜想这一环以及为催生猜想而精心设计的活动．
综上，我认为我们完全可以分辨和避免对探究型课的神化．同时，如果充分认识到数学猜想的提出在数学家的探究和學生的探究中的核心地位，我们也就十分明确在数学探究式学习活动的设计中功夫应该花在什么地方了．这就是我由《勾股定理》的教学改进引发的对探究型课的思考．