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摘 要：引入在数学教学中是很重要的.引入包括很多内容：概念的引入，公式、法则、定理的引入，还包括数学思想、数学方法的引入，更包括命题反设的引入等等. 但如何引入却是一个我们不断研究的教学问题，本文从几个具体实例探讨了引入的创造性与艺术性.
关键词：引入方式；引入价值；数学教学
上课时如何“开场”是引入. 引入包括很多内容：概念的引入，公式、法则、定理的引入，还包括数学思想、数学方法的引入，更包括命题反设的引入等等.
引入在中学阶段是很重要的.俗话说：“良好的开端是成功的一半.”
什么是引入的创造性？
引入时，别人没有过的、有效应的、新颖的、独特的、有价值的（智力价值、理论价值、经济价值）引入就是引入的创造性.
从实例看引入的创造性与艺术性
笔者带学生实习时，学生提出“斜边直角边定理”如何引入？笔者回答说：“既可以联系引入（联系引入是根据“一切客观事物本来是互相联系和具有内部规律的”，抓住教材的内在联系，从复习旧知识中引入新知识的引入方法），又可以作图引入，还可以复习旧知识的方式引入和辩证引入.”
学生要求笔者更具体的说明.
教师问：试述（边边角）命题，判断这个命题是真命题，还是假命题.为什么？
学生答：“有两边和其中一个边的对角对应相等的两个三角形全等”. 这个命题是假命题.如图1中，△ABC与△ABC′有两边和其中一个边的对角对应相等的两个三角形，但这两个三角形不全等.
教师问：在直角三角形中，（边边角）命题是不是真命题？为什么？
学生答：如图1-3，在两个直角三角形中，如果两斜边对应相等，又有两条直角边对应相等. 两直角都是斜边的对角. 通过作图，发现在直角三角形中（边边角）命题成了真命题.
教师总结说：“有些命题，在此时此地是假命题，但在彼时彼地却成了真命题，这种用辩证法引人入胜地引入‘斜边直角边定理’，就叫做辩证引入.”
再谈引入的艺术性.
弦切角、弦切角定理的引入
1. 提问引入
提问引入弦切角、弦切角定理的概念：①若在图4中，过圆O上两点A，B分别作⊙O的两条切线AD和BD相交于D点，∠1和∠2叫做什么？（弦切角）；②请学生给弦切角下定义（顶点在圆上，一边和圆相切，另一边与圆相交的角叫做弦切角）；③上图中有几个弦切角？（4个，∠1、∠2、∠EAC、∠FBC）；④请学生叙述弦切角定理（弦切角等于它所夹弧的圆周角）；⑤请问∠1、∠2、∠EAC、∠FBC分别等于什么角？（∠1=∠C，∠2=∠C，∠EAC=∠ABC，∠FBC=∠CAB）；⑥∠1与∠2有什么关系，为什么？（相等关系）；⑦上图中有几个等腰三角形？并指出这几个等腰三角形.
2. 观察、运动引入
普通高中课程标准实验教科书选修4-1第32页（喻平教授著），是这样引入的.
在图5中，以点D为中心旋转直线DE，同时保证直线BC与DE的交点落在圆周上，当DE变为圆的切线时（如图6），你能发现什么现象？（∠EDB=∠A）.
图5中，根据圆内接四边形的性质，有∠BCE=∠A. 在图6中，DE是切线，∠BCE=∠A仍然成立吗？（仍然成立）.
教材中这种引入弦切角定理的优点，既有利从圆内接四边形通过运动，使圆内接四边形的外角等于内对角性质过渡到弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的理解，又有利于理解它的性质意义和判定方法.
喻平教授这种引入弦切角、弦切角定理的方法为什么既有创造性又有艺术性呢？首先，它是有效应的、新颖的、独特的、有价值的. 通过运动，C、D两点变成一点，圆内接四边形转化成有两点“合二为一”，且有过此点切线的三角形，通过运动，使“圆内接四边形的外角”转化成“弦切角”成了顺理成章的亊，在教法上，这种引入的艺术，既是教学原则、教学方法的升华；又是教学共性与个性的有机结合；更是从已知到未知、从熟悉到陌生、从运动到静止、从抽象的概念到具体的图形即教学共性到个性的有机结合；还是教学引入的规律性与教师的独创性的完满结合，是求真求实的和谐统一；是选择与协调的艺术. 上面笔者提出的“斜边直角边定理”的提问引入和辩证引入也是这样的，既具有创造性，又具有艺术性.
引入的艺术既是教学原则、教学方法的升华；又是教学共性与个性的有机结合；更是教学引入的规律性与教师的独创性的完满结合；还是数学引入教学的求真求实的和谐统一；是选择与协调的艺术.
创设情境地引入
所谓创设情境就是创设出既产生亊物之间的联系，又产生亊物之间的矛盾，产生思维冲突，从而引入新知识的引入方法.
1984年笔者提出a4+a2b2+b4的因式分解. 首先对a6-b6的因式分解提出两种互为逆向思维的方法：
a6-b6=（a2）3-（b2）3=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）=（a+b）（a-b）（a4+a2b2+b4）；
a6-b6=（a3）2-（b3）2=（a3）2-（b3）2=（a3+b3）（a3-b3）=（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）·（a2-ab+b2）.
这就为a4+a2b2+b4的因式分解创设了积极思维的情境.
a4+a2b2+b4=（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）.
“二的三次方”与“三的二次方”是互为逆向思维的创造性思维的两个方面.
逆向思维是创造性思维的一种，举个有趣的生活中有发现意义的实例：吃猕猴桃要剥皮是众所周知的事，如何剥皮呢？从外往里剥皮既脏又不卫生，若想到逆向思维，从里面往外去剥皮——即用金属勺子对“一刀切断”的猕猴桃从里边往外一勺一勺地挖猕猴桃肉. 将这种逆向思维的方法类比到解“古代问题”：“用绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余4尺；把绳子四折来量，井外余1尺，求井深与绳长各几何？”
能用互为逆向思维的创造性方法来做吗？ 创造性思维解1：（进的方法）把绳子三折来量，井外余4尺，4×3=12，这时可想象把井外的12尺再量井深，那么根据第二个条件，把绳子四折来量，井外余1尺，12-4=8，可知井深为8尺.
创造性思维解2：（退的方法）把绳子四折来量，井外余1尺，这时，若想象出用井内的一折到井外来量，根据把绳子三折来量，井外余4尺，（4-1）×3-1=8，可知井深还为8尺.
可见，互为逆向思维的方法是创造性思维的一种.
创设情境地引入，既要引出新旧亊物之间的联系，又要引出新旧亊物之间的矛盾.新旧亊物之间的联系是启发学生思维的基础；新旧亊物之间的矛盾是启发学生思维的核心.
先猜后证的引入
先猜后证是先猜想而后证明的简称.
先猜后证是一种数学思想，“猜”不是瞎猜、乱猜，而是要在探索中去猜，要以直觉为先导，以联想为手段，以逻辑为根据，以观察为向导，以思维为核心地去猜.
引入公式、法则、定理，都可以用先猜后证的方法.
如高中引入对数的换底公式，可设计如下的先猜后证的引入：
log24=log416=……log28=→log416=loga16=log416=→logab=.
这是合情推理的先猜，后证是教材中的论证推理，在此不必阐述.
以上合情推理显示两个抽象过程，第一步抽象底数，第二步抽象真数. 初中同底幂的乘法公式，其引入过程也显示两个抽象过程：
23×25=23+533×35=33+5…→a4×a5=a4+5a3×a5=a3+5…→am×an=am+n
这种先猜后证的引入不但用于代数的公式、法则，还用于组合的两个性质的引入、立体几何的欧拉公式的引入，还用于函数表达式的引入（已知f（x）=，求f）的引入，更用于各种与自然数相关的数学题的引入.
类比引入
法国数学家拉普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比.”
“类比就是一种相似”. 它是从一种特殊到另一种特殊的推理. “类比就是相似比较”.
所谓类比引入就是以类似比较为基础的引入方法.
普通高中课程标准实验教科书选修2-2第74页的例3类比平面内直角三角形的勾股定理. 试给出空间中四面体性质的猜想.
分析：抓住类比对象，是进行相似比较的关键：平面几何中的直线与空间中的平面是类比对象（类比概念）；平面几何中的射线与空间中的半平面是类比对象；平面几何中的勾股定理是两条线段的平方和与空间中的三个面积的平方和也是类比概念；平面三角形是平面内数目最少的三条直线围成的封闭图形，而空间内数目最少的平面围成的封闭图形是四面体. 平面几何中的直角与空间中的直二面角更是类比概念.
图7
因此，通过类比引入，我们发现①在Rt△ABC中，c2=a2+b2. 类比到空间有1个命题②在直四面体P-DEF中，S2=S+S+S.
数学定理和公式的证明，一般用演绎法. 但是，去发现真理往往比事后论证更为重要，而发现真理既靠归纳，又靠类比，更靠直觉. 但20世纪以来，直觉与猜想在数学教学中好像没有地位了，直到国际数学教育家波利亚（Polya）的一些著作《怎样解题》《数学与猜想》（1、2卷）出版之后，才为数学中的猜想与直觉挽回一些声誉.
推理有两种——论证推理与合情推理，深孚众望的数学教育家G·波利亚说：“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证的推理；这是他的专业也是他那门学科的特殊标志，然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理；这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理”，合情推理就导致猜想. 逻辑推理需要分析与综合、抽象与概括、一般化与特殊化等思维操作；合情推理需要想象、归纳、类比、联想等直觉思维的参与. 先猜后证的数学思想能够将“猜想”与“证明”、收敛思维与发散思维、左脑思维与右脑思维、逻辑推理与合情推理很好地结合起来.
综上所述，数学教学中的引入，既要重视创造性，又要注意艺术性. 所有公式、法则、定理，都可以用先猜后证来引入. 本文除了讲述提问引入、联系引入、辩证引入之外，还特别提出了创设情境引入、先猜后证的引入和类比引入. 其实还有很多种引入方法需要大家在创造性的教学工作中去探索.
关键词：引入方式；引入价值；数学教学
上课时如何“开场”是引入. 引入包括很多内容：概念的引入，公式、法则、定理的引入，还包括数学思想、数学方法的引入，更包括命题反设的引入等等.
引入在中学阶段是很重要的.俗话说：“良好的开端是成功的一半.”
什么是引入的创造性？
引入时，别人没有过的、有效应的、新颖的、独特的、有价值的（智力价值、理论价值、经济价值）引入就是引入的创造性.
从实例看引入的创造性与艺术性
笔者带学生实习时，学生提出“斜边直角边定理”如何引入？笔者回答说：“既可以联系引入（联系引入是根据“一切客观事物本来是互相联系和具有内部规律的”，抓住教材的内在联系，从复习旧知识中引入新知识的引入方法），又可以作图引入，还可以复习旧知识的方式引入和辩证引入.”
学生要求笔者更具体的说明.
教师问：试述（边边角）命题，判断这个命题是真命题，还是假命题.为什么？
学生答：“有两边和其中一个边的对角对应相等的两个三角形全等”. 这个命题是假命题.如图1中，△ABC与△ABC′有两边和其中一个边的对角对应相等的两个三角形，但这两个三角形不全等.
教师问：在直角三角形中，（边边角）命题是不是真命题？为什么？
学生答：如图1-3，在两个直角三角形中，如果两斜边对应相等，又有两条直角边对应相等. 两直角都是斜边的对角. 通过作图，发现在直角三角形中（边边角）命题成了真命题.
教师总结说：“有些命题，在此时此地是假命题，但在彼时彼地却成了真命题，这种用辩证法引人入胜地引入‘斜边直角边定理’，就叫做辩证引入.”
再谈引入的艺术性.
弦切角、弦切角定理的引入
1. 提问引入
提问引入弦切角、弦切角定理的概念：①若在图4中，过圆O上两点A，B分别作⊙O的两条切线AD和BD相交于D点，∠1和∠2叫做什么？（弦切角）；②请学生给弦切角下定义（顶点在圆上，一边和圆相切，另一边与圆相交的角叫做弦切角）；③上图中有几个弦切角？（4个，∠1、∠2、∠EAC、∠FBC）；④请学生叙述弦切角定理（弦切角等于它所夹弧的圆周角）；⑤请问∠1、∠2、∠EAC、∠FBC分别等于什么角？（∠1=∠C，∠2=∠C，∠EAC=∠ABC，∠FBC=∠CAB）；⑥∠1与∠2有什么关系，为什么？（相等关系）；⑦上图中有几个等腰三角形？并指出这几个等腰三角形.
2. 观察、运动引入
普通高中课程标准实验教科书选修4-1第32页（喻平教授著），是这样引入的.
在图5中，以点D为中心旋转直线DE，同时保证直线BC与DE的交点落在圆周上，当DE变为圆的切线时（如图6），你能发现什么现象？（∠EDB=∠A）.
图5中，根据圆内接四边形的性质，有∠BCE=∠A. 在图6中，DE是切线，∠BCE=∠A仍然成立吗？（仍然成立）.
教材中这种引入弦切角定理的优点，既有利从圆内接四边形通过运动，使圆内接四边形的外角等于内对角性质过渡到弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的理解，又有利于理解它的性质意义和判定方法.
喻平教授这种引入弦切角、弦切角定理的方法为什么既有创造性又有艺术性呢？首先，它是有效应的、新颖的、独特的、有价值的. 通过运动，C、D两点变成一点，圆内接四边形转化成有两点“合二为一”，且有过此点切线的三角形，通过运动，使“圆内接四边形的外角”转化成“弦切角”成了顺理成章的亊，在教法上，这种引入的艺术，既是教学原则、教学方法的升华；又是教学共性与个性的有机结合；更是从已知到未知、从熟悉到陌生、从运动到静止、从抽象的概念到具体的图形即教学共性到个性的有机结合；还是教学引入的规律性与教师的独创性的完满结合，是求真求实的和谐统一；是选择与协调的艺术. 上面笔者提出的“斜边直角边定理”的提问引入和辩证引入也是这样的，既具有创造性，又具有艺术性.
引入的艺术既是教学原则、教学方法的升华；又是教学共性与个性的有机结合；更是教学引入的规律性与教师的独创性的完满结合；还是数学引入教学的求真求实的和谐统一；是选择与协调的艺术.
创设情境地引入
所谓创设情境就是创设出既产生亊物之间的联系，又产生亊物之间的矛盾，产生思维冲突，从而引入新知识的引入方法.
1984年笔者提出a4+a2b2+b4的因式分解. 首先对a6-b6的因式分解提出两种互为逆向思维的方法：
a6-b6=（a2）3-（b2）3=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）=（a+b）（a-b）（a4+a2b2+b4）；
a6-b6=（a3）2-（b3）2=（a3）2-（b3）2=（a3+b3）（a3-b3）=（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）·（a2-ab+b2）.
这就为a4+a2b2+b4的因式分解创设了积极思维的情境.
a4+a2b2+b4=（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）.
“二的三次方”与“三的二次方”是互为逆向思维的创造性思维的两个方面.
逆向思维是创造性思维的一种，举个有趣的生活中有发现意义的实例：吃猕猴桃要剥皮是众所周知的事，如何剥皮呢？从外往里剥皮既脏又不卫生，若想到逆向思维，从里面往外去剥皮——即用金属勺子对“一刀切断”的猕猴桃从里边往外一勺一勺地挖猕猴桃肉. 将这种逆向思维的方法类比到解“古代问题”：“用绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余4尺；把绳子四折来量，井外余1尺，求井深与绳长各几何？”
能用互为逆向思维的创造性方法来做吗？ 创造性思维解1：（进的方法）把绳子三折来量，井外余4尺，4×3=12，这时可想象把井外的12尺再量井深，那么根据第二个条件，把绳子四折来量，井外余1尺，12-4=8，可知井深为8尺.
创造性思维解2：（退的方法）把绳子四折来量，井外余1尺，这时，若想象出用井内的一折到井外来量，根据把绳子三折来量，井外余4尺，（4-1）×3-1=8，可知井深还为8尺.
可见，互为逆向思维的方法是创造性思维的一种.
创设情境地引入，既要引出新旧亊物之间的联系，又要引出新旧亊物之间的矛盾.新旧亊物之间的联系是启发学生思维的基础；新旧亊物之间的矛盾是启发学生思维的核心.
先猜后证的引入
先猜后证是先猜想而后证明的简称.
先猜后证是一种数学思想，“猜”不是瞎猜、乱猜，而是要在探索中去猜，要以直觉为先导，以联想为手段，以逻辑为根据，以观察为向导，以思维为核心地去猜.
引入公式、法则、定理，都可以用先猜后证的方法.
如高中引入对数的换底公式，可设计如下的先猜后证的引入：
log24=log416=……log28=→log416=loga16=log416=→logab=.
这是合情推理的先猜，后证是教材中的论证推理，在此不必阐述.
以上合情推理显示两个抽象过程，第一步抽象底数，第二步抽象真数. 初中同底幂的乘法公式，其引入过程也显示两个抽象过程：
23×25=23+533×35=33+5…→a4×a5=a4+5a3×a5=a3+5…→am×an=am+n
这种先猜后证的引入不但用于代数的公式、法则，还用于组合的两个性质的引入、立体几何的欧拉公式的引入，还用于函数表达式的引入（已知f（x）=，求f）的引入，更用于各种与自然数相关的数学题的引入.
类比引入
法国数学家拉普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比.”
“类比就是一种相似”. 它是从一种特殊到另一种特殊的推理. “类比就是相似比较”.
所谓类比引入就是以类似比较为基础的引入方法.
普通高中课程标准实验教科书选修2-2第74页的例3类比平面内直角三角形的勾股定理. 试给出空间中四面体性质的猜想.
分析：抓住类比对象，是进行相似比较的关键：平面几何中的直线与空间中的平面是类比对象（类比概念）；平面几何中的射线与空间中的半平面是类比对象；平面几何中的勾股定理是两条线段的平方和与空间中的三个面积的平方和也是类比概念；平面三角形是平面内数目最少的三条直线围成的封闭图形，而空间内数目最少的平面围成的封闭图形是四面体. 平面几何中的直角与空间中的直二面角更是类比概念.
图7
因此，通过类比引入，我们发现①在Rt△ABC中，c2=a2+b2. 类比到空间有1个命题②在直四面体P-DEF中，S2=S+S+S.
数学定理和公式的证明，一般用演绎法. 但是，去发现真理往往比事后论证更为重要，而发现真理既靠归纳，又靠类比，更靠直觉. 但20世纪以来，直觉与猜想在数学教学中好像没有地位了，直到国际数学教育家波利亚（Polya）的一些著作《怎样解题》《数学与猜想》（1、2卷）出版之后，才为数学中的猜想与直觉挽回一些声誉.
推理有两种——论证推理与合情推理，深孚众望的数学教育家G·波利亚说：“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证的推理；这是他的专业也是他那门学科的特殊标志，然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理；这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理”，合情推理就导致猜想. 逻辑推理需要分析与综合、抽象与概括、一般化与特殊化等思维操作；合情推理需要想象、归纳、类比、联想等直觉思维的参与. 先猜后证的数学思想能够将“猜想”与“证明”、收敛思维与发散思维、左脑思维与右脑思维、逻辑推理与合情推理很好地结合起来.
综上所述，数学教学中的引入，既要重视创造性，又要注意艺术性. 所有公式、法则、定理，都可以用先猜后证来引入. 本文除了讲述提问引入、联系引入、辩证引入之外，还特别提出了创设情境引入、先猜后证的引入和类比引入. 其实还有很多种引入方法需要大家在创造性的教学工作中去探索.