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摘 要：解决数学问题犹如在数学之山寻路，亦如在数学之海泛舟，一方面需要学生本身积累的基础知识、基本技能与基本方法，另一方面也需要教师适当的引导、点拨，才能帮助学生正确找到登临“数”山的路径，才能帮助学生顺利抵达“学”海的彼岸.
关键词：解题教学；引导策略；知识系统
问题是数学的心脏，数学教学围绕概念学习与问题解决而展开. 解决数学问题犹如在数学之山寻路，亦如在数学之海泛舟，一方面需要学生本身积累的基础知识、基本技能与基本方法，另一方面也需要教师适当的引导、点拨，才能帮助学生正确找到登临“数”山的路径，才能帮助学生顺利抵达“学”海的彼岸.
有时，在学生形成了自己的解题思路但方向不清晰或遇到“水中礁石”阻碍时，需要教师引导学生“顺水行舟”，使学生顺势而为，找出解答方案中问题所在，巧妙地绕过“礁石”，顺流而下抵达目的地；有时，在学生已轻松解答了数学问题，但只是孤立地就题解题，而未能透彻领会问题蕴含的深层意图时，需要教师鼓励学生“逆水行舟”去一探“源头”，找到最本源的核心知识，以获得数学学习的核心素养；有时，在学生也能多角度地思考并解答问题，但各种解法以比较零散方式存在，未能形成知识系统时，需要教师指导学生“借水行舟”，借助适当的方法、途径，探寻可能的不同解答方案及其之间的内在关联，及时建构完整的知识系统，使学生牢固掌握数学知识方法.
一、“顺水行舟” 找出问题的关键点
学生“行舟”计划1：对于不等式的证明，常用的方法有作差比较法、分析综合法等，但这个不等式形式不简单，而且含有根号，被开方式又有平方，如果通过平方去根号，运算可能非常麻烦，不易前行.
教师“顺水”探析1：不等式证明的方法很多，许多不等式的证明可以用作差法解决，但有时需要通过观察、分析，采取适当的处理. 观察、比较本题左右两边代数式的结构特点，找出其中的异同，可以注意到右式比左式少了p，q，而左式中p出现在a-p，c-p处，右式中a-c可以看成由（a-p）-（c-p）得到.类似地，b-d可视作（b-q）-（d-q），这样按学生计划1采用分析法对原不等式两边平方后，能消除许多相同的项.
教师“顺水”探析2：“知烦而变”本身就是一种值得肯定的思考处理办法，能够去搜寻经验中曾经接触过的相关信息更应该给予肯定，其实数学问题的解决就是在这种分析、探索、尝试中展开的. 学生的确会对众多字母感到莫名的畏惧，但需要指出的是从初中“用字母表示数”之后，字母与数从某种角度讲是一致的，那就是其本质都是数，那么可以顺着这种类比的经验再往前“行”，或许这路就通了.
C（p，q），求证：AC BC≥AB. ”这是显然的，因为若A，B，C不共线，则利用“三角形三边关系”可知，三角形任意两边之和大于第三边，即AC BC>AB；若A，B，C共线，则当点C在线段AB上时，有AC BC=AB，当点在线段AB的延长线或反向延长线上时，显然有AC BC>AB.
二、“逆水行舟” 找寻知识的出发点
教师“逆水”探析：如果就题论题，学生的思考与解答的确显得比较简捷，而且一般的数学教师也会采用这种解法. 但如果思考一下本题在教材中的设置位置——B组3个小题中的最后一题，编写者是否另有目的？问题本身是否可以挖掘更深的内涵？如果将已知的两个点坐标改成一般的字母或数，将动点与两定点的距离比改成一般的正数，是否可以直接说出动点轨迹的形状，其中有没有某种必然规律？
所以，有时问题不能止于解答，为了发挥习题最大的功能，需要对其进行深入的思考与探究.
现在，这个问题很容易地得到答案：x2 y2 2x-3=0，根据最近学习的知识，不难知道这是个圆，通过配方，方程为：（x 1）2 y2=4，其圆心为（-1，0），半径为2.
既然如此，不妨“逆水”而行，来思考为什么是一个圆，这个圆的圆心、半径与题设条件中两个定点O（0，0），A（3，0），以及距离比■存在怎样的联系，本题条件究竟跟其他确定圆的条件有何种关联.
通过这种“执果索因”式的探析，教师可以引导学生达成关联度最高的一点共识：点O，A与圆心（-1，0）（记为D）共线，若记B，C为该直线上与点D距离为2的两点，那么得到的圆上动点M应该具备条件：MB⊥MC（M不与B，C重合时）. 那么，这一共识能够给予证明吗？
sin∠OMC=sin∠AMC，又∠OMC ∠AMC≤180°，从而∠OMC=∠AMC. 当然，也可通过添辅助线，用平面几何知识解释，限于篇幅，不再赘述. 同理在线段AO的延长线上取点B，使OB∶BA=1∶2，可得MB平分∠OMA的外角∠OME. 进而有MB⊥MC，点M的轨迹是以线段CB为直径的圆，当点M在直线OA上时，正好就是点C或B，而根据点C，B的取法，可知C（1，0），B（-3，0），所以，点M的轨迹方程为（x 1）2 y2=4. 从而，可以得到一般结论：与两个定点A，B的距离的比为λ（λ>0）的动点M的轨迹是圆，若在线段AB及其反向延长线上分别取点E，F，使|AE|∶|EB|=|AF|∶|FB|=λ，则线段EF即为圆的直径.
三、“借水行舟” 找到方法的归集点
问题3 已知圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2），求证：此圆的方程是（x-x1）· （x-x2） （y-y1）（y-y2）=0.
学生“行舟”计划2：圆可看作是与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的轨迹，根据本身题设，不难表示出圆心坐标和半径，那么圆的方程可直接列出.
教师“借水”综析：以上三种解答计划是本题最主要的解题方法，其中第一种解法采用的学生占绝大多数，但能注意到这一解答缺少考虑“点P与点A或B重合，以及直线PA或PB斜率不存在，需要单独给答，并补充到结论中”的学生不多，所以这种解法容易产生疏漏；第二种解法被一部分学生采用，这种解法容易想到，但运算量比较大，需要多有点耐心与仔细；第三种解法，用的学生较少，但一旦想到用向量方法，最大的优点在于包含了圆上“任意”一点的全部情况，比较容易做完整. 那么，这些不同的解答方法之间是否存在相互关系，能不能使之与整个圆的方程的学习形成一个完整的知识系统，帮助学生建立牢固的知识体系呢？教师可以引导学生在各自解法基础上，思考其他解法，并进行知识结构的整理与归纳综合.
我们相信，只要教师能从开始时与学生在“数”山共行，在“学”海同舟，慢慢地变成与学生在心灵上风雨同舟，和衷共济，通过学法指导让学生在学海自由泛舟，必然能帮助学生顺利划向数学学习之“海”成功的彼岸.
关键词：解题教学；引导策略；知识系统
问题是数学的心脏，数学教学围绕概念学习与问题解决而展开. 解决数学问题犹如在数学之山寻路，亦如在数学之海泛舟，一方面需要学生本身积累的基础知识、基本技能与基本方法，另一方面也需要教师适当的引导、点拨，才能帮助学生正确找到登临“数”山的路径，才能帮助学生顺利抵达“学”海的彼岸.
有时，在学生形成了自己的解题思路但方向不清晰或遇到“水中礁石”阻碍时，需要教师引导学生“顺水行舟”，使学生顺势而为，找出解答方案中问题所在，巧妙地绕过“礁石”，顺流而下抵达目的地；有时，在学生已轻松解答了数学问题，但只是孤立地就题解题，而未能透彻领会问题蕴含的深层意图时，需要教师鼓励学生“逆水行舟”去一探“源头”，找到最本源的核心知识，以获得数学学习的核心素养；有时，在学生也能多角度地思考并解答问题，但各种解法以比较零散方式存在，未能形成知识系统时，需要教师指导学生“借水行舟”，借助适当的方法、途径，探寻可能的不同解答方案及其之间的内在关联，及时建构完整的知识系统，使学生牢固掌握数学知识方法.
一、“顺水行舟” 找出问题的关键点
学生“行舟”计划1：对于不等式的证明，常用的方法有作差比较法、分析综合法等，但这个不等式形式不简单，而且含有根号，被开方式又有平方，如果通过平方去根号，运算可能非常麻烦，不易前行.
教师“顺水”探析1：不等式证明的方法很多，许多不等式的证明可以用作差法解决，但有时需要通过观察、分析，采取适当的处理. 观察、比较本题左右两边代数式的结构特点，找出其中的异同，可以注意到右式比左式少了p，q，而左式中p出现在a-p，c-p处，右式中a-c可以看成由（a-p）-（c-p）得到.类似地，b-d可视作（b-q）-（d-q），这样按学生计划1采用分析法对原不等式两边平方后，能消除许多相同的项.
教师“顺水”探析2：“知烦而变”本身就是一种值得肯定的思考处理办法，能够去搜寻经验中曾经接触过的相关信息更应该给予肯定，其实数学问题的解决就是在这种分析、探索、尝试中展开的. 学生的确会对众多字母感到莫名的畏惧，但需要指出的是从初中“用字母表示数”之后，字母与数从某种角度讲是一致的，那就是其本质都是数，那么可以顺着这种类比的经验再往前“行”，或许这路就通了.
C（p，q），求证：AC BC≥AB. ”这是显然的，因为若A，B，C不共线，则利用“三角形三边关系”可知，三角形任意两边之和大于第三边，即AC BC>AB；若A，B，C共线，则当点C在线段AB上时，有AC BC=AB，当点在线段AB的延长线或反向延长线上时，显然有AC BC>AB.
二、“逆水行舟” 找寻知识的出发点
教师“逆水”探析：如果就题论题，学生的思考与解答的确显得比较简捷，而且一般的数学教师也会采用这种解法. 但如果思考一下本题在教材中的设置位置——B组3个小题中的最后一题，编写者是否另有目的？问题本身是否可以挖掘更深的内涵？如果将已知的两个点坐标改成一般的字母或数，将动点与两定点的距离比改成一般的正数，是否可以直接说出动点轨迹的形状，其中有没有某种必然规律？
所以，有时问题不能止于解答，为了发挥习题最大的功能，需要对其进行深入的思考与探究.
现在，这个问题很容易地得到答案：x2 y2 2x-3=0，根据最近学习的知识，不难知道这是个圆，通过配方，方程为：（x 1）2 y2=4，其圆心为（-1，0），半径为2.
既然如此，不妨“逆水”而行，来思考为什么是一个圆，这个圆的圆心、半径与题设条件中两个定点O（0，0），A（3，0），以及距离比■存在怎样的联系，本题条件究竟跟其他确定圆的条件有何种关联.
通过这种“执果索因”式的探析，教师可以引导学生达成关联度最高的一点共识：点O，A与圆心（-1，0）（记为D）共线，若记B，C为该直线上与点D距离为2的两点，那么得到的圆上动点M应该具备条件：MB⊥MC（M不与B，C重合时）. 那么，这一共识能够给予证明吗？
sin∠OMC=sin∠AMC，又∠OMC ∠AMC≤180°，从而∠OMC=∠AMC. 当然，也可通过添辅助线，用平面几何知识解释，限于篇幅，不再赘述. 同理在线段AO的延长线上取点B，使OB∶BA=1∶2，可得MB平分∠OMA的外角∠OME. 进而有MB⊥MC，点M的轨迹是以线段CB为直径的圆，当点M在直线OA上时，正好就是点C或B，而根据点C，B的取法，可知C（1，0），B（-3，0），所以，点M的轨迹方程为（x 1）2 y2=4. 从而，可以得到一般结论：与两个定点A，B的距离的比为λ（λ>0）的动点M的轨迹是圆，若在线段AB及其反向延长线上分别取点E，F，使|AE|∶|EB|=|AF|∶|FB|=λ，则线段EF即为圆的直径.
三、“借水行舟” 找到方法的归集点
问题3 已知圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2），求证：此圆的方程是（x-x1）· （x-x2） （y-y1）（y-y2）=0.
学生“行舟”计划2：圆可看作是与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的轨迹，根据本身题设，不难表示出圆心坐标和半径，那么圆的方程可直接列出.
教师“借水”综析：以上三种解答计划是本题最主要的解题方法，其中第一种解法采用的学生占绝大多数，但能注意到这一解答缺少考虑“点P与点A或B重合，以及直线PA或PB斜率不存在，需要单独给答，并补充到结论中”的学生不多，所以这种解法容易产生疏漏；第二种解法被一部分学生采用，这种解法容易想到，但运算量比较大，需要多有点耐心与仔细；第三种解法，用的学生较少，但一旦想到用向量方法，最大的优点在于包含了圆上“任意”一点的全部情况，比较容易做完整. 那么，这些不同的解答方法之间是否存在相互关系，能不能使之与整个圆的方程的学习形成一个完整的知识系统，帮助学生建立牢固的知识体系呢？教师可以引导学生在各自解法基础上，思考其他解法，并进行知识结构的整理与归纳综合.
我们相信，只要教师能从开始时与学生在“数”山共行，在“学”海同舟，慢慢地变成与学生在心灵上风雨同舟，和衷共济，通过学法指导让学生在学海自由泛舟，必然能帮助学生顺利划向数学学习之“海”成功的彼岸.