论文部分内容阅读
摘 要：传统高等数学的知识体系注重内容的系统、结构的严谨与逻辑的严密，而对于问题的起源及探索过程介绍较少，因此显得高度抽象和概括。本文试从数学史在高等数学教学中的意义角度，探讨如何融入数学史以丰富高等数学教学。
关键词：数学史；高等数学教学
教育应当使所提供的东西让学生作为一种宝贵的礼物来领受，而不是作为一种艰苦任务要他去负担。但在多数学员心目中，高等数学是令人难以接近的冰美人，它抽象、枯燥，有着众多的的需要机械记忆的定义、定理和公式。从教材来看，高等数学的教材注重内容系统、结构严谨和逻辑严密，而对于问题的起源及探索过程介绍较少，因此显得高度抽象和概括。英国数学家格雷舍曾精辟地讲过：“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一种科目比数学的损失更大。”荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔也曾评价说过于注重逻辑严密性，缺乏历史感的教材“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽。”因此在高等数学教学中适当引入数学史，可以让学员感受到高等数学的生动与鲜活，从而形成正确的数学思维，加深对数学知识的理解，提高发现问题、解决问题的能力与创新能力。
一、融入数学史，让数学形象变得生动起来
数学并不是冷冰冰的定义和定理，它是人们在生活实践中，在对世界的认识中，在对数学迷人宁静的思维与理性之美的追求中，逐步获取和积累的宝贵知识财富。因此可以在具体历史背景中融入人文要素，如哲学思想、数学轶事等来讲解，让数学变的生动起来。下面以微积分学中的一些知识点为例。
教材中的微积分学，先是介绍极限，然后才在极限的基础之上建立导数和积分的概念。这源于微积分学是用极限的方法研究变量和函数的，极限是微积分学的理论基础。但在数学史中，极限的概念却是继导数和积分之后。17世纪晚期牛顿和莱布尼茨在总结前人成果的基础上给出微积分算法。但他们对其中所涉及的无穷小量的理解却是含混不清的。牛顿其实也在困惑0到底是什么？它是不是零？怎么能让增量消失呢？而莱布尼茨对无穷小量的理解也不明确，他认为无穷小量就像微尘之对地球一样可以忽略不计，但又认为无穷小是有用的虚构之物和理想之物。直到19世纪柯西、维尔斯特拉斯等人才建立起严格的极限理论，进而引入了无穷的概念。极限的思想在我们看来很容易理解，但对于当时的西方学者，对于无穷的思索并试图理解和准确定义它，却是一个极大的挑战。希尔伯特也曾说过，无穷是一个永恒的迷。但回过头来再看我们中国的数学家。与西方学者不同，中国古代的数学家却未受到无穷问题的困扰。公元263年，刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术”，他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”刘徽的“割圆术”是无穷思想在数学上的应用。实际上，在先秦时期，就可以找到对于无穷的理解和思辨。在《庄子·天下》中有“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”，意思是说大到没有外面，称为无穷大；小到里面没有，称为无穷小。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，虽然从现在看来物质是否无限可分尚无定论，但此言中确实蕴含了无穷的思想。刘徽的“割圆术”与“一尺之棰”的无穷思想截然相反，可惜他的极限思想只是一种实用的极限思想，只是用来证明圆面积公式，也未引起其他数学家的重视。这也体现了中国古代的数学在儒家理念的影响下过于注重“经世致用”。
二、融入数学史，培养学员形成正确的数学思维过程
解决问题，形成新的数学知识的思维过程首先是发现并提出新的数学问题，然后给出猜想和确定求解方案，通过具体的数学方法对问题予以论证与解答，在验证中，必要时对结果予以完善。而教材中却隐去了知识探索中的许多曲折，繁杂的思维过程，因此教材知识与学员的认知规律之间存在较大差异。目前学员的创造性思维能力的不足与其所接受的知识中隐去了问题发现与探索的环节不无关系。
皮亚杰认为一切真理要由学生自己获得，或者由他重新发现，至少是重建，而不是简单地传递给他。波利亚也同样认为学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。教学中可引入数学史，还原数学知识的历史探索背景和数学思维过程，把数学的概念、定理等按照它本身形成和发展的过程再现出来，使学员在发现、解决问题的过程中体会和领悟正确的数学的思维过程。下面以级数的敛散定义的发展为例。
高等数学教材在级数一章中直接给出了级数收敛与发散的定义。其实人们对无穷级数的敛散性认识也经历了一个曲折的过程，而并非一开始就这么的明确。级数思想虽在古希腊和中国就有了萌芽，但真正的发展始于微积分的诞生。17世纪，当时有这样一个关于级数：1-1+1-1+1-1+…的问题，若该级数按（1-1）+（1-1）+（1-1）+…计算应等于0，但若按1-（1-1）-（1-1）- （1-1）- …又应等于1。这一悖论引起了数学家的困惑与争论。比萨大学数学教授格兰迪根据他在《圆和双曲线的求积》中的表达式：=1-x+x2-x3+…中令x=1而得到该级数的和应该等于。莱布尼茨也认为该级数的和为。他根据该级数的前n项和S1=1，S2=0，S3=1，S4=0，…，所组成的数列中0和1出现的机会相同，从而取他们的平均值得到。而贝努利和拉格朗日居然都接受这样的解释。欧拉也由=1+x+x2+…令x=-1得到级数1-1+1-1+1-1+…的和等于。他们都对级数的敛散性概念比较模糊，因此也都未能从本质上解决这一悖论。随着微积分的发展，人们开始关心分析学的概念与证明中的不严密之处，而无穷级数是否能够由有限代数运算进行推广，以及级数的敛散性在级数的应用中的作用等问题促使了19世纪无穷级数理论的形成。
三、小结
数学知识的严格演绎论证，其逻辑的严谨与结构的严密性不言而喻。但考虑到学员对数学的情感接受和对问题本质的深刻理解与创新能力的培养，本文从数学史在教学中的意义角度，探讨了如何具体将数学史融入到教学中的问题。旨在能够使学员感受到高等数学的生动与鲜活，形成正确的数学思维，加深对数学知识的理解，提高发现问题、解决问题的能力与创新能力。
参考文献
[1]莫里斯·克莱因，古今数学思想[M]，上海：上海科学技术出版社，2002.
[2]段耀勇，数学史与数学教育（HPM）的一个案例—刘徽的“割圆术”与微积分[J]，大学数学，2006.03.
[3]乔治·波利亚，数学的发现-对解题的理解、研究和讲授[M]，北京：科技出版社，2006.
[4]王辉，无穷级数的发展演化[D]，河北师范大学，2006.
关键词：数学史；高等数学教学
教育应当使所提供的东西让学生作为一种宝贵的礼物来领受，而不是作为一种艰苦任务要他去负担。但在多数学员心目中，高等数学是令人难以接近的冰美人，它抽象、枯燥，有着众多的的需要机械记忆的定义、定理和公式。从教材来看，高等数学的教材注重内容系统、结构严谨和逻辑严密，而对于问题的起源及探索过程介绍较少，因此显得高度抽象和概括。英国数学家格雷舍曾精辟地讲过：“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一种科目比数学的损失更大。”荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔也曾评价说过于注重逻辑严密性，缺乏历史感的教材“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽。”因此在高等数学教学中适当引入数学史，可以让学员感受到高等数学的生动与鲜活，从而形成正确的数学思维，加深对数学知识的理解，提高发现问题、解决问题的能力与创新能力。
一、融入数学史，让数学形象变得生动起来
数学并不是冷冰冰的定义和定理，它是人们在生活实践中，在对世界的认识中，在对数学迷人宁静的思维与理性之美的追求中，逐步获取和积累的宝贵知识财富。因此可以在具体历史背景中融入人文要素，如哲学思想、数学轶事等来讲解，让数学变的生动起来。下面以微积分学中的一些知识点为例。
教材中的微积分学，先是介绍极限，然后才在极限的基础之上建立导数和积分的概念。这源于微积分学是用极限的方法研究变量和函数的，极限是微积分学的理论基础。但在数学史中，极限的概念却是继导数和积分之后。17世纪晚期牛顿和莱布尼茨在总结前人成果的基础上给出微积分算法。但他们对其中所涉及的无穷小量的理解却是含混不清的。牛顿其实也在困惑0到底是什么？它是不是零？怎么能让增量消失呢？而莱布尼茨对无穷小量的理解也不明确，他认为无穷小量就像微尘之对地球一样可以忽略不计，但又认为无穷小是有用的虚构之物和理想之物。直到19世纪柯西、维尔斯特拉斯等人才建立起严格的极限理论，进而引入了无穷的概念。极限的思想在我们看来很容易理解，但对于当时的西方学者，对于无穷的思索并试图理解和准确定义它，却是一个极大的挑战。希尔伯特也曾说过，无穷是一个永恒的迷。但回过头来再看我们中国的数学家。与西方学者不同，中国古代的数学家却未受到无穷问题的困扰。公元263年，刘徽在《九章算术注》中提出了“割圆术”，他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”刘徽的“割圆术”是无穷思想在数学上的应用。实际上，在先秦时期，就可以找到对于无穷的理解和思辨。在《庄子·天下》中有“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”，意思是说大到没有外面，称为无穷大；小到里面没有，称为无穷小。“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，虽然从现在看来物质是否无限可分尚无定论，但此言中确实蕴含了无穷的思想。刘徽的“割圆术”与“一尺之棰”的无穷思想截然相反，可惜他的极限思想只是一种实用的极限思想，只是用来证明圆面积公式，也未引起其他数学家的重视。这也体现了中国古代的数学在儒家理念的影响下过于注重“经世致用”。
二、融入数学史，培养学员形成正确的数学思维过程
解决问题，形成新的数学知识的思维过程首先是发现并提出新的数学问题，然后给出猜想和确定求解方案，通过具体的数学方法对问题予以论证与解答，在验证中，必要时对结果予以完善。而教材中却隐去了知识探索中的许多曲折，繁杂的思维过程，因此教材知识与学员的认知规律之间存在较大差异。目前学员的创造性思维能力的不足与其所接受的知识中隐去了问题发现与探索的环节不无关系。
皮亚杰认为一切真理要由学生自己获得，或者由他重新发现，至少是重建，而不是简单地传递给他。波利亚也同样认为学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。教学中可引入数学史，还原数学知识的历史探索背景和数学思维过程，把数学的概念、定理等按照它本身形成和发展的过程再现出来，使学员在发现、解决问题的过程中体会和领悟正确的数学的思维过程。下面以级数的敛散定义的发展为例。
高等数学教材在级数一章中直接给出了级数收敛与发散的定义。其实人们对无穷级数的敛散性认识也经历了一个曲折的过程，而并非一开始就这么的明确。级数思想虽在古希腊和中国就有了萌芽，但真正的发展始于微积分的诞生。17世纪，当时有这样一个关于级数：1-1+1-1+1-1+…的问题，若该级数按（1-1）+（1-1）+（1-1）+…计算应等于0，但若按1-（1-1）-（1-1）- （1-1）- …又应等于1。这一悖论引起了数学家的困惑与争论。比萨大学数学教授格兰迪根据他在《圆和双曲线的求积》中的表达式：=1-x+x2-x3+…中令x=1而得到该级数的和应该等于。莱布尼茨也认为该级数的和为。他根据该级数的前n项和S1=1，S2=0，S3=1，S4=0，…，所组成的数列中0和1出现的机会相同，从而取他们的平均值得到。而贝努利和拉格朗日居然都接受这样的解释。欧拉也由=1+x+x2+…令x=-1得到级数1-1+1-1+1-1+…的和等于。他们都对级数的敛散性概念比较模糊，因此也都未能从本质上解决这一悖论。随着微积分的发展，人们开始关心分析学的概念与证明中的不严密之处，而无穷级数是否能够由有限代数运算进行推广，以及级数的敛散性在级数的应用中的作用等问题促使了19世纪无穷级数理论的形成。
三、小结
数学知识的严格演绎论证，其逻辑的严谨与结构的严密性不言而喻。但考虑到学员对数学的情感接受和对问题本质的深刻理解与创新能力的培养，本文从数学史在教学中的意义角度，探讨了如何具体将数学史融入到教学中的问题。旨在能够使学员感受到高等数学的生动与鲜活，形成正确的数学思维，加深对数学知识的理解，提高发现问题、解决问题的能力与创新能力。
参考文献
[1]莫里斯·克莱因，古今数学思想[M]，上海：上海科学技术出版社，2002.
[2]段耀勇，数学史与数学教育（HPM）的一个案例—刘徽的“割圆术”与微积分[J]，大学数学，2006.03.
[3]乔治·波利亚，数学的发现-对解题的理解、研究和讲授[M]，北京：科技出版社，2006.
[4]王辉，无穷级数的发展演化[D]，河北师范大学，2006.