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摘 要:分离参数法:众所周知,就是求谁的参数就把谁分离出来研究,我们知道这是在解决不等式问题时常用的方法。但是,其实利用它的原理,我们可以把它用来解决函数方程的实根问题。
关键词:分离参数法;不等式问题;函数方程
一、 应用举例
让我们看一看以下例题:
例1 (2017年山东省实验中学月考)是否存在实数m,使函数f(x)=x2-(m-1)x,f2m在区间[0,1]上有且只有一个零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。
解析:对于这类问题,一般解法:
(1) 当方程x2-(m-1)x 2m=0在[0,1]上有两个相等实根时,则
(2) 当方程x2-(m-1)x 2m=0有两个不等实根时
(a)有且只有一根在(0,1)上时,有f(0)f(1)<0即2m(m 2)<0,所以
m<0m 2>0或m>0m 2>0解得-2 (b)当f(0)=0时,m=0,令f(x)=x2 x=0,解得x1=0,x2=-1符合题意。
(c)当f(1)=0时,吗,令f(x)=x2 3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,符合题意。
综上所述,实数m的取值范围为[-2,0]。注:求解本题不仅应注意到函数的零点应用f(1)*f(0)<0,而且也应该注意问题其他形式:(1)在[0,1]上有二重根;(2)端点函数值可能为0.。因此,我们由上述过程,不难看出:讨论很复杂。尽管思路清晰,但仍避免不了大量的分类讨论,易出错。
让我们看一下如下巧解:
解:令f(x)=0得:x2-(m-1)x 2m=0
所以m=x2 xx-2
设y=x2 xx-2所以yx’=(x2 x)′(x-2)-(x2 x)(x-2)′(x-2)2
=(x-2)2-6(x-2)2
因為x∈[0,1]
∴1≤(x-2)2≤4
∴-5≤(x-2)2-6≤-2
即(x-2)2-6<0
∴(x-2)2-6(x-2)2<0
∴y2x<0
故函数y=x2 xx-2在
[0,1]上单调递减,
∴当x=0时,ymax=0
当x=1时,ymin=12 11-2=-2
∴y∈[-2,0]
即此时,m∈[-2,0]
我们不难从上例题看出,此做法十分简单,不管它如何,我们只把参数分离开,用x表示参数。因为题目已给出了x的取值,再利用单调性及函数相关知识即可求出。
我们再来看一道例题:
例2 已知方程x2 3ax 4=0,在(1,2)有实根,求a的取值?
解析:方程在一个区间内有实根,我们知道可转化成其对应的方程的函数f(x)在这个区间有零点,这也就转化成零点问题。但是零点问题,由上我们已得出可以利用分离参数函数来解决,所以解题如下:
解:∵x2 3ax 4=0,x∈(1,2)
∴-3a=x2 4x=x 4x
设y=x 4x,∴yx′=1-4x2
∵x∈(1,2)
∴1 ∴12<1x2<1
∴2<4x2<4
∴4x2>1
∴1-4x2<0
即yx′<0,故函数y=x 4x在区间[1,2]上单调递减
∴当x=1时,ymax=1 41=5
当x=2时,ymin=2 42=4
故函数y=x 4x在区间(1,2)上值为(4,5)
∴y∈(4,5)即-3a∈(4,5)
故a∈(-53,-43)
二、 总结
其实,对于普遍的一个零点问题,方程实根问题,都可以利用分离参数法来思考。因为题目已给出了实根、有零点,势必分离出来的参数所对应的关于x的方程在一个区间上是恒成立的。它的最后解集是将所有取值并起来。因为并集本身是取值范围更大的子集,而分离参数法则省去了中间求解,参数取值集合子集的步骤,直接求出大的集合。即不论用x表示出的方程所对应的函数单调性如何,只要利用单调性求出值点,进而推出最值点,便得取值范围。
参考文献:
[1]张文鹏.初等数论[M].陕西师范大学出版社,2007.
[2]李文林主编.王元论哥德巴赫猜想[M].山东教育出版社,1999.
[3]潘承洞,潘承彪著.初等数论[M].北京大学出版社,1992.
[4]潘承洞,潘承彪著.解析数论基础[M].科学出版社,1991.
作者简介:
刘书岳,广东省潮州市,饶平县第二中学。
关键词:分离参数法;不等式问题;函数方程
一、 应用举例
让我们看一看以下例题:
例1 (2017年山东省实验中学月考)是否存在实数m,使函数f(x)=x2-(m-1)x,f2m在区间[0,1]上有且只有一个零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。
解析:对于这类问题,一般解法:
(1) 当方程x2-(m-1)x 2m=0在[0,1]上有两个相等实根时,则
(2) 当方程x2-(m-1)x 2m=0有两个不等实根时
(a)有且只有一根在(0,1)上时,有f(0)f(1)<0即2m(m 2)<0,所以
m<0m 2>0或m>0m 2>0解得-2
(c)当f(1)=0时,吗,令f(x)=x2 3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,符合题意。
综上所述,实数m的取值范围为[-2,0]。注:求解本题不仅应注意到函数的零点应用f(1)*f(0)<0,而且也应该注意问题其他形式:(1)在[0,1]上有二重根;(2)端点函数值可能为0.。因此,我们由上述过程,不难看出:讨论很复杂。尽管思路清晰,但仍避免不了大量的分类讨论,易出错。
让我们看一下如下巧解:
解:令f(x)=0得:x2-(m-1)x 2m=0
所以m=x2 xx-2
设y=x2 xx-2所以yx’=(x2 x)′(x-2)-(x2 x)(x-2)′(x-2)2
=(x-2)2-6(x-2)2
因為x∈[0,1]
∴1≤(x-2)2≤4
∴-5≤(x-2)2-6≤-2
即(x-2)2-6<0
∴(x-2)2-6(x-2)2<0
∴y2x<0
故函数y=x2 xx-2在
[0,1]上单调递减,
∴当x=0时,ymax=0
当x=1时,ymin=12 11-2=-2
∴y∈[-2,0]
即此时,m∈[-2,0]
我们不难从上例题看出,此做法十分简单,不管它如何,我们只把参数分离开,用x表示参数。因为题目已给出了x的取值,再利用单调性及函数相关知识即可求出。
我们再来看一道例题:
例2 已知方程x2 3ax 4=0,在(1,2)有实根,求a的取值?
解析:方程在一个区间内有实根,我们知道可转化成其对应的方程的函数f(x)在这个区间有零点,这也就转化成零点问题。但是零点问题,由上我们已得出可以利用分离参数函数来解决,所以解题如下:
解:∵x2 3ax 4=0,x∈(1,2)
∴-3a=x2 4x=x 4x
设y=x 4x,∴yx′=1-4x2
∵x∈(1,2)
∴1
∴2<4x2<4
∴4x2>1
∴1-4x2<0
即yx′<0,故函数y=x 4x在区间[1,2]上单调递减
∴当x=1时,ymax=1 41=5
当x=2时,ymin=2 42=4
故函数y=x 4x在区间(1,2)上值为(4,5)
∴y∈(4,5)即-3a∈(4,5)
故a∈(-53,-43)
二、 总结
其实,对于普遍的一个零点问题,方程实根问题,都可以利用分离参数法来思考。因为题目已给出了实根、有零点,势必分离出来的参数所对应的关于x的方程在一个区间上是恒成立的。它的最后解集是将所有取值并起来。因为并集本身是取值范围更大的子集,而分离参数法则省去了中间求解,参数取值集合子集的步骤,直接求出大的集合。即不论用x表示出的方程所对应的函数单调性如何,只要利用单调性求出值点,进而推出最值点,便得取值范围。
参考文献:
[1]张文鹏.初等数论[M].陕西师范大学出版社,2007.
[2]李文林主编.王元论哥德巴赫猜想[M].山东教育出版社,1999.
[3]潘承洞,潘承彪著.初等数论[M].北京大学出版社,1992.
[4]潘承洞,潘承彪著.解析数论基础[M].科学出版社,1991.
作者简介:
刘书岳,广东省潮州市,饶平县第二中学。