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【摘 要】知性是素养的主要成分，知性对核心素养的培养具有重要的作用。在教学中，教师重视直观的设计，让学生对知识的理解始于直观，经历概念的感性直观、理性直观、感性与理性相统一的过程，帮助学生从具体对象的问题解决过程中掌握解决单元问题的基本方法，在运用基本方法解决基本问题的过程中建立模型直观，领悟数学思想方法，培育学生的数学核心素养。
【关键词】知性;素养;直观;等差数列
【作者简介】莫邦哲，正高级教师，广西特级教师，广西八桂教育家摇篮工程学员，广西师范大学基础教育研究院兼职研究员;李基磊，一级教师。
【基金项目】广西“十三五”规划2019年度课题“新时代西部示范性高中卓越课程建设研究——以柳州铁一中学为例”（2019C292）
人的生命，作为一种有意识的存在，属于能知者的王国[1]。如果把我们心灵的接受力——心灵在任何方式中被刺激时接受表象的能力叫做感性，那么，相反，心灵从其自身产生表象的能力，即认识的主动性，则被称为知性[2] 。知性又是教养中的主要成分[3]。可见，知性对核心素养的培养有着重要的作用。在教学实践中，如果教师过于重视学生的感性体验而缺乏对感性体验的理性认识，就会使学生的学习局限于经验的层面而难以形成理性的思维。同样地，如果过于重视理性的思维活动而缺乏对知识的感性体验，学习就会显得功利而压抑人性。康德把知识分为概念和直观两种成分，只有概念而没有与之相对应的直观，或者只有直观而没有概念，都不能产生知识。可见，以知性为导向的教学设计，对于学生核心素养的培养有着重要的意义。但是以知性为导向，立足于核心素养的复习课程如何设计？基于核心素养培养的复习设计与以能力立意的复习设计有何不同？知性和直观对基于核心素养培养的复习设计有何作用？笔者以“求等差数列通项公式”的高考复习设计为例，从知性的角度进行分析。
一、教学分析
数列是高考的一个重要考点，而求数列的通项公式是数列的基本问题之一。为了帮助学生解决求等差数列的通项公式，复习巩固等差数列的概念，很多教师常以如下题组（以下简称“变式题组”）为蓝本展开复习。
这是典型的以能力立意的复习设计，其典型性表现在两个方面：一是分类，以知识模块的单元问题（基本问题）为分类对象，把核心概念隐藏在具体问题中;二是训练，把思想方法与单元问题（基本问题）相联系。上文7道题都以求an这一单元问题为主题进行教学设计，力求突出常见题型变形构造的方法， 强调单元问题的一般性和方法性。这种以能力要求为目标，按单元问题分类进行训练的教学设计，对于学生的能力培养有促进作用，但是也存在概念与概念直观分离的弊端。分类方法虽然突出了目标要求和学科框架问题，但是容易忽略具体问题情境丰富的感性直观，以及这些感性直观对勾勒概念本质的支撑作用，造成在迈向理性的过程中缺失了感性直观的支持;解题训练过程把思想方法与单元问题（基本问题）进行联系，虽然突出了知识的表征和方法分类，但是没有体现出在不同情境中核心概念的运用。知识的表征和对应的处理方法是在具体情境中动态生成的，条块式的训练会剥离理性直观与感性直观的思辨联系，造成概念直观的缺失。可见，能力立意造成概念与概念直观分离的原因是对情境设计重视不够。以核心素养为导向的高考非常重视情境的设计，我们从高考对数列的考查要求可见一斑：能利用等差（比）数列的公式、性质，简化运算，进行推理;能将等差（比）数列的定义式或前n项和公式经运算变为一个递推关系式，通过数列的基本运算和变形，求通项公式、项数、参数的值，以及数列求和等。高考是从运算的角度把等差（比）作为数列的结构关系来分析，赋予情境丰富的对象意识、关系意识以及关联能力，在具体的情境中分析出概念所依托的对象，通过对象呈现概念的直观，抽象出问题的本质，再推广到更一般的情形，成为更高一级抽象的感性直观对象。可见，以核心素养为立意的教学设计，是依托对象的情境展开思辨的，而不是依托问题的解决展开思辨。因此，在教学设计中，教师应突出知性的作用，重视直观的设计。教师不仅要重视感性直观的设计，以目标数列引导变形，勾勒知识的直观画像，帮助学生掌握解题技巧，还要重视理性直观的设计，通过变式训练帮助学生掌握解决单元问题的基本方法，通过提炼数学模型，感悟数学思想方法，培育数学核心素养。
二、以素养为导向，直观为基础的教学设计
（一）以变形设计作感性直观，聚焦知识画像的描绘
直观是知识的画像，重视知识的直观性，可以防止概念的对象与概念分离，有利于学生对概念本质的认识。高考把等差（比）作为一种关系来考查，因此，在高考复习中，教师应聚焦这种关系的直观，培养学生的关系意识，帮助学生在画像的过程中掌握必要的学习技能，并设计以下变形题组。
变形是一种创造性直观，只有创造性直观才是自我通向理智的第一步[4]。与求通项公式的变式题组相比，变形题组以求证的等差数列为目标数列，勾勒递推式中隐含的等差关系，为等差画像，直观地呈现递推关系中的等差关系，变静态的概念理解为动态的关系画像，帮助学生理解不同形式中所蕴含的等差关系，完成对等差数列这一概念从对象到关系的抽象，实现概念形式与本质的统一，为解决数列求通项公式、求和奠定知识和方法的基础。
（二）以变式设计作理性直观，聚焦思维方法的感悟
我们的一切知识都从经验开始，这是不容置疑的[2]。知性是产生概念的能力，用概念统摄感性的具体。在直观的基础上实现对感性的抽象，必然要经过逻辑的思辨和实践的生成，而变式是实现这一目标的有效手段。因此，在完成變形题组后，笔者呈现变式题组。变式题组把问题从目标数列的证明凝聚为求数列通项公式这一基本问题，把变形的技巧提升为化归与转换的思想方法，实现从知识、技能到思想方法的深化。学生在完成变式题组后，笔者又增设了以下四道变式练习，强化思辨和实践的生成，营造思想方法创生的情境，培育学生的数学核心素养。 变式练习是训练学生思辨能力的有效策略，能帮助学生从对象的意识上升到关系的思维意识，再发展关联能力，从而感悟思维方法。练习2强化从递推关系中寻找等差（比）关系的意识，巩固通过变形分析出具有等差（比）关系的目标对象的能力。练习3把等差的直观通过变式平行地推广到等比的情形，以等比的直观强化对等差的理解，培养学生的关系思维。练习3和练习4以灵活、思辨的方式强化对等差概念本质的理解，向学生渗透形式与本质和谐统一的数学观念，培育学生的数学核心素养。
（三）以模型设计作抽象直观，聚焦核心素养的提升
知性是理性实现的基础，没有抽象、普遍意义的知性，理性就是虚无，就是形式;不上升到理性，知性只不过是人类认识的化石，就会束缚人的思维。从对象出发、从关系入手，教师通过构建模型，在帮助学生掌握学习技能的同时，使学生感悟数学的思想方法，建立认知的思维模式，形成普遍性和必然性的概念、规则知识，达到理性认识。没有模型的直观，学生的学习就会被具体的内容和方法所束缚。因此，重视模型的直观抽象能力，有利于学生核心素养的培养。在复习等比数列之后，教师引导学生从关系的结构进行分析，建立认知模型，深化对等差（比）数列的认识。
第一步：设计“模样”
从结构来看，等差（比）数列的定义具有线性的特征，可化归为等差（比）数列的问题，也可以转化为线性形式的问题来解决，问题“模样”如下。
第二步：揭示“模法”
第三步：提炼模型
具有线性的形式，或者可化为线性形式的数列，都可以运用待定系数法来求解。按次数分类，上述8个“模样”可分为3种基本模型。
模型的构建从结构的角度来解剖等差（比）数列，让学生对等差（比）的认识从形式的定义深入到运算结构与关系的构建，揭示出等差（比）的运算属性，突出等差（比）在数列中的地位，有利于学生形成数列问题解决的认知策略，实现从感性到理性的升华。
三、结语
从知识的学习到核心素养的养成，知性在其中起到重要的作用。直观是知识的画像，通过变形设计呈现概念的感性直观，通过变式设计抽象出概念的理性直观，再通过模型设计实现感性直观与理性直观的和谐统一。重视直观的设计，让学生对知识的理解始于直观，经历概念的感性直观、理性直观、感性与理性相统一的过程，帮助学生从具体对象的问题解决过程中掌握解决单元问题的基本方法，在运用基本方法解决基本问题的过程中建立模型直观，领悟数学思想方法，培育学生的数学核心素养。
（注：本文系广西八桂教育家摇篮工程系列成果之一）
参考文献：
[1]雅斯贝斯.时代的精神状况[M].王德峰，译.上海：上海译文出版社，1997.
[2]康德.纯粹理性批判[M].蓝公武，译.上海：生活·读书·新知三联书店，1957.
[3]黑格尔.小逻辑[M].贺麟，译.北京：商務印书馆，2003.
[4]谢林.先验唯心论体系[M].梁志学，石泉，译.北京：商务印书馆，1976.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】知性;素养;直观;等差数列
【作者简介】莫邦哲，正高级教师，广西特级教师，广西八桂教育家摇篮工程学员，广西师范大学基础教育研究院兼职研究员;李基磊，一级教师。
【基金项目】广西“十三五”规划2019年度课题“新时代西部示范性高中卓越课程建设研究——以柳州铁一中学为例”（2019C292）
人的生命，作为一种有意识的存在，属于能知者的王国[1]。如果把我们心灵的接受力——心灵在任何方式中被刺激时接受表象的能力叫做感性，那么，相反，心灵从其自身产生表象的能力，即认识的主动性，则被称为知性[2] 。知性又是教养中的主要成分[3]。可见，知性对核心素养的培养有着重要的作用。在教学实践中，如果教师过于重视学生的感性体验而缺乏对感性体验的理性认识，就会使学生的学习局限于经验的层面而难以形成理性的思维。同样地，如果过于重视理性的思维活动而缺乏对知识的感性体验，学习就会显得功利而压抑人性。康德把知识分为概念和直观两种成分，只有概念而没有与之相对应的直观，或者只有直观而没有概念，都不能产生知识。可见，以知性为导向的教学设计，对于学生核心素养的培养有着重要的意义。但是以知性为导向，立足于核心素养的复习课程如何设计？基于核心素养培养的复习设计与以能力立意的复习设计有何不同？知性和直观对基于核心素养培养的复习设计有何作用？笔者以“求等差数列通项公式”的高考复习设计为例，从知性的角度进行分析。
一、教学分析
数列是高考的一个重要考点，而求数列的通项公式是数列的基本问题之一。为了帮助学生解决求等差数列的通项公式，复习巩固等差数列的概念，很多教师常以如下题组（以下简称“变式题组”）为蓝本展开复习。
这是典型的以能力立意的复习设计，其典型性表现在两个方面：一是分类，以知识模块的单元问题（基本问题）为分类对象，把核心概念隐藏在具体问题中;二是训练，把思想方法与单元问题（基本问题）相联系。上文7道题都以求an这一单元问题为主题进行教学设计，力求突出常见题型变形构造的方法， 强调单元问题的一般性和方法性。这种以能力要求为目标，按单元问题分类进行训练的教学设计，对于学生的能力培养有促进作用，但是也存在概念与概念直观分离的弊端。分类方法虽然突出了目标要求和学科框架问题，但是容易忽略具体问题情境丰富的感性直观，以及这些感性直观对勾勒概念本质的支撑作用，造成在迈向理性的过程中缺失了感性直观的支持;解题训练过程把思想方法与单元问题（基本问题）进行联系，虽然突出了知识的表征和方法分类，但是没有体现出在不同情境中核心概念的运用。知识的表征和对应的处理方法是在具体情境中动态生成的，条块式的训练会剥离理性直观与感性直观的思辨联系，造成概念直观的缺失。可见，能力立意造成概念与概念直观分离的原因是对情境设计重视不够。以核心素养为导向的高考非常重视情境的设计，我们从高考对数列的考查要求可见一斑：能利用等差（比）数列的公式、性质，简化运算，进行推理;能将等差（比）数列的定义式或前n项和公式经运算变为一个递推关系式，通过数列的基本运算和变形，求通项公式、项数、参数的值，以及数列求和等。高考是从运算的角度把等差（比）作为数列的结构关系来分析，赋予情境丰富的对象意识、关系意识以及关联能力，在具体的情境中分析出概念所依托的对象，通过对象呈现概念的直观，抽象出问题的本质，再推广到更一般的情形，成为更高一级抽象的感性直观对象。可见，以核心素养为立意的教学设计，是依托对象的情境展开思辨的，而不是依托问题的解决展开思辨。因此，在教学设计中，教师应突出知性的作用，重视直观的设计。教师不仅要重视感性直观的设计，以目标数列引导变形，勾勒知识的直观画像，帮助学生掌握解题技巧，还要重视理性直观的设计，通过变式训练帮助学生掌握解决单元问题的基本方法，通过提炼数学模型，感悟数学思想方法，培育数学核心素养。
二、以素养为导向，直观为基础的教学设计
（一）以变形设计作感性直观，聚焦知识画像的描绘
直观是知识的画像，重视知识的直观性，可以防止概念的对象与概念分离，有利于学生对概念本质的认识。高考把等差（比）作为一种关系来考查，因此，在高考复习中，教师应聚焦这种关系的直观，培养学生的关系意识，帮助学生在画像的过程中掌握必要的学习技能，并设计以下变形题组。
变形是一种创造性直观，只有创造性直观才是自我通向理智的第一步[4]。与求通项公式的变式题组相比，变形题组以求证的等差数列为目标数列，勾勒递推式中隐含的等差关系，为等差画像，直观地呈现递推关系中的等差关系，变静态的概念理解为动态的关系画像，帮助学生理解不同形式中所蕴含的等差关系，完成对等差数列这一概念从对象到关系的抽象，实现概念形式与本质的统一，为解决数列求通项公式、求和奠定知识和方法的基础。
（二）以变式设计作理性直观，聚焦思维方法的感悟
我们的一切知识都从经验开始，这是不容置疑的[2]。知性是产生概念的能力，用概念统摄感性的具体。在直观的基础上实现对感性的抽象，必然要经过逻辑的思辨和实践的生成，而变式是实现这一目标的有效手段。因此，在完成變形题组后，笔者呈现变式题组。变式题组把问题从目标数列的证明凝聚为求数列通项公式这一基本问题，把变形的技巧提升为化归与转换的思想方法，实现从知识、技能到思想方法的深化。学生在完成变式题组后，笔者又增设了以下四道变式练习，强化思辨和实践的生成，营造思想方法创生的情境，培育学生的数学核心素养。 变式练习是训练学生思辨能力的有效策略，能帮助学生从对象的意识上升到关系的思维意识，再发展关联能力，从而感悟思维方法。练习2强化从递推关系中寻找等差（比）关系的意识，巩固通过变形分析出具有等差（比）关系的目标对象的能力。练习3把等差的直观通过变式平行地推广到等比的情形，以等比的直观强化对等差的理解，培养学生的关系思维。练习3和练习4以灵活、思辨的方式强化对等差概念本质的理解，向学生渗透形式与本质和谐统一的数学观念，培育学生的数学核心素养。
（三）以模型设计作抽象直观，聚焦核心素养的提升
知性是理性实现的基础，没有抽象、普遍意义的知性，理性就是虚无，就是形式;不上升到理性，知性只不过是人类认识的化石，就会束缚人的思维。从对象出发、从关系入手，教师通过构建模型，在帮助学生掌握学习技能的同时，使学生感悟数学的思想方法，建立认知的思维模式，形成普遍性和必然性的概念、规则知识，达到理性认识。没有模型的直观，学生的学习就会被具体的内容和方法所束缚。因此，重视模型的直观抽象能力，有利于学生核心素养的培养。在复习等比数列之后，教师引导学生从关系的结构进行分析，建立认知模型，深化对等差（比）数列的认识。
第一步：设计“模样”
从结构来看，等差（比）数列的定义具有线性的特征，可化归为等差（比）数列的问题，也可以转化为线性形式的问题来解决，问题“模样”如下。
第二步：揭示“模法”
第三步：提炼模型
具有线性的形式，或者可化为线性形式的数列，都可以运用待定系数法来求解。按次数分类，上述8个“模样”可分为3种基本模型。
模型的构建从结构的角度来解剖等差（比）数列，让学生对等差（比）的认识从形式的定义深入到运算结构与关系的构建，揭示出等差（比）的运算属性，突出等差（比）在数列中的地位，有利于学生形成数列问题解决的认知策略，实现从感性到理性的升华。
三、结语
从知识的学习到核心素养的养成，知性在其中起到重要的作用。直观是知识的画像，通过变形设计呈现概念的感性直观，通过变式设计抽象出概念的理性直观，再通过模型设计实现感性直观与理性直观的和谐统一。重视直观的设计，让学生对知识的理解始于直观，经历概念的感性直观、理性直观、感性与理性相统一的过程，帮助学生从具体对象的问题解决过程中掌握解决单元问题的基本方法，在运用基本方法解决基本问题的过程中建立模型直观，领悟数学思想方法，培育学生的数学核心素养。
（注：本文系广西八桂教育家摇篮工程系列成果之一）
参考文献：
[1]雅斯贝斯.时代的精神状况[M].王德峰，译.上海：上海译文出版社，1997.
[2]康德.纯粹理性批判[M].蓝公武，译.上海：生活·读书·新知三联书店，1957.
[3]黑格尔.小逻辑[M].贺麟，译.北京：商務印书馆，2003.
[4]谢林.先验唯心论体系[M].梁志学，石泉，译.北京：商务印书馆，1976.
（责任编辑：陆顺演）