中图分类号：G634文献标识码：A 文章编号：1008-925X(2011)09-0170-01
　　
　　摘要：通过对高三复习中遇到的一道题的再认识发现，这是一道由课本习题改编而成的题目，从不同角度和方法对教材上这道题目进行解答，不但拓宽思路，而且引起我们对课本习题的辐射作用的重视。
　　关键词：教材习题方法再挖掘
　　
　　
　　在高三的复习中曾做过这样一道题目：已知a,b,c是△ABC的三条边，比较大小（a＋b＋c）24（ab＋bc＋ca）。这道题的解答可以用特殊值法。取a＝b＝c＝1，得（a＋b＋c）2＝9，4（ab＋bc＋ca）＝12，所以（a＋b＋c）2＜4（ab＋bc＋ca）。后来阅读教材发现，将这道题稍微变形，就是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第33页B组的第6题：设a,b,c为△ABC的三边，求证：a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）。这道题的解法紧紧围绕三角形的边的特征，依据不同的思维，不同的入口结合不等式证明的不同方法，可以得到不同的证法。并且依据已经证明的结论，还可以进行引申。
　　1 常规思维法，不等式的证明最基本的方法就是作差比较法，基于此，有如下的解法：
　　 证法一：∵ a2＋b2＋c2－2（ab＋bc＋ca）
　　 ＝a2 －2ab＋b2＋c2－2ac＋a2＋c2－2bc＋b2－a2－b2－c2
　　 ＝（a－b）2＋（c－a）2＋（c－b）2－a2－b2－c2
　　 ＝（a－b）2－c2＋（c－a）2－b2＋（c－b）2－a2
　　 ＝（a－b＋c）（a－b－c）＋（c－a＋b）（c－a－b）＋（c－b＋a）（c－b－a）
　　 又∵a,b,c为△ABC的三边
　　 ∴a－b＋c＞0 a－b－c＜0 c－a＋b＞0
　　 c－a－b＜0 c－b＋a＞0 c－b－a＜0
　　 ∴（a－b＋c）（a－b－c）＋（c－a＋b）（c－a－b）＋（c－b＋a）（c－b－a）＜0
　　 ∴ a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）
　　 利用不同的组合，仍然利用作差比较法可以得到
　　 证法二：∵a2＋b2＋c2－2（ab＋bc＋ca）
　　 ＝（a2－ab－ca）＋（b2－ab－bc）＋（c2－bc－ac）
　　 ＝a（a－b－c）＋b（b－a－c）＋c（c－b－a）
　　 ＝－〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕
　　又∵a,b,c为△ABC的三边
　　 ∴a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a
　　 利用两边都是正数的同向不等式可以相乘，得到
　　 ∴a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）＞0
　　 ∴ －〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕＜0
　　 ∴a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）
　　2 利用分析法，结合三角形的边角关系和两边都是正数的同向不等式可以相乘的性质可以得到
　　 证法三：∵a,b,c为△ABC的三边
　　 ∴a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a
　　 利用同向正则不等式可以相乘，得到
　　 a(b＋c)＞a2 b(a＋c)＞b2 c(a＋b)＞c2
　　 又∵ 2（ab＋bc＋ca）
　　 ＝ab＋ac＋bc＋ba＋bc＋ac
　　 ＝a(b＋c)＋b(a＋c)＋c(a＋b)＞a2＋b2＋c2
　　 ∴ a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）
　　 在讨论题目的证明过程中，有的同学想到了这样的证明方法：
　　 证法四：∵a,b,c为△ABC的三边
　　 ∴a－b＜c， b－c＜a，a－c＜b
　　 ∴（a－b）2＜c2， （b－c）2＜a2，（a－c）2＜b2
　　 上述三个不等式相得
　　 （a－b）＋（b－c）2＋（a－c）2＜a2＋b2＋c2
　　 即a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）
　　 这种证明简明扼要，非常优秀，说明学生的思维是非常敏捷的。只是在三角形中由a－b＜c， b－c＜a，a－c＜b就一定推出（a－b）2＜c2， （b－c）2＜a2，（a－c）2＜b2的推理不严谨，师生共同改进证明方法可以得到下列优秀证法
　　 证明：∵a,b,c为△ABC的三边
　　 ∴|a－b|＜c， |b－c|＜a，|a－c|＜b
　　 ∴（a－b）2＜c2， （b－c）2＜a2，（a－c）2＜b2
　　 上述三个同向不等式相得
　　 （a－b）＋（b－c）2＋（a－c）2＜a2＋b2＋c2
　　 即a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）
　　 题目证明完成后，进一步引申，可以得到下面的命题：
　　 已知a,b,c为△ABC的三边,求证：关于x的不等式
　　x2＋（a＋b＋c）x＋ab＋ac＋bc＞0的解集为R。
　　证明：∵ a,b,c为△ABC的三边
　　 x2＋（a＋b＋c）x＋ab＋ac＋b
　　 ＝（x＋a+b+c2）2－(a+b+c2)2＋ab＋ac＋bc
　　 ＝（x＋a+b+c2）2＋14〔4（ab＋bc＋ac）－（a＋b＋c）2〕
　　由前面的命题可知
　　 （a＋b＋c）2－4（ab＋ac＋bc）
　　 ＝a2＋b2＋c2－2（ab＋bc＋ca）
　　 ＝（a2－ab－ca）＋（b2－ab－bc）＋（c2－bc－ac）
　　 ＝a（a－b－c）＋b（b－a－c）＋c（c－b－a）
　　 ＝－〔a（b＋c－a）＋b（a＋c－b）＋c（b＋a－c）〕＜0
　　 ∴4（ab＋bc＋ac）－（a＋b＋c）2＞0
　　 又∵（x＋a+b+c2）2＞0
　　∴（x＋a+b+c2）2＋14〔4（ab＋bc＋ac）－（a＋b＋c）2〕＞0恒成立
　　∴关于x的不等式x2＋（a＋b＋c）x＋ab＋ac＋bc＞0的解集为R
　　由上面的证明可以看出，精心研究习题的解答，重视课本习题的辐射作用，无论对教师和学生都是极其有利的。