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摘 要：螺旋波是自然界中最为常见的时空斑图结构，在诸多生化反应以及数值模拟中都可以观察到，但是对于双稳态介质中螺旋波的时空动力学行为的研究却鲜有提及。本文通过B？覿r模型模拟研究了螺旋波的动力学行为，并解释了螺旋波的形成机理；建立了双稳态介质存在螺旋波所要满足的方程；同时预测了在特定参数下会产生成稳定螺旋波、线状和带状漫游螺旋波；得出了振荡和可激发介质都是双稳态介质的极限状态，并且通过数值模拟进行了验证。
关键词：螺旋波；B？覿r模型；双稳态介质
螺旋波在自然界和实验中广泛存在，是远离平衡态系统中最为常见的耗散结构之一，各类螺旋波结构一直都是斑图动力学研究的热点[1]。在很多生化反应—扩散系统的实验过程中，包括CO在Pt表面的催化氧化过程[2]，BZ反应[3]过程和糖酵解[4]等过程中都发现了螺旋波。产生螺旋波的介质可分为可激发介质，振荡介质和双稳态介质三种。目前的研究都集中于可激发介质，简单振荡介质以及个别倍周期振荡周期2系统中的螺旋波。已经在实验和数值模拟中发现了诸如波尖漫游而导致的超螺旋波[5，6]，碎片螺旋波[7，8]，以及倍周期振荡系统所对应的线缺陷螺旋波[9]等，但是对于双稳态介质中的螺旋波的报道鲜见报道。
双稳系统的主要特征是有两个稳定的定态并且都有各自的吸引域。在相空间中，当相点的轨道运动到某个稳态的吸引域范围内时，就会被吸引到该稳态上，如果没有受到足够大的干扰，相点会永远停留在该稳态上；当扰动足够大时，相点会被激发出该稳态，进入另一个稳态的吸引域，最终停留在另一个稳态上。如果系统中有足够强的连续扰动，相点会在这两个稳态上振荡[10，11]。
木文通过对一个二变量模型描述的具有双稳态特性的反应—散系统中所呈现的螺旋波形式的研究，观测了螺旋波的动力学规律，解释了螺旋波的形成机理，建立了双稳态介质存在螺旋波所要满足的方程，同时预测了在特定参数下会产生成稳定螺旋波、线状漫游和面状漫游螺旋波，得出了双稳态介质在极限状态下会过渡到振荡介质与可激发介质。
1 模型介绍
2系统存在螺旋波解的理论及数值模拟
3 结论
动力学方程（1）中的反应项和扩散项的竞争结果决定了该系统能否支持螺旋波。通过改变高稳态与低稳态的闸值，改变激发难易程度，可以得到不同类型的螺旋波。本文建立了双稳态介质存在螺旋波所要满足的方程，解释了波头漫游、线状漫游螺旋波和面状漫游螺旋波的产生机理。推导及证明了振荡介质和可激发介质都是双稳态介质的极限情况。
目前还没有得出详细描述漫游螺旋波波头运动的方程，这正是下一步研究工作的内容。
参考文献
[1]I.R.Epstein. An introduction to nonlinear chemical dynamics： oscillations， waves， patterns， and chaos[M]. New York： Oxford University Press 1998.
[2]G.Ertl， Mikhailov AS. Nonequilibrium structures in condensed systems[J]. Science 1996：1596-1597.
[3]Belousov BP， Field RJ， Buger M. Oscillations and Traveling Waves in Chemical Systems[M]. New York： Wiley 1985.
[4]Wierschem K， Bertram R. Complex bursting in pancreatic islets： a potential glycolytic mechanism[J]. Journal of theoretical biology 2004；228：513-521.
[5]Barkley D. Enclideam symmetry and the dynamics of rotating spiral waves[J]. Phys Rev L 1994：164-167.
[6]Sandstede B， Scheel A. Superspiral Structures of Meandering and Drifting Spiral Waves[J]. Phys Rev L2001；1：171-174.
[7]Epstein IR， Berenstein IB， Dolnik M， Vanag VK， Yang L， Zhabotinsky AM. Coupled and forced patterns in reaction-diffusion systems[J]. Philosophical transactions Series A， Mathematical， physical， and engineering sciences 2008；366：397-408.
[8]高加振，謝玲玲，谢伟苗，高继华. FitzHugh_Nagumo系统中螺旋波的控制[J]. Acta Phys.Sin.2011；60：9.
[9]Zhan M， Kapral R. Model for Line Defects in Complex Oscillatory Media[J]. Phys Rev E 2005：7.
[10]欧阳颀. 反应扩散系统中的斑图动力学 [M]. 上海科技出版社 （2000）.
[11]Jun Tang， Jin-Ming Luo ， Jun Ma ， Ming Yi ， Spiral waves in systems with fractal heterogeneity [J]. Physica A 392 （2013） 5764–5771
关键词：螺旋波；B？覿r模型；双稳态介质
螺旋波在自然界和实验中广泛存在，是远离平衡态系统中最为常见的耗散结构之一，各类螺旋波结构一直都是斑图动力学研究的热点[1]。在很多生化反应—扩散系统的实验过程中，包括CO在Pt表面的催化氧化过程[2]，BZ反应[3]过程和糖酵解[4]等过程中都发现了螺旋波。产生螺旋波的介质可分为可激发介质，振荡介质和双稳态介质三种。目前的研究都集中于可激发介质，简单振荡介质以及个别倍周期振荡周期2系统中的螺旋波。已经在实验和数值模拟中发现了诸如波尖漫游而导致的超螺旋波[5，6]，碎片螺旋波[7，8]，以及倍周期振荡系统所对应的线缺陷螺旋波[9]等，但是对于双稳态介质中的螺旋波的报道鲜见报道。
双稳系统的主要特征是有两个稳定的定态并且都有各自的吸引域。在相空间中，当相点的轨道运动到某个稳态的吸引域范围内时，就会被吸引到该稳态上，如果没有受到足够大的干扰，相点会永远停留在该稳态上；当扰动足够大时，相点会被激发出该稳态，进入另一个稳态的吸引域，最终停留在另一个稳态上。如果系统中有足够强的连续扰动，相点会在这两个稳态上振荡[10，11]。
木文通过对一个二变量模型描述的具有双稳态特性的反应—散系统中所呈现的螺旋波形式的研究，观测了螺旋波的动力学规律，解释了螺旋波的形成机理，建立了双稳态介质存在螺旋波所要满足的方程，同时预测了在特定参数下会产生成稳定螺旋波、线状漫游和面状漫游螺旋波，得出了双稳态介质在极限状态下会过渡到振荡介质与可激发介质。
1 模型介绍
2系统存在螺旋波解的理论及数值模拟
3 结论
动力学方程（1）中的反应项和扩散项的竞争结果决定了该系统能否支持螺旋波。通过改变高稳态与低稳态的闸值，改变激发难易程度，可以得到不同类型的螺旋波。本文建立了双稳态介质存在螺旋波所要满足的方程，解释了波头漫游、线状漫游螺旋波和面状漫游螺旋波的产生机理。推导及证明了振荡介质和可激发介质都是双稳态介质的极限情况。
目前还没有得出详细描述漫游螺旋波波头运动的方程，这正是下一步研究工作的内容。
参考文献
[1]I.R.Epstein. An introduction to nonlinear chemical dynamics： oscillations， waves， patterns， and chaos[M]. New York： Oxford University Press 1998.
[2]G.Ertl， Mikhailov AS. Nonequilibrium structures in condensed systems[J]. Science 1996：1596-1597.
[3]Belousov BP， Field RJ， Buger M. Oscillations and Traveling Waves in Chemical Systems[M]. New York： Wiley 1985.
[4]Wierschem K， Bertram R. Complex bursting in pancreatic islets： a potential glycolytic mechanism[J]. Journal of theoretical biology 2004；228：513-521.
[5]Barkley D. Enclideam symmetry and the dynamics of rotating spiral waves[J]. Phys Rev L 1994：164-167.
[6]Sandstede B， Scheel A. Superspiral Structures of Meandering and Drifting Spiral Waves[J]. Phys Rev L2001；1：171-174.
[7]Epstein IR， Berenstein IB， Dolnik M， Vanag VK， Yang L， Zhabotinsky AM. Coupled and forced patterns in reaction-diffusion systems[J]. Philosophical transactions Series A， Mathematical， physical， and engineering sciences 2008；366：397-408.
[8]高加振，謝玲玲，谢伟苗，高继华. FitzHugh_Nagumo系统中螺旋波的控制[J]. Acta Phys.Sin.2011；60：9.
[9]Zhan M， Kapral R. Model for Line Defects in Complex Oscillatory Media[J]. Phys Rev E 2005：7.
[10]欧阳颀. 反应扩散系统中的斑图动力学 [M]. 上海科技出版社 （2000）.
[11]Jun Tang， Jin-Ming Luo ， Jun Ma ， Ming Yi ， Spiral waves in systems with fractal heterogeneity [J]. Physica A 392 （2013） 5764–5771