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【摘 要】隨着教学改革的发展,数学中的实验操作题,在中考中已越来越多地被体现,但相当一些学校还没有引起足够的重视,因而此类习题得分率较低。那么,如何进行有效地指导,本文从几道中考题分析入手,剖析解决此类习题的一般常规方法。
【关键词】实验操作题 折叠 轴对称 线段垂直平分线 分类思想
近几年,数学中越来越多地出现一些实验操作题,它能很好地考查考生的应用知识的能力。今年的实验操作题的一个明显特点,即考查的知识更多,难度更大。对这类习题多加以训练,会培养他们的数学兴趣,提高应用数学的能力。本文借今年几道中考题加以分析解答,以飨读者。
1 解直角三角形与相似三角形的性质应用
(2009江西省第23题)问题背景:在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:
甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm.影长为156cm.
任务要求:
(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;
(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M请根据甲、乙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)
分析:此题取材于课本,但又有变化。第二问给出了提示,使得问题简化。此类操作题实际上新意不多,但能考查考生学用数学知识的能力,对考生的可持续发展的考查是近年来的的一个热点。考题不追求偏、难,深挖课本和考试说明,一样能出好题。对于(1)直接利用△ABC∽△DEF便可解决;(2)可先求出GN,然后在Rt△NGH由勾股定理得出NH,借助△OMN∽△HGN求得ON,从而求得景灯灯罩的半径.
2 折叠、轴对称性质的应用
(2009山西太原第29题)问题解决:
类比归纳:
分析:此题具有代表性。近年来,考查几何图形折叠的问题考题很多。此类习题要紧抓轴对称的性质不放。这一道题又考出了新意,它将数学中的归纳、猜想、证明及由具体到抽象,从特殊到一般的数学思维方法进行了考查。解题时若能借助于折叠,定能帮助考生分析理解题意。
略解:如图(1-1),由题设,得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称
∴MN垂直平分BE.∴BM=EM,BN=EN.
∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠D=∠C=90°AB=BC=CD=DA=2.
∵E为CD中点,∴CE=DE=1,在Rt△CNE中由NE2=CN2+CE2
得BN=54利用AM2+AB2=DM2+DE2得AM=14∴ AMBN=15.
3 线段垂直平分线性质及勾股定理的应用,函数关系式的确定
(2009天津第25题)已知一个直角三角形纸片OAB.其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.
(1)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标;
(2)若折叠后使点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围;
(3)若折叠后使点B落在边OA上的点为B″,且使B″D∥OB,求此时点C的坐标.
分析:(Ⅰ)利用△ACD≌△BCD和Rt△AOC勾股定理便可解决;(Ⅱ)和(Ⅰ)类似;(4)由B″D∥OB及折叠知识知OC B″=∠CBD,进而有C B″∥BA,△CO B″∽△BOA,进一步可得到OC=2OB″,利用(Ⅱ)的结论,可求出OB″的长度.
略解:(1)点C的坐标为(0,32).
(2)y=-18x2+2(0≤x≤2)y的取值范围为32≤y≤2
小结:此题是一道具有真正意义上的实验操作题。考生在考试过程中,若能动手操作实验,便能很方便快捷地找到解题的方法。此题有三道小题目,层层相扣,分别考查了不同的方面的知识,看似雷同,实质却不相似。(Ⅲ)的求解使得思维得以升华,它体现了数学中重要的思想:化归。
4 二次函数解析式的确定,分类思想的考查
(2009浙江丽水第24题)已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,点Q沿折线CBA向终点A运动,设运动时间为t秒.
(1)填空:菱形ABCD的边长是、面积是、高BE的长是;
(2)探究下列问题:①若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时,求△APQ的面积S关于t的函数关系式,以及S的最大值;②若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度变为每秒k个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的k值,使得△APQ沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形,并求出k的值.
5 小结
本题是旧题新出,利用动点的运动,结合菱形及等腰三角形的性质来命题,使得题目难度明显加大。但若能抓住菱形的轴对称的性质,并结合等腰三角形的判定和性质,则便可以找到解题的正确途径。此题考查了学生的不同能力层次,具有很好的借鉴作用。
通过对2009年的几道数学实验操作题的解答,你应该初步学会如何去应对这类问题了吧!教师只有在教学实践中埋头钻研,帮助学生建立解决实验题的解题框架,才能在中考中以不变应万变,夺取胜利。
【关键词】实验操作题 折叠 轴对称 线段垂直平分线 分类思想
近几年,数学中越来越多地出现一些实验操作题,它能很好地考查考生的应用知识的能力。今年的实验操作题的一个明显特点,即考查的知识更多,难度更大。对这类习题多加以训练,会培养他们的数学兴趣,提高应用数学的能力。本文借今年几道中考题加以分析解答,以飨读者。
1 解直角三角形与相似三角形的性质应用
(2009江西省第23题)问题背景:在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:
甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm.影长为156cm.
任务要求:
(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;
(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M请根据甲、乙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)
分析:此题取材于课本,但又有变化。第二问给出了提示,使得问题简化。此类操作题实际上新意不多,但能考查考生学用数学知识的能力,对考生的可持续发展的考查是近年来的的一个热点。考题不追求偏、难,深挖课本和考试说明,一样能出好题。对于(1)直接利用△ABC∽△DEF便可解决;(2)可先求出GN,然后在Rt△NGH由勾股定理得出NH,借助△OMN∽△HGN求得ON,从而求得景灯灯罩的半径.
2 折叠、轴对称性质的应用
(2009山西太原第29题)问题解决:
类比归纳:
分析:此题具有代表性。近年来,考查几何图形折叠的问题考题很多。此类习题要紧抓轴对称的性质不放。这一道题又考出了新意,它将数学中的归纳、猜想、证明及由具体到抽象,从特殊到一般的数学思维方法进行了考查。解题时若能借助于折叠,定能帮助考生分析理解题意。
略解:如图(1-1),由题设,得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称
∴MN垂直平分BE.∴BM=EM,BN=EN.
∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠D=∠C=90°AB=BC=CD=DA=2.
∵E为CD中点,∴CE=DE=1,在Rt△CNE中由NE2=CN2+CE2
得BN=54利用AM2+AB2=DM2+DE2得AM=14∴ AMBN=15.
3 线段垂直平分线性质及勾股定理的应用,函数关系式的确定
(2009天津第25题)已知一个直角三角形纸片OAB.其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.
(1)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标;
(2)若折叠后使点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围;
(3)若折叠后使点B落在边OA上的点为B″,且使B″D∥OB,求此时点C的坐标.
分析:(Ⅰ)利用△ACD≌△BCD和Rt△AOC勾股定理便可解决;(Ⅱ)和(Ⅰ)类似;(4)由B″D∥OB及折叠知识知OC B″=∠CBD,进而有C B″∥BA,△CO B″∽△BOA,进一步可得到OC=2OB″,利用(Ⅱ)的结论,可求出OB″的长度.
略解:(1)点C的坐标为(0,32).
(2)y=-18x2+2(0≤x≤2)y的取值范围为32≤y≤2
小结:此题是一道具有真正意义上的实验操作题。考生在考试过程中,若能动手操作实验,便能很方便快捷地找到解题的方法。此题有三道小题目,层层相扣,分别考查了不同的方面的知识,看似雷同,实质却不相似。(Ⅲ)的求解使得思维得以升华,它体现了数学中重要的思想:化归。
4 二次函数解析式的确定,分类思想的考查
(2009浙江丽水第24题)已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图,C,D两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发,点P沿线段AD向终点D运动,点Q沿折线CBA向终点A运动,设运动时间为t秒.
(1)填空:菱形ABCD的边长是、面积是、高BE的长是;
(2)探究下列问题:①若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时,求△APQ的面积S关于t的函数关系式,以及S的最大值;②若点P的速度为每秒1个单位,点Q的速度变为每秒k个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的k值,使得△APQ沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形,并求出k的值.
5 小结
本题是旧题新出,利用动点的运动,结合菱形及等腰三角形的性质来命题,使得题目难度明显加大。但若能抓住菱形的轴对称的性质,并结合等腰三角形的判定和性质,则便可以找到解题的正确途径。此题考查了学生的不同能力层次,具有很好的借鉴作用。
通过对2009年的几道数学实验操作题的解答,你应该初步学会如何去应对这类问题了吧!教师只有在教学实践中埋头钻研,帮助学生建立解决实验题的解题框架,才能在中考中以不变应万变,夺取胜利。