各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解，特别是在综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结了九种求解数列通项的方法，供大家参考。
　　一、已知Sn求an
　　例1、已知：数列{an}的各项均为正数，它的前n项和Sn满足Sn= ，且a2、a4、a9成等比数列，求数列{an}的通项公式。
　　解：当n=1时，a1=S1= ，得a1=1或2；
　　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
　　
　　∴6an=an2-an-12+3an-3an-1，∴0=an2-an-12-3an-3an-1
　　∴0=（an+an-1）（an-an-1-3）。
　　∵an>0，∴an-an-1-3=0；
　　所以数列{an}为等差数列。
　　当a1=1、d=2时，an=1+3（n-1）=3n-2，满足a2·a9=a42；
　　当a1=2、d=3时，an=2+3（n-1）=3n-1，不满足a2·a9=a42，舍去。
　　所以an=3n-2。
　　二、题型：an+1-an=f（n）；方法：利用叠加法求an
　　例2、已知：数列{an}，a1=0，an+1=an+ ，求数列{an}的通项公式。
　　解：∵an+1=an+ ∴an+1-an=
　　∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+……+（a2-a1）+a1
　　=++……+ + +0=1-
　　故数列{an}的通项公式为an=1-。
　　三、题型：=f（n）；方法：叠乘法求an
　　例3、已知数列{an}满足：a1=1，an>0，（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，求an。
　　解：∵（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，
　　∴[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0
　　∵an>0，∴an+an+1>0，
　　∴（n+1）an+1=nan，即
　　∴an=a1· · ·……·=1× × × ×……××= 。
　　故数列{an}的通项公式为an= 。
　　四、方法：配凑法求an
　　1、题型：an+1=pan+f（n），p是常数，f（n）是关于n的函数。
　　方法：当f（n）是常值函数时，利用{an-k}求an。
　　当f（n）是一次或二次函数时，把k换成相应的一次或二次函数求an。
　　例4、已知数列{an}，a1= ，an+1=2an-1，求通项公式。
　　解析：∵an+1=2an-1，设an+1+k=2（an+k）
　　则an+1=2an+k∴k=-1
　　an+1-1=2（an-1），且a1-1= -1=
　　故{an-1}是以 为首项、公比为2的等比数列。
　　an-1= ×2n-1=2n-2，∴an=2n-2+1
　　2、题型：an+1=pan+qn，p、q是常数。
　　方法：利用{ }和叠加法求an。
　　例5、已知数列{an}，a1=2且满足an+1-2an=6·3n，求其通项公式。
　　解：∵an+1-2an=6·3n ∴- =3·（ ）n
　　令bn= ，用叠加法得：an=6·3n-2n+3
　　3、题型：an+1=pan+qan-1，p、q是常数。
　　方法：利用{an+1-x1an=x2（an-x1an-1）}（其中x1、x2是方程x2-px-q=0的两个实数根），求an。
　　例6、已知数列{an}，a1=a2=1，an+1=2an+3an-1，求通项公式。
　　解：原式等价于an+1-3an=（-1）·（an-3an-1）
　　{an+1-3an}是首项为a2-3a1=-2、公比为-1的等比数例。
　　an+1-3an=-2·（-1）n-1=2·（-1）n，两边同时除以3n+1，得- = ·（- ）n。
　　叠加法得 = + ·（- ）n-1，
　　∴an= ·3n- ·（-1）n
　　五、不动点法：利用{}（其中x1是相应不动点方程的根）求an
　　例7、已知数列{an}中，a1=1，an+1= ，求通项an。
　　分析：不动点方程x= 的根为x=0。
　　解：∵an+1=∴= ，∴- =n
　　∴ = +（ - ）+（ - ）+……+（-）+（ -）
　　=1+1+2+……+（n-1）=1+=
　　∴an=
　　例8、已知数列{an}中，a1=1，an+1=，求通项an。
　　分析：不动点方程x=的根为x1=-2、x2=2。
　　解：∵an+1-2=-2=┄┄┄┄①
　　∵an+1+2=+2=┄┄┄┄┄②
　　①/②得： =。令bn=，∴bn+1=bn2，
　　∴bn=b2n-1=b2n-2=……b21 =（- ）2 =（ ）2
　　∴an=
　　六、利用{ an}求an
　　例9、已知数列{an}，an>0，a1=1，= ，求其通项公式。
　　解：∵= ∴an+1-4an-3 an+1· an=0
　　∴（ an+1+ an）（ an+1-4 an）=0
　　∵an>0
　　∴ an+1+ an>0∴ an+1=4 an
　　即 an是以 a1=1为首项、公比为q=4的等比数列。
　　∴ an=4n-1∴an=16n-1
　　七、利用函数方程思想求an
　　例10、已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}满足f（log2an）=-2n，求数列{an}的通项公式。
　　解析：∵f（x）=2x-2x-1
　　∴f（log2an）=2log a -2-log a =an-
　　∵f（log2an）=-2n∴an- =-2n
　　∴an=-n± n2+1
　　∵an>0∴an=-n+ n2+1。
　　八、周期数列
　　例11、已知数列{an}满足a1=0、an+1= (n∈N*)，则a20=______，
　　S20=______。
　　解：∵a1=0，a2=- 3，a3= 3，a4=0，a5=- 3，a6= 3
　　∴T=3，a20=a2=- 3，∴S20=- 3
　　九、综合应用以上各种方法
　　例12、数列{an}满足a1= 、a2=2，且当n≥2时，Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0，求通项an。
　　解：当n≥2时，Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0
　　∴（Sn+1-Sn）-2（Sn-Sn-1）=-1
　　即an+1-2an=-1故an+1-1=2（an-1）。
　　所以{an+1-1}是以a2-1=1为首项、q=2为公比的等比数列。
　　∴an+1-1=1·2n-1∴an+1=2n-1+1
　　故an=2n-2+1。
　　当n=1时，a1= 也适合此式，故an=2n-2+1。