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一、反比例函数图像的增减性
反比例函数的图像是双曲线，分布在两个不同的象限。当k>0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。它的增减性与一次函数不同，反比例函数的增减性必须强调“在哪个象限内”。
例1 在函数y=[-a2-1x]（a为常数）的图像上有三点（-3，y1），（-1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是 。
【解析】因为反比例函数y=[-a2-1x]的比例系数含有字母，不能直接求纵坐标，所以只能利用函数的增减性。
解：由-a2-1<0（a为常数），可知函数y=[-a2-1x]的图像分布在第二、四象限。画出简图，如图1，由图像可知y3<0，y2>y1>0，所以y3 【点评】本题不能用代数方法计算求出y1、y2、y3的准确值，只能运用数形结合思想，利用函数的增减性来求解。通过观察图像，比较纵坐标的大小即可。
二、反比例函数的比例系数k的几何意义
反比例函数的比例系数k决定函数图像分布的象限。过反比例函数图像上任意一点，向坐标轴引垂线，垂线与坐标轴围成的矩形的面积是[k]。过反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是[k2]。已知图形的面积，求k的值时，由于面积非负，必须根据双曲线所在的象限，确定k的符号。
例2 如图2，点A为反比例函数y=[kx]图像上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△ABO的面积为4，则k= 。
【解析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积公式和“设而不求”法。
解：（方法一）设点A的坐标为（a，b），则ab=k。△ABO的面积=[12]×AB×BO=4。
所以[12]（-a）·b=4，化简得ab=-8，即k=-8。
（方法二）直接利用k的几何意义。由三角形的面积为4，得知[k2]=4，即[k]=8。由于图像分布在第二、四象限，则k<0，所以k=-8。
【点评】本题是填空题，不需要写过程，可以直接利用反比例函数系数k的几何意义解答，再根据图像所在的象限，确定k的符号，数形结合，快速便捷。如果是解答题，则按照方法一写过程。
三、反比例函数图像的对称性
反比例函数图像是中心对称图形，正比例函数图像也是中心对称图形，因此两个图像组成的整体也是中心对称图形。它们的两个交点关于原点对称，所以两个交点的横、纵坐标互为相反数。利用这样的特殊性质可以帮助我们快速解决有关反比例函数的问题。
例3 已知直线y=kx（k>0）与双曲线y=[3x]交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2 x2y1的值为（ ）。
A.-6 B.-9 C.0 D.9
【解析】运用反比例函数图像的对称性与整体思想即可求解。
解：由点A（x1，y1）在双曲线y=[3x]上，可知x1y1=3，易知点A和点B关于原点对称，则x1=-x2，y1=-y2。因此x1y2 x2y1=-x1y1-x1y1=
-3-3=-6。故选：A。
【点评】本题考查的是反比例函数的对称性。根据反比例函数的图像关于原点对称，得出x1=-x2，y1=-y2是解答此题的关键。把x1y1看成整体，利用整体思想求解。
四、反比例函数图像上点的坐标特征
反比例函数图像上的点的横、纵坐标乘积是定值k。当已知条件中给出了某不规则图形的面积，通常设出某个关键点的坐标，根据图形特点和反比例函数图像上点的坐标特点，表示出其他未知点的坐标，并根据已知图形的面积建立方程，求出k。所设点的坐标，虽然也是未知字母，但并不真正参与最后的计算，只是“设而不求”。
例4 如图3，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=[kx]（x>0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k= 。
【解析】利用反比例函数系数k的几何意义，“设而不求”。
解：由四边形OCBA是矩形，可知AB=OC，OA=BC。设D点的坐标为（a，b），ab=k，根据BD=3AD，可知B（4a，b）。因为E在反比例函数的图像上，所以E的坐标为（4a，[b4]）。∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=4ab-[12k]-[12k]-[12]·3a·（b-[b4]）=12，∴4k-k-[3ab2] [3ab8]=12，即4k-k-[3k2] [3k8]=12，∴k=[325]。
【点评】通过设图像上的关键点D的坐标为（a，b），根据已知数量关系、图形特点以及反比例函数图像上点的横、纵坐标乘积等于k，表示出B和E的坐标，然后用长方形面积减去3个直角三角形的面积来表示△ODE的面积。此时，△AOD和△OCE的面积可以利用k的几何意义直接表示，得到有关k的方程，求出k。这里设的坐标a和b，也是“设而不求”，它们的乘积可看作整体。
五、反比例函数与一次函数的交点问题
例5 如图4，一次函数y=k1x b的图像与反比例函数y=[k2x]的图像相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x b<[k2x]时，x的取值范围为（ ）。
A.x<2 B.2 C.x>6 D.06
【解析】本題要根据函数图像，利用数形结合思想求不等式的解集。
求不等式k1x b<[k2x]的解集，其实就是求当一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量的取值范围。从图像上看，当k1x b<[k2x]时，即为一次函数的图像在反比例函数图像的下方。由图可知，在点A的左侧、y轴右侧这部分图像以及B点的右侧的图像，都是满足的。所以x的取值范围为06。故选D。
【点评】如果利用待定系数法求出两个函数的表达式，再代入不等式，化简后为一元二次不等式，超出了同学们目前的知识水平。而从图像出发，根据图像来求解，则问题便迎刃而解。一般先找到交点，相交时属于临界状态，两个函数值相等。然后在交点的两侧观察图像，根据大小关系，观察两个图像的上下相对位置，从而得出横坐标的范围，即为x的范围。注意双曲线有两支，必须考虑全面，不能漏解。本题看似是求不等式解集，实则求自变量的取值范围，在图像上即为求点的横坐标的范围，利用数形结合思想，将数的问题转化为图形问题。
（作者单位：江苏省常州市外国语学校）
反比例函数的图像是双曲线，分布在两个不同的象限。当k>0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。它的增减性与一次函数不同，反比例函数的增减性必须强调“在哪个象限内”。
例1 在函数y=[-a2-1x]（a为常数）的图像上有三点（-3，y1），（-1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是 。
【解析】因为反比例函数y=[-a2-1x]的比例系数含有字母，不能直接求纵坐标，所以只能利用函数的增减性。
解：由-a2-1<0（a为常数），可知函数y=[-a2-1x]的图像分布在第二、四象限。画出简图，如图1，由图像可知y3<0，y2>y1>0，所以y3
二、反比例函数的比例系数k的几何意义
反比例函数的比例系数k决定函数图像分布的象限。过反比例函数图像上任意一点，向坐标轴引垂线，垂线与坐标轴围成的矩形的面积是[k]。过反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是[k2]。已知图形的面积，求k的值时，由于面积非负，必须根据双曲线所在的象限，确定k的符号。
例2 如图2，点A为反比例函数y=[kx]图像上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△ABO的面积为4，则k= 。
【解析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积公式和“设而不求”法。
解：（方法一）设点A的坐标为（a，b），则ab=k。△ABO的面积=[12]×AB×BO=4。
所以[12]（-a）·b=4，化简得ab=-8，即k=-8。
（方法二）直接利用k的几何意义。由三角形的面积为4，得知[k2]=4，即[k]=8。由于图像分布在第二、四象限，则k<0，所以k=-8。
【点评】本题是填空题，不需要写过程，可以直接利用反比例函数系数k的几何意义解答，再根据图像所在的象限，确定k的符号，数形结合，快速便捷。如果是解答题，则按照方法一写过程。
三、反比例函数图像的对称性
反比例函数图像是中心对称图形，正比例函数图像也是中心对称图形，因此两个图像组成的整体也是中心对称图形。它们的两个交点关于原点对称，所以两个交点的横、纵坐标互为相反数。利用这样的特殊性质可以帮助我们快速解决有关反比例函数的问题。
例3 已知直线y=kx（k>0）与双曲线y=[3x]交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2 x2y1的值为（ ）。
A.-6 B.-9 C.0 D.9
【解析】运用反比例函数图像的对称性与整体思想即可求解。
解：由点A（x1，y1）在双曲线y=[3x]上，可知x1y1=3，易知点A和点B关于原点对称，则x1=-x2，y1=-y2。因此x1y2 x2y1=-x1y1-x1y1=
-3-3=-6。故选：A。
【点评】本题考查的是反比例函数的对称性。根据反比例函数的图像关于原点对称，得出x1=-x2，y1=-y2是解答此题的关键。把x1y1看成整体，利用整体思想求解。
四、反比例函数图像上点的坐标特征
反比例函数图像上的点的横、纵坐标乘积是定值k。当已知条件中给出了某不规则图形的面积，通常设出某个关键点的坐标，根据图形特点和反比例函数图像上点的坐标特点，表示出其他未知点的坐标，并根据已知图形的面积建立方程，求出k。所设点的坐标，虽然也是未知字母，但并不真正参与最后的计算，只是“设而不求”。
例4 如图3，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=[kx]（x>0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k= 。
【解析】利用反比例函数系数k的几何意义，“设而不求”。
解：由四边形OCBA是矩形，可知AB=OC，OA=BC。设D点的坐标为（a，b），ab=k，根据BD=3AD，可知B（4a，b）。因为E在反比例函数的图像上，所以E的坐标为（4a，[b4]）。∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=4ab-[12k]-[12k]-[12]·3a·（b-[b4]）=12，∴4k-k-[3ab2] [3ab8]=12，即4k-k-[3k2] [3k8]=12，∴k=[325]。
【点评】通过设图像上的关键点D的坐标为（a，b），根据已知数量关系、图形特点以及反比例函数图像上点的横、纵坐标乘积等于k，表示出B和E的坐标，然后用长方形面积减去3个直角三角形的面积来表示△ODE的面积。此时，△AOD和△OCE的面积可以利用k的几何意义直接表示，得到有关k的方程，求出k。这里设的坐标a和b，也是“设而不求”，它们的乘积可看作整体。
五、反比例函数与一次函数的交点问题
例5 如图4，一次函数y=k1x b的图像与反比例函数y=[k2x]的图像相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x b<[k2x]时，x的取值范围为（ ）。
A.x<2 B.2
【解析】本題要根据函数图像，利用数形结合思想求不等式的解集。
求不等式k1x b<[k2x]的解集，其实就是求当一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量的取值范围。从图像上看，当k1x b<[k2x]时，即为一次函数的图像在反比例函数图像的下方。由图可知，在点A的左侧、y轴右侧这部分图像以及B点的右侧的图像，都是满足的。所以x的取值范围为0
【点评】如果利用待定系数法求出两个函数的表达式，再代入不等式，化简后为一元二次不等式，超出了同学们目前的知识水平。而从图像出发，根据图像来求解，则问题便迎刃而解。一般先找到交点，相交时属于临界状态，两个函数值相等。然后在交点的两侧观察图像，根据大小关系，观察两个图像的上下相对位置，从而得出横坐标的范围，即为x的范围。注意双曲线有两支，必须考虑全面，不能漏解。本题看似是求不等式解集，实则求自变量的取值范围，在图像上即为求点的横坐标的范围，利用数形结合思想，将数的问题转化为图形问题。
（作者单位：江苏省常州市外国语学校）