论文部分内容阅读
易错点1 “非等可能”与“等可能”混淆
例1 如图，在等腰[RtΔABC]中，过直角顶点[C]在[∠ACB]内部任作一条射线[CM]与线段[AB]交于点[M]，求[AM 错解 在[AB]上取[AC=AC]，在[∠ACB]内作射线[CM]看作：在线段[AC]上任取一点[M]，过[C]，[M]作射线[CM]. 则概率为[ACAB=ACAB=22].
错因分析 属策略性错误.这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思. 我们发现题目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过顶点[C]和[AC]上任意一点[M]所作的射线并非是均匀的（在斜边[AB]上靠近顶点[C]越近的地方，射线越稠密；离顶点[C]越远，射线越稀疏）. 因此，不能把等可能地取点看作是等可能地取射线. 在确定基本事件时，一定要注意观察角度，注意基本事件的等可能性.如右图，在[∠ACB]内部任作射线，则射线落在[∠ACB]内的概率是一定的，但[DEDF，HIHK，AMAB]的值是变化的.
正解 在[∠ACB]内的射线[CM]是均匀分布的，所以射线[CM]在任何位置都是等可能的，在[AB]上取[AC=AC]，则[∠ACC=67.5°]，故满足条件的概率为[67.590=34].
点拨 如将“在[∠ACB]内部任作一条射线[CM]”改为“在线段[AB]取点[M]”，则解法就改变了. 点[M]随机地落在线段[AB]上，故线段[AB]为区域[D]. 在[AB]上截取[AC=AC] ，当点[M]位于如图的[AC]内时，[AM 错因分析 属策略性错误.题中[M]点是由[∠BAC]内作射线[AM]与[BC]相交得到，因此，本题中的基本事件是[∠BAC]内的射线（每一条射线的产生都是等可能的），而由此得到的[M]点在[BC]上并不是等可能的.
正解 以[A]点为起点作射线[AM]是随机的，且射线[AM]落在[∠BAC]内的任何位置都是等可能的，故[BM<1]时，射线[AM]一定落在[∠BAD]内，且射线[AM]落在[∠BAD]内的概率只与[∠BAD]大小有关，符合几何概型的条件. 记事件[A]={射线[AM]落在[∠BAD]内}.
点拨 求解几何概型的概率问题往往可以按照以下五个步骤求解. ①选择适当的观察角度（从等可能性的角度观察）. ②引入变量，通常情况下一个变量对应为区间长度，两个变量对应为区域面积，三个变量对应为空间体积. ③集合表示，用相应的集合分别表示出试验的全部结果[G]和事件[A]所包含的试验结果，一般来说，两个集合都是一元二次不等式的交集. ④作出区域，并分别求出两个区域的测度. ⑤准确得到随机事件的构成区域后，根据几何概型的概率公式，计算求解：[P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.]
错因分析 属策略性错误.本题很多同学无从下手，主要原因是不明白题意，不懂得如何等价转化.
正解 图象[m]和[n]的可能取值情况如图所示，满足情况的是图中的阴影部分，故答案选D.
点拨 尽管概率部分概念多、公式多、模型多，但只要学生在解题的过程中，注意以上易混易错的各种类型，便可减少不必要的失误，从而提高解答概率题的准确率.
几何概型并不限于向平面（或直线、空间）投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题就可利用几何概型来解决.
例1 如图，在等腰[RtΔABC]中，过直角顶点[C]在[∠ACB]内部任作一条射线[CM]与线段[AB]交于点[M]，求[AM
错因分析 属策略性错误.这种解法看似很有道理，但仔细一看值得深思. 我们发现题目的条件已经发生了改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过顶点[C]和[AC]上任意一点[M]所作的射线并非是均匀的（在斜边[AB]上靠近顶点[C]越近的地方，射线越稠密；离顶点[C]越远，射线越稀疏）. 因此，不能把等可能地取点看作是等可能地取射线. 在确定基本事件时，一定要注意观察角度，注意基本事件的等可能性.如右图，在[∠ACB]内部任作射线，则射线落在[∠ACB]内的概率是一定的，但[DEDF，HIHK，AMAB]的值是变化的.
正解 在[∠ACB]内的射线[CM]是均匀分布的，所以射线[CM]在任何位置都是等可能的，在[AB]上取[AC=AC]，则[∠ACC=67.5°]，故满足条件的概率为[67.590=34].
点拨 如将“在[∠ACB]内部任作一条射线[CM]”改为“在线段[AB]取点[M]”，则解法就改变了. 点[M]随机地落在线段[AB]上，故线段[AB]为区域[D]. 在[AB]上截取[AC=AC] ，当点[M]位于如图的[AC]内时，[AM
正解 以[A]点为起点作射线[AM]是随机的，且射线[AM]落在[∠BAC]内的任何位置都是等可能的，故[BM<1]时，射线[AM]一定落在[∠BAD]内，且射线[AM]落在[∠BAD]内的概率只与[∠BAD]大小有关，符合几何概型的条件. 记事件[A]={射线[AM]落在[∠BAD]内}.
点拨 求解几何概型的概率问题往往可以按照以下五个步骤求解. ①选择适当的观察角度（从等可能性的角度观察）. ②引入变量，通常情况下一个变量对应为区间长度，两个变量对应为区域面积，三个变量对应为空间体积. ③集合表示，用相应的集合分别表示出试验的全部结果[G]和事件[A]所包含的试验结果，一般来说，两个集合都是一元二次不等式的交集. ④作出区域，并分别求出两个区域的测度. ⑤准确得到随机事件的构成区域后，根据几何概型的概率公式，计算求解：[P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.]
错因分析 属策略性错误.本题很多同学无从下手，主要原因是不明白题意，不懂得如何等价转化.
正解 图象[m]和[n]的可能取值情况如图所示，满足情况的是图中的阴影部分，故答案选D.
点拨 尽管概率部分概念多、公式多、模型多，但只要学生在解题的过程中，注意以上易混易错的各种类型，便可减少不必要的失误，从而提高解答概率题的准确率.
几何概型并不限于向平面（或直线、空间）投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题就可利用几何概型来解决.