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形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫二次函数，其图像是一条抛物线，内容相当广泛，是中考的必考内容。常与一次函数、反比例函数、方程、不等式图、多边形等知识相结合，成为综合性较强、难度较大的压轴题。因此深刻理解二次函数及其图像的性质，掌握二次函数解析式的几种求法、二次函数与一元二次方程的关系以及抛物线的平移是相当重要的，现举例将二次函数有关的常见题型归纳如下，供大家参考。
类型一：关于二次函数图像的平移问题。
例1、将抛物线y=x2-2x+3向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线，解析式是 。
点评：抛物线的平移，其实质是顶点的平移，因此先把抛物线配成顶点式y=a（x-h）2+k，再按顶点横坐标“左移加右移减”，顶点纵坐标“上移加下移减”的规则进行。
解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2，∴平移后的抛物线解析式为：y=（x-2）2-1=x2-4x+3。
类型二：根据二次函数的图像，确定系数间的关系、顶点坐标、对称轴等问题。
例2、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示。给出以下结论：①a+b+c<0；②a-b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中正确结论的序号是（ ）。
A、③④ B、②③ C、①④ D、①②③
点评：由已知抛物线在坐标系中的位置，判断与系数a、b、c有关的代数式值等有关的问题，应从五个方面进行思考：①开口方向，②与y轴交点的大致位置，③对称轴与y轴的相对位置，④与x轴交点的个数，⑤自变量取特殊值时对应的函数值的符号。答案为B。
类型三：二次函数图像与坐标轴的交点问题。
例3、函数y=kx2-6x+3（k≠0）的图像与x轴有交点，则k的取值范围是 。
点评：函数y=ax2+bx+c与x轴的交点个数，由判别式“△=b2-4ac”来确定。当△>0时，抛物线与x轴有两个交点；当△=0时，抛物线与x轴有且仅有一个交点；当△<0时，抛物线与x轴无交点。
解：由△=（-b）2-4×3k=36-12k≥0得k≤3，∴k的取值范围是k≤3且k≠0。
类型四：根据题目已知条件，确定二次函数的解析式等有关问题。
例4、如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别较于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD。
①求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；②在所求抛物线上面是否存在点P，使得直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在请说明理由。
点评：在求二次函数的解析式时，要根据题目条件，恰当设出解析式，常见有三形式：①一般式y=ax2+bx+c（a≠0）；②顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）；③交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）x1、x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标），本例根据题目条件求出A、B、D三点坐标，可设一般式，从而求得。
解：①由已知得：
A（-2，0） B（0，4） C（0，2） D（4，0）
设经过A、B、D三点的抛物线为y=ax2+bx+c，则有4a-2b+2c=0c=416a+4b+c=0解得a=-，b=1，c=4
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+4。
若存在点P满足条件，则直线CP必须过OD的中点E（2，0），不难知道经过C（0，2）、E（2，0）的直线为y=-x+2，于是设点P的坐标为P（m，-m+2），把P点坐标带入抛物线的解析式得：-m2+m+4=-m+2即m2-4m-4=0，解得m=2±2 ∴满足条件的点P有两个：P1（2+2，-2）；P2（2-2，2）。
类型五：用配分法或公式法求求二次函数图像的顶点坐标、对称轴及最大（小）值等。
例5、试求出抛物线y=x2+x-的顶点坐标，对称轴方程及函数的最大（小）值。
点评：配分法与公式法是常用的两种方法，其中公式法较为方便，因此应熟记公式：顶点坐标：（-，），对称轴是直线x=-。
解：将a=，b=1，c=-带入上述公式得该抛物线的顶点坐标（-1，-3），对称轴是直线x=-1，函数有最小值是-3。
类型六：从不同角度思考，解决与二次函数有关的生活实际问题等综合应用题。
例6、如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图像交与A、B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上。①求m的值及这个二次函数的关系式；②P为线段AB上的一个动点（点P不与A、B重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；③D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由。
点评：该类题型综合性大，应用知识多，因此应认真审题，理解题意，探求解题思路，从而进行正确解答。
略解：①把点A（3，4）带入y=x+m中，m=1，由于知道抛物线的顶点坐标为C（1，0） ∴设y=a（x-1）2，把点A（3，4）带入抛物线中，得a=1。∴所求二次函数解析式为y=x2-2x+1。
②设P、E两点的纵坐标为y1、y2，则有：PE=h=y1-y2=（x+1）-（x2-2x+1）=-x2+3x即h=-x2+3x（0 ③存在。要使四边形DCEP是平行四边形，必有PE=DC
∴-x2+3x=2，由此解得x1=2、x2=1（不合题意，舍去） ∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形。
类型一：关于二次函数图像的平移问题。
例1、将抛物线y=x2-2x+3向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线，解析式是 。
点评：抛物线的平移，其实质是顶点的平移，因此先把抛物线配成顶点式y=a（x-h）2+k，再按顶点横坐标“左移加右移减”，顶点纵坐标“上移加下移减”的规则进行。
解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2，∴平移后的抛物线解析式为：y=（x-2）2-1=x2-4x+3。
类型二：根据二次函数的图像，确定系数间的关系、顶点坐标、对称轴等问题。
例2、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示。给出以下结论：①a+b+c<0；②a-b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中正确结论的序号是（ ）。
A、③④ B、②③ C、①④ D、①②③
点评：由已知抛物线在坐标系中的位置，判断与系数a、b、c有关的代数式值等有关的问题，应从五个方面进行思考：①开口方向，②与y轴交点的大致位置，③对称轴与y轴的相对位置，④与x轴交点的个数，⑤自变量取特殊值时对应的函数值的符号。答案为B。
类型三：二次函数图像与坐标轴的交点问题。
例3、函数y=kx2-6x+3（k≠0）的图像与x轴有交点，则k的取值范围是 。
点评：函数y=ax2+bx+c与x轴的交点个数，由判别式“△=b2-4ac”来确定。当△>0时，抛物线与x轴有两个交点；当△=0时，抛物线与x轴有且仅有一个交点；当△<0时，抛物线与x轴无交点。
解：由△=（-b）2-4×3k=36-12k≥0得k≤3，∴k的取值范围是k≤3且k≠0。
类型四：根据题目已知条件，确定二次函数的解析式等有关问题。
例4、如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别较于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD。
①求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；②在所求抛物线上面是否存在点P，使得直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在请说明理由。
点评：在求二次函数的解析式时，要根据题目条件，恰当设出解析式，常见有三形式：①一般式y=ax2+bx+c（a≠0）；②顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）；③交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）x1、x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标），本例根据题目条件求出A、B、D三点坐标，可设一般式，从而求得。
解：①由已知得：
A（-2，0） B（0，4） C（0，2） D（4，0）
设经过A、B、D三点的抛物线为y=ax2+bx+c，则有4a-2b+2c=0c=416a+4b+c=0解得a=-，b=1，c=4
∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+4。
若存在点P满足条件，则直线CP必须过OD的中点E（2，0），不难知道经过C（0，2）、E（2，0）的直线为y=-x+2，于是设点P的坐标为P（m，-m+2），把P点坐标带入抛物线的解析式得：-m2+m+4=-m+2即m2-4m-4=0，解得m=2±2 ∴满足条件的点P有两个：P1（2+2，-2）；P2（2-2，2）。
类型五：用配分法或公式法求求二次函数图像的顶点坐标、对称轴及最大（小）值等。
例5、试求出抛物线y=x2+x-的顶点坐标，对称轴方程及函数的最大（小）值。
点评：配分法与公式法是常用的两种方法，其中公式法较为方便，因此应熟记公式：顶点坐标：（-，），对称轴是直线x=-。
解：将a=，b=1，c=-带入上述公式得该抛物线的顶点坐标（-1，-3），对称轴是直线x=-1，函数有最小值是-3。
类型六：从不同角度思考，解决与二次函数有关的生活实际问题等综合应用题。
例6、如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图像交与A、B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上。①求m的值及这个二次函数的关系式；②P为线段AB上的一个动点（点P不与A、B重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；③D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由。
点评：该类题型综合性大，应用知识多，因此应认真审题，理解题意，探求解题思路，从而进行正确解答。
略解：①把点A（3，4）带入y=x+m中，m=1，由于知道抛物线的顶点坐标为C（1，0） ∴设y=a（x-1）2，把点A（3，4）带入抛物线中，得a=1。∴所求二次函数解析式为y=x2-2x+1。
②设P、E两点的纵坐标为y1、y2，则有：PE=h=y1-y2=（x+1）-（x2-2x+1）=-x2+3x即h=-x2+3x（0
∴-x2+3x=2，由此解得x1=2、x2=1（不合题意，舍去） ∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形。