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摘 要：本文在合理的假设下对二维CT系统进行参数标定，通过CT重建算法重现物体。主要解决了探测器单元之间的距离、旋转中心在正方形托盘中的位置以及该CT系统使用的X射线的180个方向参数标定的问题。首先，利用CT系统旋转时的三种特殊情况下的各自探测器单元的间距的平均值求出探测单元间的间距为0.2786mm。其次，考虑有特殊的探测单元必过旋转中心，求出此探测单元与坐标原心的距离，结合探测单元之间的间距，写出表达式，得其位置为（﹣1.3800，﹣1.9320）。最后，通过计算不同方向X射线与x轴的夹角，来表示其方向。
关键词：CT系统； 参数标定；几何计算
社会的需要是技术发展的动力。CT技术自产生以来，广泛应用于医疗、军事、安检等多个领域。计算机断层扫描成像技术（CT）系统运行原理是对发射器的X射线经过待重建物体后强度变化的信息进行采集，进而运用对应的成像算法进行图像重建，得到具有物体内部信息的像素灰度图[1]。
1 探测单元距离求解
已知探测器中的每一个单元等距排列。通过分析CT系统的旋转投影规律，可从CT系统的X射线垂直于所建坐标系的x轴和垂直于所建坐标系的y轴两个方向分析和求探测单元之间的距离。
当CT系统的X射线垂直于所建坐标系的x轴时，探测器的投影情况可分为椭圆和小圆两种情况进行分析，如图1所示。
當X射线垂直于所建坐标系的x轴时，根据小圆的投影情况来计算单元之间的距离，从而得出探测单元之间的距离可由图1中的小圆的直径d1除以数据中探测器得到数据的探测单元的个数m1 ，可以得到探测单元之间的距离X1：
通过MATLAB 编程，从相关数据中找出最大值141.7794 ，其所在位置为第151（EU ）个方向，第223 个探测器。此处位置从数据中可知，直面照射小圆得到有数据的探测单元个数m1 为29，且已知小圆的直径d1 为8.0000mm ，从而代入上式求得探测单元之间的距离：
2 CT系统旋转中心求解
结合CT系统的工作原理和已知数据的分析，旋转中心在正方形托盘中的位置的求解过程如下：
（1）首先，确定旋转中心。结合相关信息，图像面积可用探测单元的180个方向的数值累加求得。用MATLAB 编程可得在第228个探测单元所求得的图像面积最大。所以第228个探测单元必过旋转中心。
（2）其次，理想的CT系统的旋转中心应在被投影物体的中心。但在CT系统运作过程中，探测系统要旋转，存在机械误差，因此会发生偏转。所以在计算旋转中心在正方形托盘中的位置时，需要借助坐标系，已知x轴，y 轴分别对应的探测单元，设旋转中心在正方形托盘中的位置为点（x，y） ，分别计算出旋转中心到x 轴，y 轴的距离，再利用已求得的探测单元之间的距离，即可求得x，y 的值。求解如下：
a.计算x 的值，y 轴对应于探测器中的第223 个探测单元，离第228个探测单元必过的旋转中心有5个探测单元的距离，且在y 轴的左边，故x 的值：
b.计算y 的值，x轴对应于探测器中的第235个探测单元，离第228个探测单元必过旋转中心有7个探测单元的距离，且在x轴的下方，故y 的值：
故旋转中心在图1的位置坐标为（﹣1.3800，﹣1.9320），如图2所示：
3 X射线180个方向求解
设每一个方向X 射线与x轴的夹角为 ，转动变化次数Ci（i=1，2，…，180） 。具体步骤如下：
（1）首先，计算出每一次转动 X射线与x 轴的夹角变化的角度。X 射线与x 轴的夹角分别为270°和180°，表示为θ151 和θ61 ，假设每次旋转角度变化是均匀变化的。每一次转动方向， X射线与x 轴的夹角变化的角度△θ’ 等于整个发射-接收系统绕旋转中心逆时针旋转过程中转动的角度△θ 除以方向变化的次数Ci ，即每一次转动角度变化的表达式为：
其次，解出初始位置X射线与x 轴的夹角θ1 。从初始位置到末位置转动了60次，故初始位置X射线与x轴的夹角为：
把数值代入上式，求得初始位置X射线与x轴的夹角为：
最后，求出每一个方向 X射线与x 轴的夹角θi（i=1，2，…，180）。
结论：
在本文参数标定中，根据不同的几何参数选取不同的投影方向和表达方式，针对性强且误差较小。尤其是在计算探测单元之间的距离时，分析CT系统的三种不同情况，求其平均值，以此减小机械误差。同时，在寻找旋转中心时，利用平行束CT系统的特性，即必有一个探测单元对应的X射线在旋转中一直垂直于旋转中心，来确定旋转中心，避免了插值拟合带来的误差，得到旋转中心的偏移量更客观合理。
参考文献：
[1] 饶松. 工业X射线CT用ART算法图像重建及误差分析[D].兰州大学，2016：3-5
[2] 卢彦斌. X射线CT成像技术与多模态层析成像技术研究[D].北京大学，2012.
关键词：CT系统； 参数标定；几何计算
社会的需要是技术发展的动力。CT技术自产生以来，广泛应用于医疗、军事、安检等多个领域。计算机断层扫描成像技术（CT）系统运行原理是对发射器的X射线经过待重建物体后强度变化的信息进行采集，进而运用对应的成像算法进行图像重建，得到具有物体内部信息的像素灰度图[1]。
1 探测单元距离求解
已知探测器中的每一个单元等距排列。通过分析CT系统的旋转投影规律，可从CT系统的X射线垂直于所建坐标系的x轴和垂直于所建坐标系的y轴两个方向分析和求探测单元之间的距离。
当CT系统的X射线垂直于所建坐标系的x轴时，探测器的投影情况可分为椭圆和小圆两种情况进行分析，如图1所示。
當X射线垂直于所建坐标系的x轴时，根据小圆的投影情况来计算单元之间的距离，从而得出探测单元之间的距离可由图1中的小圆的直径d1除以数据中探测器得到数据的探测单元的个数m1 ，可以得到探测单元之间的距离X1：
通过MATLAB 编程，从相关数据中找出最大值141.7794 ，其所在位置为第151（EU ）个方向，第223 个探测器。此处位置从数据中可知，直面照射小圆得到有数据的探测单元个数m1 为29，且已知小圆的直径d1 为8.0000mm ，从而代入上式求得探测单元之间的距离：
2 CT系统旋转中心求解
结合CT系统的工作原理和已知数据的分析，旋转中心在正方形托盘中的位置的求解过程如下：
（1）首先，确定旋转中心。结合相关信息，图像面积可用探测单元的180个方向的数值累加求得。用MATLAB 编程可得在第228个探测单元所求得的图像面积最大。所以第228个探测单元必过旋转中心。
（2）其次，理想的CT系统的旋转中心应在被投影物体的中心。但在CT系统运作过程中，探测系统要旋转，存在机械误差，因此会发生偏转。所以在计算旋转中心在正方形托盘中的位置时，需要借助坐标系，已知x轴，y 轴分别对应的探测单元，设旋转中心在正方形托盘中的位置为点（x，y） ，分别计算出旋转中心到x 轴，y 轴的距离，再利用已求得的探测单元之间的距离，即可求得x，y 的值。求解如下：
a.计算x 的值，y 轴对应于探测器中的第223 个探测单元，离第228个探测单元必过的旋转中心有5个探测单元的距离，且在y 轴的左边，故x 的值：
b.计算y 的值，x轴对应于探测器中的第235个探测单元，离第228个探测单元必过旋转中心有7个探测单元的距离，且在x轴的下方，故y 的值：
故旋转中心在图1的位置坐标为（﹣1.3800，﹣1.9320），如图2所示：
3 X射线180个方向求解
设每一个方向X 射线与x轴的夹角为 ，转动变化次数Ci（i=1，2，…，180） 。具体步骤如下：
（1）首先，计算出每一次转动 X射线与x 轴的夹角变化的角度。X 射线与x 轴的夹角分别为270°和180°，表示为θ151 和θ61 ，假设每次旋转角度变化是均匀变化的。每一次转动方向， X射线与x 轴的夹角变化的角度△θ’ 等于整个发射-接收系统绕旋转中心逆时针旋转过程中转动的角度△θ 除以方向变化的次数Ci ，即每一次转动角度变化的表达式为：
其次，解出初始位置X射线与x 轴的夹角θ1 。从初始位置到末位置转动了60次，故初始位置X射线与x轴的夹角为：
把数值代入上式，求得初始位置X射线与x轴的夹角为：
最后，求出每一个方向 X射线与x 轴的夹角θi（i=1，2，…，180）。
结论：
在本文参数标定中，根据不同的几何参数选取不同的投影方向和表达方式，针对性强且误差较小。尤其是在计算探测单元之间的距离时，分析CT系统的三种不同情况，求其平均值，以此减小机械误差。同时，在寻找旋转中心时，利用平行束CT系统的特性，即必有一个探测单元对应的X射线在旋转中一直垂直于旋转中心，来确定旋转中心，避免了插值拟合带来的误差，得到旋转中心的偏移量更客观合理。
参考文献：
[1] 饶松. 工业X射线CT用ART算法图像重建及误差分析[D].兰州大学，2016：3-5
[2] 卢彦斌. X射线CT成像技术与多模态层析成像技术研究[D].北京大学，2012.