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一次函数及其图像的性质在2009年部分省市中考数学试卷中的考点分布情况统计如下:
考点一、由解析式确定一次函数的图像
例1 (2009年河北考题)如图1所示的计算程序中,y与x之间的函数关系所对应的图像应为().
解析:先根据计算程序确定出函数的解析式,便可以进一步确定出该函数的图像.由给出的计算程序可以得到函数关系式y=-2x+4,再根据k,b的符号确定该函数的图像,故选D.
点拨:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.当k>0时,直线必经过一、三象限;当k<0时,直线必经过二、四象限.当b>0时,直线与y轴正半轴相交;当b=0时,直线过原点;当b<0时,直线与y轴负半轴相交.在以后的中考中,由解析式确定函数图像的知识仍是命题的重点,试题难度不大,主要以选择、填空为主,同学们在复习时应夯实基础知识,提高计算能力,注重对由解析式求图像的理解和运用.
考点二、对函数图像意义的理解
例2 (2009年湖北黄冈考题)小高从家门口骑车去单位上班,先走平路到达点A,再走上坡路到达点B,最后走下坡路到达工作单位,所用的时间与路程的关系如图2.下班后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和上班时一致,那么他从单位到家门口需要的时间是( ).
A.12分钟 B.15分钟
C.25分钟 D.27分钟
解析:由题意可知,小高从单位到家与从家到单位所走的路正好是相反的,即上班时的平路回来时仍是平路,上班时的上坡的速度是1÷5=0.2(千米/分),下坡的速度为2÷4=0.5(千米/分).所以回来时用的时间是2÷0.2+1÷0.5+3=15(分),故选B.
点拨:解决本题的关键是弄清函数图像的意义,与实际问题相结合时,要注意揭示图像所代表的实际意义.在以后的中考试题中,对图像意义的理解仍将作为基础题出现,主要考查同学们的识图能力.
考点三、借助图像解决最值问题
例3 (2009年四川考题)某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y (元)的关系由如图3所示的一次函数图像确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为().
A.20kgB.25kg C.28kgD.30kg
解析:该图像过(30,300)、(50,900)两点,可以求出其解析式,旅客可携带的免费行李的最大质量是图像与x轴交点的横坐标.设函数的解析式为y=kx+b,把(30,300)、(50,900)两点代入求得,k=30,b=-100.所以该函数的解析式为y=30x-600,当y=0时,x=20,故选A.
点拨:由函数关系式求最值问题是以后中考试题的发展方向和重点考点.
考点四、求图像与坐标轴围成的面积问题
例4 (2009年浙江考题)如图4,点A、D、B、C在一次函数y=-2x+m的图像上,它们的横坐标依次为-1、0、1、2,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,则图中阴影部分的面积之和是().
A.1 B.3C. 3(m-1)D.(m-2)
解析:本题要求阴影面积的和,只要分别求出每个小三角形阴影的面积即可.由题意可知,过A、B作y轴的垂线,垂足分别是N、M,则这三个小三角形的面积相等.由y=-2x+m可以求出N、D的纵坐标分别为2+m、m.则ND=2+m-m=2.所以S△AND=×AN×ND=×1 ×2=1.所以阴影部分的面积之和是3,故选B.
点拨:求一次函数图像与坐标轴围成的图形的面积时,通常用坐标轴作底,再找出高即可.要注意当坐标是负数时,应取它的绝对值.在以后的中考中,函数图像与坐标轴围成的面积问题仍是重要的考点,应把握解题关键.
考点五、由图像确定解析式
例5 (2009年湖南衡阳考题)在一次远足活动中,某班学生分成两组,第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回,第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回,两组同时出发,设步行的时间为t(h),两组离乙地的距离分别为S1(km)和S2(km),图5中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系.
(1)甲、乙两地之间的距离为______km,乙、丙两地之间的距离为________ km;
(2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少?
(3)求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
解析:解本题的关键是明确图像的意义.
(1)8,2.
(2)第二组由甲地出发首次到达乙地所用的时间为8÷[2×(8+2)÷2]=8÷10=0.8(小时),第二组由乙地到达丙地所用的时间为:2÷[2×(8+2)÷2]=2÷10=0.2 (小时).
(3)根据题意得,A、B的坐标分别为(0.8,0)和(1,2),设线段AB的函数关系式为S2=kt+b,根据题意得0=0.8k+b2=k+b,解得k=10b=-8.所以图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式为:S2 =10t-8,自变量t的取值范围是:0.8≤t≤1 .
点拨:在同一坐标系中,有多个函数图像问题是中考的常见题型,难度稍大,解决的关键是正确分析图像的意义.
考点六、一次函数与方程结合
例6 (2009年长春考题)某部队甲、乙两班参加植树活动.乙班先植树30棵,然后甲班才开始与乙班一起植树.设甲班植树的总量为y甲(棵),乙班植树的总量为y乙(棵),两班一起植树所用的时间(从甲班开始植树时计时)为 x(时),y甲、y乙 与x之间的部分函数图像如图6所示.
(1)当0≤x≤6 时,分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式.
(2)如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率,通过计算说明,当x=8时,甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵.
解析:(1)设y甲=k1x,当x=3时,y甲=60,所以 y甲=20x.设y乙=k2x+b,把(0,30)、(3,60)代入,得b=30,k2=10,所以y乙=10x+30.
(2)当x=8时,y甲=8×20=160,y乙=8×10+30=110.因为160+110=270>260,所以当x=8时,甲、乙两班植树的总量之和能超过260棵.
点拨:本题是函数图像与方程应用相结合的实际问题,在以后的中考中,此类问题仍将是中考试卷中的一个亮点.
考点一、由解析式确定一次函数的图像
例1 (2009年河北考题)如图1所示的计算程序中,y与x之间的函数关系所对应的图像应为().
解析:先根据计算程序确定出函数的解析式,便可以进一步确定出该函数的图像.由给出的计算程序可以得到函数关系式y=-2x+4,再根据k,b的符号确定该函数的图像,故选D.
点拨:直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系.当k>0时,直线必经过一、三象限;当k<0时,直线必经过二、四象限.当b>0时,直线与y轴正半轴相交;当b=0时,直线过原点;当b<0时,直线与y轴负半轴相交.在以后的中考中,由解析式确定函数图像的知识仍是命题的重点,试题难度不大,主要以选择、填空为主,同学们在复习时应夯实基础知识,提高计算能力,注重对由解析式求图像的理解和运用.
考点二、对函数图像意义的理解
例2 (2009年湖北黄冈考题)小高从家门口骑车去单位上班,先走平路到达点A,再走上坡路到达点B,最后走下坡路到达工作单位,所用的时间与路程的关系如图2.下班后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和上班时一致,那么他从单位到家门口需要的时间是( ).
A.12分钟 B.15分钟
C.25分钟 D.27分钟
解析:由题意可知,小高从单位到家与从家到单位所走的路正好是相反的,即上班时的平路回来时仍是平路,上班时的上坡的速度是1÷5=0.2(千米/分),下坡的速度为2÷4=0.5(千米/分).所以回来时用的时间是2÷0.2+1÷0.5+3=15(分),故选B.
点拨:解决本题的关键是弄清函数图像的意义,与实际问题相结合时,要注意揭示图像所代表的实际意义.在以后的中考试题中,对图像意义的理解仍将作为基础题出现,主要考查同学们的识图能力.
考点三、借助图像解决最值问题
例3 (2009年四川考题)某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y (元)的关系由如图3所示的一次函数图像确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为().
A.20kgB.25kg C.28kgD.30kg
解析:该图像过(30,300)、(50,900)两点,可以求出其解析式,旅客可携带的免费行李的最大质量是图像与x轴交点的横坐标.设函数的解析式为y=kx+b,把(30,300)、(50,900)两点代入求得,k=30,b=-100.所以该函数的解析式为y=30x-600,当y=0时,x=20,故选A.
点拨:由函数关系式求最值问题是以后中考试题的发展方向和重点考点.
考点四、求图像与坐标轴围成的面积问题
例4 (2009年浙江考题)如图4,点A、D、B、C在一次函数y=-2x+m的图像上,它们的横坐标依次为-1、0、1、2,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,则图中阴影部分的面积之和是().
A.1 B.3C. 3(m-1)D.(m-2)
解析:本题要求阴影面积的和,只要分别求出每个小三角形阴影的面积即可.由题意可知,过A、B作y轴的垂线,垂足分别是N、M,则这三个小三角形的面积相等.由y=-2x+m可以求出N、D的纵坐标分别为2+m、m.则ND=2+m-m=2.所以S△AND=×AN×ND=×1 ×2=1.所以阴影部分的面积之和是3,故选B.
点拨:求一次函数图像与坐标轴围成的图形的面积时,通常用坐标轴作底,再找出高即可.要注意当坐标是负数时,应取它的绝对值.在以后的中考中,函数图像与坐标轴围成的面积问题仍是重要的考点,应把握解题关键.
考点五、由图像确定解析式
例5 (2009年湖南衡阳考题)在一次远足活动中,某班学生分成两组,第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回,第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回,两组同时出发,设步行的时间为t(h),两组离乙地的距离分别为S1(km)和S2(km),图5中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系.
(1)甲、乙两地之间的距离为______km,乙、丙两地之间的距离为________ km;
(2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少?
(3)求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
解析:解本题的关键是明确图像的意义.
(1)8,2.
(2)第二组由甲地出发首次到达乙地所用的时间为8÷[2×(8+2)÷2]=8÷10=0.8(小时),第二组由乙地到达丙地所用的时间为:2÷[2×(8+2)÷2]=2÷10=0.2 (小时).
(3)根据题意得,A、B的坐标分别为(0.8,0)和(1,2),设线段AB的函数关系式为S2=kt+b,根据题意得0=0.8k+b2=k+b,解得k=10b=-8.所以图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式为:S2 =10t-8,自变量t的取值范围是:0.8≤t≤1 .
点拨:在同一坐标系中,有多个函数图像问题是中考的常见题型,难度稍大,解决的关键是正确分析图像的意义.
考点六、一次函数与方程结合
例6 (2009年长春考题)某部队甲、乙两班参加植树活动.乙班先植树30棵,然后甲班才开始与乙班一起植树.设甲班植树的总量为y甲(棵),乙班植树的总量为y乙(棵),两班一起植树所用的时间(从甲班开始植树时计时)为 x(时),y甲、y乙 与x之间的部分函数图像如图6所示.
(1)当0≤x≤6 时,分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式.
(2)如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率,通过计算说明,当x=8时,甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵.
解析:(1)设y甲=k1x,当x=3时,y甲=60,所以 y甲=20x.设y乙=k2x+b,把(0,30)、(3,60)代入,得b=30,k2=10,所以y乙=10x+30.
(2)当x=8时,y甲=8×20=160,y乙=8×10+30=110.因为160+110=270>260,所以当x=8时,甲、乙两班植树的总量之和能超过260棵.
点拨:本题是函数图像与方程应用相结合的实际问题,在以后的中考中,此类问题仍将是中考试卷中的一个亮点.