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摘 要：线性代数是高等院校工科专业一门重要的基础课程，近几年呈现课时量不断缩减、学生成绩普遍下降的状况，因而如何推进和加强教学改革是当前正面临地挑战。本文在工科专业人才培养所需总体知识框架结构的基础上，结合线性代数课程特点及自身教学经验，围绕课程体系优化教学内容，改进教学方法，以求在抽象的理论内容中体现其实用性，为工科线性代数教学提供一定的参考依据。
关键词：线性代数；工科专业；教学改革
一、 教育改革的背景与意义
工科是指应用数学等基础科学的原理，结合实践而发展起来的学科，培养目标是在相应工程领域具有实际应用能力的高级工程技术人才。随着社会发展和科学技术地更新，数学方面的应用正在向一切领域渗透，工科也不例外。线性代数是数学的一个分支，人们逐渐认识到其在培养学生数学素质、提高逻辑思维能力与创新能力的重要作用，并引起重视。
由于长期形成的传统教学思想和观念，许多人还是局限于把它看成是学习相关后续课程和考研的工具，教学中常常过于重视严密的理论推导，忽视了原本应该重视的应用方面，不符合工科专业线性代数教学“以应用为目的，以够用为尺度”的原则，从而影响到教学效果；并且由于学时少（一般为32学时）、概念多、内容抽象等原因，给授课教师也带来了较大的难度与挑战。为了適应新形势的需要，有必要根据课程与专业特点进行教学改革，从侧重知识教育转向侧重能力培养，提高学生解决实际问题的能力，尤其是创新能力。
二、 教学内容改革
线性代数课程建设应根据课程基本内容、后续课程及专业发展需要组织教学内容，笔者认为可分为基础篇和应用篇两个主要部分。
1. 基础篇：主要包括行列式、矩阵及其运算、矩阵初等变换与线性方程组。要求学生了解行列式的定义、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵以及它们的基本性质；掌握行列式的性质和行列式按行（列）展开的方法、矩阵的运算、求向量组的秩、齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组有解的条件；重点讲述向量的线性相关性、向量组的极大线性无关组、矩阵的秩、齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构，以及如消元法、克莱姆法则、基础解系等几种求解方法。
2. 应用篇：主要利用所学知识解决其他相关课程中碰到的实际问题。一方面，在教学内容上，增加一些直接为专业服务的案例，让学生觉得数学的确是一门有用的工具，提高学习兴趣和教学效果；另一方面，应用篇以专业实际问题为主线，还能在一定程度上巩固学生的专业知识，为后续课程学习打下一定基础。
三、 教学方法改革
对于线性代数，矩阵是一个贯穿始终的要素，不论是矩阵的各种运算，还是向量组的分析，以及齐次、非齐次线性方程组的解决，都与矩阵的变换息息相关。学生以前对表格都很少见到，而现在要在短时间内掌握矩阵这种数表形式的各种算法，难度是相当大的。因此，切忌一上台就讲授本课程的内容及公式定理，而应着重介绍这门课程的重要性以及有趣地应用，如利用矩阵知识具体统计某个班某课程的平时、期中、期末成绩，以及总评成绩。学生在学习时，常会因发现线性代数在各领域地应用或与其他数学课程地联系而受到鼓舞，提高学习兴趣。教师在教学过程中应注意以下几个方面：
1. 加强概念和理论的理解
相对而言，线性代数更多的是抽象的概念和理论，而要使学生准确地理解其内涵和本质属性，需要授课教师好好地揣摩如何讲解。例如行列式的对角线法则，虽然仅适用于二阶、三阶行列式，对引入n阶行列式的定义也有着举足轻重的作用，如果教师采用学生已有的知识，有目的地引导学生积极主动思考，从实际问题中透过现象看本质，体会概念产生的依据，就较容易理解这些抽象的概念。再比如，在矩阵概念教学中，可把重点放在引导学生对具体事例深入分析，如某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市间的交通连接情况，某企业4种产品季度产值以及产值随季度变化的规律（季增长率和年产量等），这两个问题可从处理的内在思想着手，再通过归纳和总结，自然而然地“创造”出矩阵的定义。同时在教学中可适当穿插线性代数的发展史，如在讲“克莱姆法则”时，可介绍瑞士数学家克莱姆的生平事迹，这样的讲解能够使原本抽象的讲解过程增添了情趣，不仅使得学生对概念和理论更容易理解和掌握，同时教学效果也会大幅度提升的。
2. 注重授课内容应用性
在经济、工程、管理等学科领域中，数学知识都是必不可少的统计分析工具，线性代数是数学学科的一个分支，也不会例外。为了充分深刻理解它的价值和优势，课程内容要充实应用实例。以有6名选手参加乒乓球比赛为例，他们的成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6负于3；选手2胜选手4负于1、3；选手3胜选手1、2、4负于5、6；选手4胜选手5、6负于1、2、3；选手5胜选手3、6负于1、2、4；若胜一场得1分，负一场得零分，可用矩阵表示输赢状况，如下表：
这样的日常实例就能充分调动学生学习的积极性，从而也能加深对抽象理论和方法地理解，不仅开阔了视野，而且也培养了他们的实践应用能力。
3. 注意启发学生创新思维
创新是引领现代化经济发展的第一动力和一个国家进步的灵魂。在讲授线性代数这门课程时，需要用数学思想方法启发学生的创新思维，使抽象的概念、理论和结论推导焕发出勃勃生机。例如，在高等数学课程中有结论：二阶常系数非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次线性微分方程的通解加上非齐次线性微分方程的一个特解，由此可以更容易理解和掌握线性代数中的结论：非齐次线性方程组的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。如果在教学中经常进行这样地训练，借助学生已掌握的知识引入新的结论，久而久之，学生就会慢慢地自己提问题，并逐渐养成探索创新的习惯。由此可见，在教学活动中如果教师能融会贯通、举一反三，就能很好地激发学生的求知欲、创新欲，不仅可以使学生更容易掌握巩固学到的知识，而且也提高了自身的创新能力。 4. 适时应用多媒体教学
多媒体和传统的板书教学都是良好的教学手段，也各有优缺点，授课教师需要根据线性代数各章节知识点因课制宜地选择教学方法。定理证明、公式推导等重在引导思维方式方法时建议多用黑板教学，这些知识点往往需要教师一步一步地推理、计算和说明，以及学生认真地思考和慢慢地理解，从而把某个复杂的问题讲得清楚透彻；而一些重要的定义、定理、例题、涉及三维变化的知识点时可采用多媒体直接播放，不但节省了板书时间，而且具有内容新颖、信息量大、形象生动等优点，大大激发了学生学习积极性、主动性，同时也提高了课堂教学效率和质量。教师教学过程中应该促使两种教学方法相互补充，充分发挥各自的优势。
5. 增强师生互动
教学不能老师唱“独角戏”，应该是个老师“教”与学生“学”的互动过程，尤其对于线性代数这种概念和理论比较抽象、学生学习的积极性普遍不高的课程，要达到较好的教学效果，加强师生互动尤为重要，只有当学生能融入互动过程中，才能体会即使是抽象的理论和概念也自有它的乐趣，如何增强师生互动呢？除了采用启发式问答和专题讨论，还可适当让学生参与教学中来。
四、 引入实验课程
以问题为载体、计算机为手段、数学软件为工具、学生为主体的探索活动统称为数学实验。随着计算机技术的快速发展，许多高等院校在线性代数教学中已经增加了以Mathematica、Maple、Matlab等数学软件使用为内容的实验课，虽然不普遍，但效果还不错。近年来，一些院校积极参与全国大学生数学建模竞赛，并取得不俗成绩。实验课使授课教师可以把重点放在提高数学分析和解决实际问题的能力上，学生也不需要花大量时间分析冗长繁琐的计算方法，只需要掌握相关软件的应用和操作，即使复杂的矩阵运算也可以轻松完成，这比单调的理论推导更能调动学生学习的积极性，也为提高学生解决实际问题的能力提供了良好的学习环境。当然，这对授课教师来说既是挑战也是机遇，只有积极探索，正确引导，让线性代数理论基础和数学实验训练紧密结合，相辅相成，才能体现实验对线性代数教学效果的积极因素。
五、 改革考核方式
考核是考查学生对所学知识掌握情况的一个重要方法和手段，但单一的考核方式难以客观、准确地反映学生的真实水平，反而让更多的学生选择临时抱佛脚，影响平时学习的积极性。为了更全面地考查学生的学习状况，有必要积极进行考试改革。作者通过对自己及课程组教师多年教学经验及改革进行总结，制定了考试改革的方式。最终成绩由基本知识、学习态度、实践能力和应用能力四个部分组成。
基本知识：采用卷面考试的方式，主要考查学生对课堂讲授的定义、运算、运算法则掌握程度，涉及教学大纲中的行列式、矩阵、向量空间、线性方程组等。要把考查学生基础知识与基本技能放在首位，试题难易度要以大部分学生都能达到的目标为底线，避免偏题、怪题和死记硬背的题目。
学习态度：包括出勤和课堂作业两部分，检查学生是否迟到早退，是否认真听课，作业是否按时保质完成等。
實践能力：即学生实验成绩，由实验出勤情况、实验操作过程和实验报告质量三个部分组成，检查学生能否按实验步骤进行具体操作，能否对实验数据进行记录、处理和分析，能否达到实验目的和要求的水平。
应用能力：可以借鉴数学建模的方式方法，拟定几道题目，学生可分组选做1～2题，给出解决问题的基本思路，设计步骤和计算结果，附上计算所用的软件程序及结论。该测试不仅可以将学生所学本门课程的知识情况和素质教育结合起来，也可以体现学生之间的团结协作能力。
最终考核成绩中，期末考试卷面成绩占50%，学习态度成绩占10%，实践能力成绩占20%，应用能力成绩占20%。
工科线性代数教学不仅需从以上几个方面进行改革，还需要加强教师队伍建设，积极进行教材改革，重视网络辅助教学，让大学生参加教师科研项目等，以提高教学质量，激发学生学习与创新的欲望。
六、 展望
本文通过浅入深出的理论介绍与联系实际的举例，初步介绍了线性代数这门基础课的教学改革思路，目的是适应创新型人才培养的需要，同时使老师教学过程更加轻松、效果更好，学生学习兴趣更大、对知识印象更深刻、更有能力解决实际问题。工科线性代数教学是一项意义重大而又十分迫切的现实任务，没有现成的方法和模式，需要我们在教学实践中不断摸索、改进和创新。
参考文献：
[1]同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2]吴赣昌.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，2007.
[3]莫京兰.独立学院线性代数中基于数学建模思想的案例教学探索[J].价值工程，2013（25）：256-257.
[4]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006（1）：9-11.
[5]李耀力，路国富.浅谈在高职院校开设数学实验课的重要性[J].哈尔滨职业技术学院学报，2010（1）：15-16.
作者简介：
张雪梅，刘桂兰，江苏省盐城市，盐城工学院。
关键词：线性代数；工科专业；教学改革
一、 教育改革的背景与意义
工科是指应用数学等基础科学的原理，结合实践而发展起来的学科，培养目标是在相应工程领域具有实际应用能力的高级工程技术人才。随着社会发展和科学技术地更新，数学方面的应用正在向一切领域渗透，工科也不例外。线性代数是数学的一个分支，人们逐渐认识到其在培养学生数学素质、提高逻辑思维能力与创新能力的重要作用，并引起重视。
由于长期形成的传统教学思想和观念，许多人还是局限于把它看成是学习相关后续课程和考研的工具，教学中常常过于重视严密的理论推导，忽视了原本应该重视的应用方面，不符合工科专业线性代数教学“以应用为目的，以够用为尺度”的原则，从而影响到教学效果；并且由于学时少（一般为32学时）、概念多、内容抽象等原因，给授课教师也带来了较大的难度与挑战。为了適应新形势的需要，有必要根据课程与专业特点进行教学改革，从侧重知识教育转向侧重能力培养，提高学生解决实际问题的能力，尤其是创新能力。
二、 教学内容改革
线性代数课程建设应根据课程基本内容、后续课程及专业发展需要组织教学内容，笔者认为可分为基础篇和应用篇两个主要部分。
1. 基础篇：主要包括行列式、矩阵及其运算、矩阵初等变换与线性方程组。要求学生了解行列式的定义、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵以及它们的基本性质；掌握行列式的性质和行列式按行（列）展开的方法、矩阵的运算、求向量组的秩、齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组有解的条件；重点讲述向量的线性相关性、向量组的极大线性无关组、矩阵的秩、齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构，以及如消元法、克莱姆法则、基础解系等几种求解方法。
2. 应用篇：主要利用所学知识解决其他相关课程中碰到的实际问题。一方面，在教学内容上，增加一些直接为专业服务的案例，让学生觉得数学的确是一门有用的工具，提高学习兴趣和教学效果；另一方面，应用篇以专业实际问题为主线，还能在一定程度上巩固学生的专业知识，为后续课程学习打下一定基础。
三、 教学方法改革
对于线性代数，矩阵是一个贯穿始终的要素，不论是矩阵的各种运算，还是向量组的分析，以及齐次、非齐次线性方程组的解决，都与矩阵的变换息息相关。学生以前对表格都很少见到，而现在要在短时间内掌握矩阵这种数表形式的各种算法，难度是相当大的。因此，切忌一上台就讲授本课程的内容及公式定理，而应着重介绍这门课程的重要性以及有趣地应用，如利用矩阵知识具体统计某个班某课程的平时、期中、期末成绩，以及总评成绩。学生在学习时，常会因发现线性代数在各领域地应用或与其他数学课程地联系而受到鼓舞，提高学习兴趣。教师在教学过程中应注意以下几个方面：
1. 加强概念和理论的理解
相对而言，线性代数更多的是抽象的概念和理论，而要使学生准确地理解其内涵和本质属性，需要授课教师好好地揣摩如何讲解。例如行列式的对角线法则，虽然仅适用于二阶、三阶行列式，对引入n阶行列式的定义也有着举足轻重的作用，如果教师采用学生已有的知识，有目的地引导学生积极主动思考，从实际问题中透过现象看本质，体会概念产生的依据，就较容易理解这些抽象的概念。再比如，在矩阵概念教学中，可把重点放在引导学生对具体事例深入分析，如某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市间的交通连接情况，某企业4种产品季度产值以及产值随季度变化的规律（季增长率和年产量等），这两个问题可从处理的内在思想着手，再通过归纳和总结，自然而然地“创造”出矩阵的定义。同时在教学中可适当穿插线性代数的发展史，如在讲“克莱姆法则”时，可介绍瑞士数学家克莱姆的生平事迹，这样的讲解能够使原本抽象的讲解过程增添了情趣，不仅使得学生对概念和理论更容易理解和掌握，同时教学效果也会大幅度提升的。
2. 注重授课内容应用性
在经济、工程、管理等学科领域中，数学知识都是必不可少的统计分析工具，线性代数是数学学科的一个分支，也不会例外。为了充分深刻理解它的价值和优势，课程内容要充实应用实例。以有6名选手参加乒乓球比赛为例，他们的成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6负于3；选手2胜选手4负于1、3；选手3胜选手1、2、4负于5、6；选手4胜选手5、6负于1、2、3；选手5胜选手3、6负于1、2、4；若胜一场得1分，负一场得零分，可用矩阵表示输赢状况，如下表：
这样的日常实例就能充分调动学生学习的积极性，从而也能加深对抽象理论和方法地理解，不仅开阔了视野，而且也培养了他们的实践应用能力。
3. 注意启发学生创新思维
创新是引领现代化经济发展的第一动力和一个国家进步的灵魂。在讲授线性代数这门课程时，需要用数学思想方法启发学生的创新思维，使抽象的概念、理论和结论推导焕发出勃勃生机。例如，在高等数学课程中有结论：二阶常系数非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次线性微分方程的通解加上非齐次线性微分方程的一个特解，由此可以更容易理解和掌握线性代数中的结论：非齐次线性方程组的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。如果在教学中经常进行这样地训练，借助学生已掌握的知识引入新的结论，久而久之，学生就会慢慢地自己提问题，并逐渐养成探索创新的习惯。由此可见，在教学活动中如果教师能融会贯通、举一反三，就能很好地激发学生的求知欲、创新欲，不仅可以使学生更容易掌握巩固学到的知识，而且也提高了自身的创新能力。 4. 适时应用多媒体教学
多媒体和传统的板书教学都是良好的教学手段，也各有优缺点，授课教师需要根据线性代数各章节知识点因课制宜地选择教学方法。定理证明、公式推导等重在引导思维方式方法时建议多用黑板教学，这些知识点往往需要教师一步一步地推理、计算和说明，以及学生认真地思考和慢慢地理解，从而把某个复杂的问题讲得清楚透彻；而一些重要的定义、定理、例题、涉及三维变化的知识点时可采用多媒体直接播放，不但节省了板书时间，而且具有内容新颖、信息量大、形象生动等优点，大大激发了学生学习积极性、主动性，同时也提高了课堂教学效率和质量。教师教学过程中应该促使两种教学方法相互补充，充分发挥各自的优势。
5. 增强师生互动
教学不能老师唱“独角戏”，应该是个老师“教”与学生“学”的互动过程，尤其对于线性代数这种概念和理论比较抽象、学生学习的积极性普遍不高的课程，要达到较好的教学效果，加强师生互动尤为重要，只有当学生能融入互动过程中，才能体会即使是抽象的理论和概念也自有它的乐趣，如何增强师生互动呢？除了采用启发式问答和专题讨论，还可适当让学生参与教学中来。
四、 引入实验课程
以问题为载体、计算机为手段、数学软件为工具、学生为主体的探索活动统称为数学实验。随着计算机技术的快速发展，许多高等院校在线性代数教学中已经增加了以Mathematica、Maple、Matlab等数学软件使用为内容的实验课，虽然不普遍，但效果还不错。近年来，一些院校积极参与全国大学生数学建模竞赛，并取得不俗成绩。实验课使授课教师可以把重点放在提高数学分析和解决实际问题的能力上，学生也不需要花大量时间分析冗长繁琐的计算方法，只需要掌握相关软件的应用和操作，即使复杂的矩阵运算也可以轻松完成，这比单调的理论推导更能调动学生学习的积极性，也为提高学生解决实际问题的能力提供了良好的学习环境。当然，这对授课教师来说既是挑战也是机遇，只有积极探索，正确引导，让线性代数理论基础和数学实验训练紧密结合，相辅相成，才能体现实验对线性代数教学效果的积极因素。
五、 改革考核方式
考核是考查学生对所学知识掌握情况的一个重要方法和手段，但单一的考核方式难以客观、准确地反映学生的真实水平，反而让更多的学生选择临时抱佛脚，影响平时学习的积极性。为了更全面地考查学生的学习状况，有必要积极进行考试改革。作者通过对自己及课程组教师多年教学经验及改革进行总结，制定了考试改革的方式。最终成绩由基本知识、学习态度、实践能力和应用能力四个部分组成。
基本知识：采用卷面考试的方式，主要考查学生对课堂讲授的定义、运算、运算法则掌握程度，涉及教学大纲中的行列式、矩阵、向量空间、线性方程组等。要把考查学生基础知识与基本技能放在首位，试题难易度要以大部分学生都能达到的目标为底线，避免偏题、怪题和死记硬背的题目。
学习态度：包括出勤和课堂作业两部分，检查学生是否迟到早退，是否认真听课，作业是否按时保质完成等。
實践能力：即学生实验成绩，由实验出勤情况、实验操作过程和实验报告质量三个部分组成，检查学生能否按实验步骤进行具体操作，能否对实验数据进行记录、处理和分析，能否达到实验目的和要求的水平。
应用能力：可以借鉴数学建模的方式方法，拟定几道题目，学生可分组选做1～2题，给出解决问题的基本思路，设计步骤和计算结果，附上计算所用的软件程序及结论。该测试不仅可以将学生所学本门课程的知识情况和素质教育结合起来，也可以体现学生之间的团结协作能力。
最终考核成绩中，期末考试卷面成绩占50%，学习态度成绩占10%，实践能力成绩占20%，应用能力成绩占20%。
工科线性代数教学不仅需从以上几个方面进行改革，还需要加强教师队伍建设，积极进行教材改革，重视网络辅助教学，让大学生参加教师科研项目等，以提高教学质量，激发学生学习与创新的欲望。
六、 展望
本文通过浅入深出的理论介绍与联系实际的举例，初步介绍了线性代数这门基础课的教学改革思路，目的是适应创新型人才培养的需要，同时使老师教学过程更加轻松、效果更好，学生学习兴趣更大、对知识印象更深刻、更有能力解决实际问题。工科线性代数教学是一项意义重大而又十分迫切的现实任务，没有现成的方法和模式，需要我们在教学实践中不断摸索、改进和创新。
参考文献：
[1]同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2]吴赣昌.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，2007.
[3]莫京兰.独立学院线性代数中基于数学建模思想的案例教学探索[J].价值工程，2013（25）：256-257.
[4]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006（1）：9-11.
[5]李耀力，路国富.浅谈在高职院校开设数学实验课的重要性[J].哈尔滨职业技术学院学报，2010（1）：15-16.
作者简介：
张雪梅，刘桂兰，江苏省盐城市，盐城工学院。