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考题一:2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题18:
某建筑物内一个水平直角型过道如图(1)所示,两过道的宽度均为3米,有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道,若该设备水平截面矩形的宽为1米,长为7米,试问:该设备能否水平移进直角型过道?(AB=7 m,BC=1 m)
图(1)图(2)
分析:如图(2),建立直角坐标系.设AB的方程为xa+yb=1,且a2+b2=49,再设直线OM交CD于F点,只要判断|OF|max≤OM=32.∵BP=BCsin∠P=7b,AQ=7a,
∴CD的方程为:xa+7b+yb+7a=1,与OM:y=x联立解得xF=yF=ab+7a+b,
设t=a+b,ab=t2-492,t=a+b≤2(a2+b2)=72,所以O到CD的距离OF=2•ab+7a+b=t2-352t=t2-352t≤7-3514>32,故该矩形设备不能通过.
答:该矩形设备不能通过该直角型过道.
考题二:2010年苏北四市高三二模调研考试试题(19):
一走廊拐角处的横截面如图(3)所示,已知内壁FG和外壁BC都是半径为1米的四分之一圆弧,AB,DC分别与圆弧BC相切于B,C,两点,EF∥AB,GH∥CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1米.
图(3)
(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M,N分别在外壁DC和AB上,且木棒与内壁圆弧相切于P点.设∠CMN=θ(rad),试用θ表示木棒MN的长度f(θ);
(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值.
分析:笔者有幸参加本次市二模调研考试阅卷工作,考后结果表明,全市近3万多名考生,能得到正确结论的同学寥寥无几,此题的全市均分仅1.47分.下面将本题的解法总结如下:
解法一:(1)如图(4),设圆弧FG所在的圆的圆心为Q,过Q点作CD垂线,垂足为点T,且交MN或其延长线与于S,并连接PQ,再过N点作TQ的垂线,垂足为W.在Rt△NWS中,因为NW=2,∠SNW=θ,
所以NS=2cosθ.
因为MN与圆弧FG切于点P,所以PQ⊥MN,
在Rt△QPS,因为PQ=1,∠PQS=θ,
所以QS=1cosθ,QT-QS=2-1cosθ,
①若S在线段TG上,则TS=QT-QS
在Rt△STM中,MS=TSsinθ=QT-QSsinθ,
因此MN=NS+MS=NS+QT-QSsinθ
②若S在线段GT的延长线上,则TS=QS-QT
在Rt△STM中,MS=TSsinθ=QS-QTsinθ,
因此MN=NS-MS=NS-QS-QTsinθ
=NS+QT-QSsinθ,f(θ)=MN=NS+QT-QSsinθ=2cosθ+(2sinθ-1sinθcosθ)
=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2).
图(4)
(2)设sinθ+cosθ=t(1 因为g′(t)=-4(t2-t+1)(t2-1)2,又1 因此函数g(t)=4t-2t2-1在t∈(1,2]是减函数,所以g(t)min=g(2)=42-2,
即MNmin=42-2.
图(5)
答:一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为42-2.
解法二:(1)如图(5),过P点分别CD和AB的垂线,垂足分别记作T和S,又交FQ和GQ于Z和R点.
因为∠CMN=∠PQG=θ,PQ=1,在Rt△PQR中,
PR=sinθ,QR=cosθ,所以PS=2-sinθ,
PT=2-cosθ,又在Rt△PQR中,
NP=PScosθ=2-sinθcosθ,同理MP=PMsinθ=2-cosθsinθ
所以f(θ)=MN=MP+NP=2-cosθsinθ+2-sinθcosθ.
=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2)
(2)解法同一.
解法三:(1)如图(5),设MN分别交BH和CE于点O1,O2,则MN=NO2+O2O1+O1M.
因为NO2=1cosθ,O1M=1sinθ,利用圆的切线性质得FO2=O2P,O1P=O1G,计算O1P=tanθ2,O2P=tan(π4-θ2),所以f(θ)=1cosθ+1sinθ+tanθ2+tan(π2-θ2).化简得f(θ)=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2).
图(6)
(2)同解法一.
解法四:(1)如图(6),以Q点为坐标原点,平行于BH的直线为x轴,平行于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系,并设直线MN的方程为:
y=tanθx+b(b>1).
由题设知圆弧FPG所在的方程是:x2+y2=1,
它与直线MN相切,则有|b|tan2θ+1=1,化简得
b=tan2θ+1.
又直线CD的方程是:y=2,AB的方程是:x=-2
联立MN与直线CD、AB的方程得yM=2,
yN=-2tanθ+tan2θ+1.
所以f(θ)=MN=1+1tan2θ|yM-yN|
代入化简得:f(θ)=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2)
(2)同解法一.
说明:解法四中的坐标系也可选择AB与CD分别作为坐标轴或选择CE和BH作为坐标轴,它们的交点为坐标原点.
解法五:(1)同其它四种解法.
(2)设sinθ+cosθ=t(1 f(θ)=g(t)=4t-2t2-1.再令4t-2=m,即t=m+24(2<m≤42-2),
此时f(θ)=h(m)=16mm2+4m-12=16m-12m+4,显然h(m)是(2,42-2]上的减函数.
即h(m)min=h(42-2)=42-2,故木棒的长度的最大值是42-2.
上述两道试题来源于课本,是课本习题(苏教版必修4P49(17))的改编题,但学生解答情况非常不理想,针对这种情况,在高三复习中,怎样才能有效地突破应用题这一瓶颈,更好地解答数学应用题,从而在考试中取得理想的成绩呢?我个人认为,一方面要有针对性的训练,二是求解数学应用题必须遵循以下步骤:
(1)审题
审题是解题的基础,它包含阅读理解、翻译和挖掘等.通过审题,抓住问题中的关键词,弄清问题的情境和变化过程,初步预测所属数学模型,使实际问题数学化.
(2)建模
在审题的的基础上,引进数学符号,将问题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据
题意,针对所要解决的问题的特点,联想数学知识和数学方法,恰当地引入参数变量或适当的坐标系,列出满足题意的数学关系式(函数式、不等式、方程等)或作出满足题意的几何图形.建立数学模型是解答应用问题的关键步骤.
(3)解模
数学模型构建后,就要运用我们所学的数学知识和方法,设计合理简捷的运算途径来解答纯数学问题.这里有几点值得注意:①在实际意义下,考虑函数自变量的范围,或实际意义下的曲线方程限制条件.利用均值不等式求函数的最值时,要注意“一正二定三相等”的前提条件;②运算过程或结果涉及到近似计算,注意保证一定的精确度.③对求得问题的数据结果,要检验是否符合实际情况.
下面提供二道练习题,同学们不妨练一练:
练习一:如图(7),某污水处理厂要在一个长方体形污水处理池的池底(ABCD)铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20 m,AD=103m,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示成θ的函数,并写出定义域;
(2)若sinθ+cosθ=2,求此时管道的长度L;
(3)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.
图(7)
答案:(1)L=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ(θ∈[π6,π3]);(2)20(2+1);
(3)θ=π6或θ=π3时,所铺设的管道最长,为20(3+1)m.
练习二:如图(8),某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地,点C在半圆弧上,半圆内△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余地方种花.若AB=2a,∠CAB=θ,设△ABC的面积为S1,正方形PQRS的边长为x,面积为S2,将比值S1S2称为“规划合理度”.
(1)求证:x=2asin2θ2+sin2θ;
(2)当a为定值,θ变化时,求“规划合理度”最小值及此时角θ的大小.
图(8)
答案:(1)证明略;(2)当θ=π4时,“规划合理度”最小值为92.
(作者:孙礼高,江苏省东海高级中学)
某建筑物内一个水平直角型过道如图(1)所示,两过道的宽度均为3米,有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道,若该设备水平截面矩形的宽为1米,长为7米,试问:该设备能否水平移进直角型过道?(AB=7 m,BC=1 m)
图(1)图(2)
分析:如图(2),建立直角坐标系.设AB的方程为xa+yb=1,且a2+b2=49,再设直线OM交CD于F点,只要判断|OF|max≤OM=32.∵BP=BCsin∠P=7b,AQ=7a,
∴CD的方程为:xa+7b+yb+7a=1,与OM:y=x联立解得xF=yF=ab+7a+b,
设t=a+b,ab=t2-492,t=a+b≤2(a2+b2)=72,所以O到CD的距离OF=2•ab+7a+b=t2-352t=t2-352t≤7-3514>32,故该矩形设备不能通过.
答:该矩形设备不能通过该直角型过道.
考题二:2010年苏北四市高三二模调研考试试题(19):
一走廊拐角处的横截面如图(3)所示,已知内壁FG和外壁BC都是半径为1米的四分之一圆弧,AB,DC分别与圆弧BC相切于B,C,两点,EF∥AB,GH∥CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1米.
图(3)
(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M,N分别在外壁DC和AB上,且木棒与内壁圆弧相切于P点.设∠CMN=θ(rad),试用θ表示木棒MN的长度f(θ);
(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值.
分析:笔者有幸参加本次市二模调研考试阅卷工作,考后结果表明,全市近3万多名考生,能得到正确结论的同学寥寥无几,此题的全市均分仅1.47分.下面将本题的解法总结如下:
解法一:(1)如图(4),设圆弧FG所在的圆的圆心为Q,过Q点作CD垂线,垂足为点T,且交MN或其延长线与于S,并连接PQ,再过N点作TQ的垂线,垂足为W.在Rt△NWS中,因为NW=2,∠SNW=θ,
所以NS=2cosθ.
因为MN与圆弧FG切于点P,所以PQ⊥MN,
在Rt△QPS,因为PQ=1,∠PQS=θ,
所以QS=1cosθ,QT-QS=2-1cosθ,
①若S在线段TG上,则TS=QT-QS
在Rt△STM中,MS=TSsinθ=QT-QSsinθ,
因此MN=NS+MS=NS+QT-QSsinθ
②若S在线段GT的延长线上,则TS=QS-QT
在Rt△STM中,MS=TSsinθ=QS-QTsinθ,
因此MN=NS-MS=NS-QS-QTsinθ
=NS+QT-QSsinθ,f(θ)=MN=NS+QT-QSsinθ=2cosθ+(2sinθ-1sinθcosθ)
=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2).
图(4)
(2)设sinθ+cosθ=t(1
即MNmin=42-2.
图(5)
答:一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为42-2.
解法二:(1)如图(5),过P点分别CD和AB的垂线,垂足分别记作T和S,又交FQ和GQ于Z和R点.
因为∠CMN=∠PQG=θ,PQ=1,在Rt△PQR中,
PR=sinθ,QR=cosθ,所以PS=2-sinθ,
PT=2-cosθ,又在Rt△PQR中,
NP=PScosθ=2-sinθcosθ,同理MP=PMsinθ=2-cosθsinθ
所以f(θ)=MN=MP+NP=2-cosθsinθ+2-sinθcosθ.
=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2)
(2)解法同一.
解法三:(1)如图(5),设MN分别交BH和CE于点O1,O2,则MN=NO2+O2O1+O1M.
因为NO2=1cosθ,O1M=1sinθ,利用圆的切线性质得FO2=O2P,O1P=O1G,计算O1P=tanθ2,O2P=tan(π4-θ2),所以f(θ)=1cosθ+1sinθ+tanθ2+tan(π2-θ2).化简得f(θ)=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2).
图(6)
(2)同解法一.
解法四:(1)如图(6),以Q点为坐标原点,平行于BH的直线为x轴,平行于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系,并设直线MN的方程为:
y=tanθx+b(b>1).
由题设知圆弧FPG所在的方程是:x2+y2=1,
它与直线MN相切,则有|b|tan2θ+1=1,化简得
b=tan2θ+1.
又直线CD的方程是:y=2,AB的方程是:x=-2
联立MN与直线CD、AB的方程得yM=2,
yN=-2tanθ+tan2θ+1.
所以f(θ)=MN=1+1tan2θ|yM-yN|
代入化简得:f(θ)=2(sinθ+cosθ)-1sinθcosθ(0<θ<π2)
(2)同解法一.
说明:解法四中的坐标系也可选择AB与CD分别作为坐标轴或选择CE和BH作为坐标轴,它们的交点为坐标原点.
解法五:(1)同其它四种解法.
(2)设sinθ+cosθ=t(1
此时f(θ)=h(m)=16mm2+4m-12=16m-12m+4,显然h(m)是(2,42-2]上的减函数.
即h(m)min=h(42-2)=42-2,故木棒的长度的最大值是42-2.
上述两道试题来源于课本,是课本习题(苏教版必修4P49(17))的改编题,但学生解答情况非常不理想,针对这种情况,在高三复习中,怎样才能有效地突破应用题这一瓶颈,更好地解答数学应用题,从而在考试中取得理想的成绩呢?我个人认为,一方面要有针对性的训练,二是求解数学应用题必须遵循以下步骤:
(1)审题
审题是解题的基础,它包含阅读理解、翻译和挖掘等.通过审题,抓住问题中的关键词,弄清问题的情境和变化过程,初步预测所属数学模型,使实际问题数学化.
(2)建模
在审题的的基础上,引进数学符号,将问题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据
题意,针对所要解决的问题的特点,联想数学知识和数学方法,恰当地引入参数变量或适当的坐标系,列出满足题意的数学关系式(函数式、不等式、方程等)或作出满足题意的几何图形.建立数学模型是解答应用问题的关键步骤.
(3)解模
数学模型构建后,就要运用我们所学的数学知识和方法,设计合理简捷的运算途径来解答纯数学问题.这里有几点值得注意:①在实际意义下,考虑函数自变量的范围,或实际意义下的曲线方程限制条件.利用均值不等式求函数的最值时,要注意“一正二定三相等”的前提条件;②运算过程或结果涉及到近似计算,注意保证一定的精确度.③对求得问题的数据结果,要检验是否符合实际情况.
下面提供二道练习题,同学们不妨练一练:
练习一:如图(7),某污水处理厂要在一个长方体形污水处理池的池底(ABCD)铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20 m,AD=103m,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的长度L表示成θ的函数,并写出定义域;
(2)若sinθ+cosθ=2,求此时管道的长度L;
(3)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.
图(7)
答案:(1)L=10sinθ+10cosθ+10sinθcosθ(θ∈[π6,π3]);(2)20(2+1);
(3)θ=π6或θ=π3时,所铺设的管道最长,为20(3+1)m.
练习二:如图(8),某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地,点C在半圆弧上,半圆内△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余地方种花.若AB=2a,∠CAB=θ,设△ABC的面积为S1,正方形PQRS的边长为x,面积为S2,将比值S1S2称为“规划合理度”.
(1)求证:x=2asin2θ2+sin2θ;
(2)当a为定值,θ变化时,求“规划合理度”最小值及此时角θ的大小.
图(8)
答案:(1)证明略;(2)当θ=π4时,“规划合理度”最小值为92.
(作者:孙礼高,江苏省东海高级中学)