两点间的距离、点到直线的距离及两条直线间的距离,不但是平面几何学中的三个重要概念,而且在立体几何、解析几何中也占有重要地位,特别是两点间的距离和点到直线的距离,经常出现在平面几何习题中。因此,距离与证题无疑成为《平面几何》教材的重点。
　　根据新课程的要求,本人在平面几何的教学实践中注意启发学生,运用面积证法解决有关距离的几何问题,不但拓展了学生的思路,激活了学生的思维,而且比其他证法更加简便,使学生在学习中不断获得喜悦和成功。
　　例1求证:等腰三角形底边上任意一点至两腰上距离之和等于一腰上的高。
　　这是一道典型的几何证明题,有多种证法,但是,运用面积证法尤其显得简便。
　　如图1,已知:在△ABC中AB=AC,P是BC上任一点,CD是AB上的高,PE⊥AB,PF⊥AC,E、F是垂足。
　　求证:PE+PF=CD。
　　证明:连接AP,则
　　S△ABP+S△APC=S△ABC
　　即AB•PE+AC•PF=AB•CD。
　　可得 PE+PF=CD。
　　将例1中的等腰△ABC变换为一般三角形,P点变换为三角形内任一点,可得到另一证题,同样可以运用面积证法求证。
　　例2求证:三角形内任意一点到三边的距离分别与三边的积的和为一定值。
　　证明:如图2,设△ABC的三边长分别为a、b、c,点P到三边的距离分别为h1、h2、h3,连结PA、PB、PC,则
　　S△PBC=a•h1,
　　S△PAC=b•h2,
　　S△PAB=c•h3。
　　三式相加,得S△ABC=ah1+ah2+ah3。
　　即ah1+bh2+ch3是一个定值,这个定值就是△ABC面积的2倍。
　　将例2的一般三角形变换为更特殊的图形,又可以得到另一道几何题。
　　例3已知正六边形的一边长为1cm ,P为正六边形内任一点。求P到各边距离之和。
　　这是某市数学竞赛的一道附加题,看起来似乎很难,但是运用面积法就很容易。
　　解:如图3,分别连结PA、PB、PC、PD、PE、PF,过P点作各边的垂线分别为h1、h2、h3、h4、h5、h6。
　　则正六边形的面积
　　S= S△PAB+ S△PBC+……+ S△PFA=×1×(h1+h2+……+h6)。
　　∴h1+h2+……+h6=2S。
　　而S=×6=。
　　即点P到各边距离之和等于3(cm)。
　　下面是一道著名的几何题,除了其他方法可以证明以外,运用面积证法也相当简便。
　　例4求证:两角平分线相等的三角形是等腰三角形。
　　证明:如图4,设BD=CE=m,
　　三角形三边长分别a、b、c。
　　∵ S△ABC= S△ABD+ S△BCD,
　　∴ acsin2α=cmsinα+amsinα。
　　以acmsinα除上式两边,得
　　同理=+……①
　　=+……②
　　①-②(cosα-cos β)=。
　　如果b>c,则cosα>cosβ,但是f(X)=cosX 在(0,π )内是减函数,∴α<β,从而b　　如果bc,矛盾。
　　故b=c,即△ABC为等腰三角形。
　　总之,在求解或论证有关距离的几何习题时,我们应该根据题目所给的条件,引导学生拓展思路,考虑运用面积证法,这样往往可以收到事半功倍的效果。◆(作者单位:江西省余干县第三中学)
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