【摘要】广东省数学中考从2013年开始至今，连续7年中考命题的第24题都是圆的综合知识的考查。在圆的综合知识考查中，切线的证明是高频考点，也是重点考点。因此，笔者对有关切线的证明方法进行了归纳，供大家参考。
　　【关键词】圆;切线;证明方法
　　证明圆的切线，教材给出了切线的判定方法有以下三种：
　　1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
　　2.数量法：到圆心的距离d等于半径r的直线是圆的切线，即d=r。
　　3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
　　在上面判定切线的三种方法中，常用的是后面两种，而判定定理更是重中之重。分析判定定理，不难发现定理包含两个条件：①经过半径的外端;②垂直于这条半径。因此，根据切线的判定定理，笔者将切线的证明分为两种情况：（1）当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，简单说成“直线与圆有交点：连半径，证垂直”;（2）当已知条件不确定直线与圆是否有交点时，常过圆心作直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，简单说成“不确定直线与圆是否有交点：作垂直，证半径”。
　　一、直线与圆有交点：连半径，证垂直
　　直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”，“证垂直”时，常用的方法有：①利用圆中角的关系，借助角度转换证垂直;②根据已有的垂直关系， 利用平行证垂直;③根据已知数据，运用“勾股定理逆定理”证垂直;④借助已有的直角三角形，利用三角形全等证垂直等。
　　（一）利用圆中角的关系，借助角度转換证垂直
　　1.例题分析
　　例1、如图，AB是☉O的弦，D为半径OA上的一点，过点D作CD⊥OA交弦AB于点E，交☉O于点F，且CE=CB.求证：BC是☉O的切线。
　　分析：已知直线BC经过⊙O上的点B，因此，只需连接半径OB，证明OB⊥BC即可。
　　证明：连接OB
　　∵OB=OA，CE=CB
　　∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC
　　又∵CD⊥OA
　　∴∠A ∠AED=90°
　　∴∠A ∠CEB=90°
　　∴∠OBA ∠ABC=90°
　　∴OB⊥BC
　　又∵OB为⊙O的半径
　　∴BC是⊙O的切线
　　2.往届中考试题解析
　　（2014年广东省中考第24题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。
　　（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长;（结果保留π）
　　（2）求证：OD=OE;
　　（3）求证：PF是⊙O的切线。
　　分析：（1）根据弧长计算公式进行计算即可;（2）证明△POE≌
　　△ADO可得DO=OE;（3）已知点P为⊙O的点，半径OP已有，因此，只需证明OP⊥PF即可，本题可以利用角的关系，借助角度转换证垂直。
　　【解答】（1）解：∵AC=12
　　∴CO=6
　　∴=2π
　　答：劣弧PC的长为2π。
　　（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
　　∠PEA=90°，∠ADO=90°
　　在△ADO和△PEO中
　　∴△POE≌△AOD（AAS）
　　∴OD=EO
　　（3）证明：如图，连接AP，PC
　　∵OA=OP
　　∴∠OAP=∠OPA
　　由（2）得OD=EO
　　∴∠ODE=∠OED
　　又∵∠AOP=∠EOD
　　∴∠OPA=∠ODE
　　∴AP∥DF
　　∵AC是直径
　　∴∠APC=90°
　　∴∠PQE=90°
　　∴PC⊥EF
　　又∵DP∥BF
　　∴∠ODE=∠EFC
　　∵∠OED=∠CEF
　　∴∠CEF=∠EFC
　　∴CE=CF
　　∴PC为EF的中垂线
　　∴∠EPQ=∠QPF
　　∵△CEP∽△CAP
　　∴∠EPQ=∠EAP
　　∴∠QPF=∠EAP
　　∴∠QPF=∠OPA
　　∵∠OPA ∠OPC=90°
　　∴∠QPF ∠OPC=90°
　　∴OP⊥PF
　　又∵OP为半径
　　∴PF是⊙O的切线
　　（二）利用平行证垂直
　　1.例题分析
　　例2、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O与边BC，AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，求证：DF是☉O的切线。
　　分析：已知☉O与边BC交于D，可知点D在圆上，因此，只需连接半径OD，证明OD⊥DF即可，又因为DF⊥AC，所以可以利用OD//AC来证明OD⊥DF。
　　证明：连接OD
　　∵OB=OD
　　∴∠ODB=∠B
　　又∵AB=AC
　　∴∠C=∠B
　　∴∠ODB=∠C
　　∴OD∥AC
　　∵DF⊥AC
　　∴∠DFC=90°
　　∴∠ODF=∠DFC=90°
　　∴OD⊥DF
　　又∵OD为⊙O的半径 　　∴DF是⊙O的切线
　　2.往届中考试题解析
　　（1）（2013年广东省中考第24题）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90o，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E。
　　①求证：∠BCA=∠BAD;
　　②求DE的长;
　　③求证：BE是⊙O的切线。
　　分析：①通过角度等量代换，易证∠BCA=∠BAD;②证明△BED∽△CBA，可求DE的长;③因为⊙O是Rt△ABC的外接圆，所以可以明确直线BE与圆交于点B，因此，只需连接半径OB，证明EB⊥BO即可。考虑到已有BE⊥DC，因此，可以利用平行证明垂直。
　　【解答】①证明：∵BD=BA
　　∴∠BDA=∠BAD
　　∵∠BCA=∠BDA
　　∴∠BCA=∠BAD
　　②解：∵∠BDE=∠CAB且∠BED=
　　∠CBA=90°
　　∴△BED∽△CBA
　　∴
　　解得：DE=
　　③证明：连结OB，OD，
　　在△ABO和△DBO中，
　　∴△ABO≌△DBO（SSS）
　　∴∠DBO=∠ABO
　　∵∠ABO=∠OAB=∠BDC
　　∴∠DBO=∠BDC
　　∴OB∥ED
　　∵BE⊥ED
　　∴EB⊥BO
　　又∵OB为半径
　　∴BE是⊙O的切线
　　（2）（2019年广东省中考第24题节选）如图，在△ABC中，AB=AC，☉O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交☉O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC致点F，使CF=AC，连接AF。
　　①求证：ED=EC;
　　②求证：AF是☉O的切线。
　　分析：①要证明ED=EC，只要证明∠D=∠BCD即可;②因为☉O是△ABC的外接圆，因此，可以明确直线AF与圆交于点A，故要证明AF是☉O的切线，只需连接半径OA，证明OA⊥AF即可。由AB=AC，OB=OC，可得AO是线段BC的垂直平分线，所以可以根据已证的垂直，利用平行来证明垂直。
　　【解答】（1）证明：∵弧AC
　　∴∠D=∠B
　　又∵AB=AC
　　∴∠ACB=∠B
　　∴∠D=∠ACB
　　又∵∠BCD=∠ACB
　　∴∠D=∠BCD
　　∴ED=EC
　　（2）证明：连接OA，OB，OC
　　∵AB=AC，OB=OC
　　∴AO是线段BC的垂直平分线
　　∴AO⊥BC
　　又∵CA=CF
　　∴∠CAF=∠F
　　∴∠ACD=∠CAF ∠F=2∠CAF
　　又∵∠BCD=∠ACB
　　∴∠ACD=2∠ACB
　　∴∠ACB=∠CAF
　　∴AF//BC
　　又∵AO⊥BC
　　∴AO⊥AF
　　又∵OA是半径
　　∴AF是☉O的切线
　　（三）利用勾股定理的逆定理证垂直
　　1.例题分析
　　例3、如图，C是☉O上一点，点P在直径AB的延长线上，☉O的半径为3，PB=2，PC=4，求证：PC是☉O的切线。
　　分析：已知C是☉O上一点，因此，只需连接半径OC，证明OC⊥PC即可，观察题中给出的已知数据，可以利用勾股定理的逆定理证垂直OC⊥PC。
　　证明：连接OC
　　∵⊙O的半径为3
　　∴OC=OB=3
　　又∵BP=2，∴OP=5
　　在△OCP中，OC2 PC2=32 42=52=OP2
　　∴△OCP为直角三角形，∠OCP=90°
　　∴OC⊥PC
　　∵C是⊙O上一点，∴PC为⊙O的切线
　　2.往届中考试题解析
　　（2018年广东省中考第24题）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E。
　　（1）证明：OD∥BC;
　　（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切;
　　（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长。
　　分析：（1）连接OC，可证△OAD≌
　　△OCD，得∠ADO=∠CDO，由AD=CD可得DE⊥AC，再由AB为⊙O的直径知BC⊥AC，从而OD∥BC;（2）因为AB为直径，所点AD与圆有交点，因此，要證明DA与⊙O相切，主要是证垂直。根据tan∠ABC=2，可设BC=a，则AC=2a，AD=AB=，证OE为中位线知OE=a，AE=CE=AC=a，进一步求得DE==2a，再在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可。（3）可先证△AFD∽△BAD得DF·BD=AD2①，再证△AED∽△OAD得OD·DE=AD2②，由①②得DF·BD=OD·DE，结合∠EDF=∠BDO，可得△EDF∽△BDO，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得结果。
　　【解答】（1）连接OC，
　　在△OAD和△OCD中，
　　∵
　　∴△OAD≌△OCD（SSS）
　　∴∠ADO=∠CDO
　　又AD=CD
　　∴DE⊥AC
　　∵AB为⊙O的直径
　　∴∠ACB=90°
　　∴∠ACB=90°，即BC⊥AC 　　∴OD∥BC
　　（2）∵tan∠ABC==2
　　∴设BC=a，则AC=2a
　　∴AD=AB=
　　∵OE∥BC，且AO=BO
　　∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a
　　在△AED中，DE==2a
　　在△AOD中，AO2 AD2=（）2 （）2=a2，
　　OD2=（OE DE）2=（a 2a）2=a2
　　∴AO2 AD2=OD2
　　∴△AOD为直角三角形，且∠OAD=90°