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正态分布可以理解成一种“常态”分布. 在日常生活、生产与科学实验中，一些随机变量的取值情况“不约而同”地呈现着某种相似规律——其取值的概率分布都近似地可以用正态分布来描述. 比如，某个地区的年降水量、某地当年西瓜产量、理想气体分子的速度分量等等，它们服从或近似服从这种分布规律. 对正态分布的考查多以中低档题目为主，一方面是考查正态分布的基本概念、性质和计算，另一方面，如何将它们与实际生活进行结合是近几年高考命题的热点.
正态分布的基本概念与性质
例1 已知三个正态分布密度函数[φix=][12πσie-x-μi22σi2][（x∈R，i=1，2，3）]的图象如图所示，则（ ）
A. [μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3]
B. [μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3]
C. [μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3]
D. [μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3]
解析 由正态曲线关于直线[x=μ]对称知，[μ1<μ2=μ3.] [σ]的大小决定曲线的形状，[σ]越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；[σ]越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则[σ1=σ2<σ3.] 也可由[φ1（μ1）=φ2μ2>φ3μ3]得，[12πσ1=12πσ2>12πσ3]，即[σ1=σ2<σ3].
答案 D
变式1 设两个正态分布[X?Nμ1，σ12，][Y?Nμ2，σ22，]其密度函数分别为[φ1x]和[φ2x]，图象如图所示，则有（ ）
A. [PY≥μ2≥PY≥μ1]
B. [PX≤σ2≤PX≤σ1]
C. 对任意正数[t，][PX≤t≥PY≤t]
D. 对任意正数[t，][PX≥t≥PY≥t]
答案 C
点拨 此类题主要考查正态分布的概念和性质，故要理解概念，掌握性质，特别是参数[μ，σ]的实际意义和几何意义是考查的热点.
服从正态分布的基本计算问题
例2 设随机变量[ξ]服从标准正态分布[N0，1]，已知[Pξ<-1.96=0.025]，则[Pξ<1.96=]（ ）
A. 0.025 B. 0.050
C. 0.950 D. 0.975
解析 法一：∵[ξ]～[N0，1]，
[∴Pξ<1.96=P-1.96<ξ<1.96]
[=Pξ<1.96-Pξ<-1.96]
[=1-2Pξ<-1.96=0.950.]
法二：因为曲线的对称轴是直线[x=0]，所以由对称性知，
[Pξ>1.96=][Pξ≤-1.96=][Pξ<-1.96=0.025.]
∴[Pξ<1.96=]1-0.25-0.25=0.950.
答案 C
变式2 某地区某年参加高考的人数约为6万人，数学满分为150分，学生的数学成绩服从正态分布[N90，σ2]，超过120分的人数约占总人数的[120]，据此估计数学成绩在60分到90分之间的人数约为（ ）
A. 0.3万人 B. 2.7万人
C. 3.3万人 D. 5.7万人
答案 B
点拨 能熟练应用以下正态曲线的性质解题，并注意数形结合和转化化归思想的运用. （1）正态曲线与[x]轴之间的面积为1；（2）正态曲线关于直线[x=μ]对称，从而在关于[x=μ]对称的区间上概率相等；（3）[PX 正态分布的实际应用
例3 在某次数学考试中，考生的成绩[ξ]服从一个正态分布，即[ξ?N（90，100）.]
（1）试求考试成绩[ξ]位于区间（70，110）上的概率是多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？（参考数据：若[ξ～N（μ，σ2）]，有[Pμ-σ [Pμ-2σ [Pμ-3σ 解析 [∵ξ?N（90，100），∴μ=90，σ=100=10.]
（1）由于正态变量在区间[（μ-2σ，μ+2σ）]上取值的概率是0.9544，而该正态分布中，[μ-2σ=90-2×10][=70，][μ+2σ=90+2×10=110，]于是考试成绩[ξ]位于区间（70，110）上的概率就是0.9544.
（2）由[μ=90，σ=10，]得[μ-σ=80，μ+σ=100.]
由于正态变量在区间[（μ-σ，μ+σ）]上取值的概率是0.6826，所以考试成绩[ξ]位于区间（80，100）上的概率是0.6826. 一共有2000名考生，所以考试成绩在（80，100）间的考生大约有2000×0.6826[≈]1365人.
变式3 （1）假设每天从甲地去乙地的旅客人数[X]是服从正态分布[N800，502]的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为[P0]. 求[P0]的值；（参考数据：若[ξ～N（μ，σ2），]有
[Pμ-σ [Pμ-2σ [Pμ-3σ （2）某客运公司用[A，B]两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. [A，B]两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆. 公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求[B]型车不多于[A]型车7辆. 若每天要以不小于[P0]的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备[A]型车、[B]型车各多少辆？
答案 （1）0.9772 （2）[A]型车5辆、[B]型车12辆
点拨 本题正态分布已经确定，可以求出总体的期望[μ]和标准差[σ]，这样就可以根据性质将所求概率转化到三个常见的区间上进行求解，进而解决相关的实际问题. 此类题常将正态分布的知识与实际生活结合考查，这样既有利于巩固正态分布的知识和方法，又有利于提高大家的数学素养.
例4 工厂制造的某机械零件尺寸[X]服从正态分布[N4，19]，问在一次正常的试验中，取10000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？若任取一个，其尺寸为5.2，再任取一个，其尺寸为2.7，试分析生产状况是否异常？（参考数据：若[ξ～N（μ，σ2）]，[Pμ-3σ 解析 ∵[X～N4，19]，∴[μ=4，σ=13].
∴不属于区间（3，5]的概率为
[PX≤3+PX>5=1-P3 [=1-P4-1 ∴10000×0.0026=26（个），即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件有26个.
∵[PX≤3+PX>5=0.0026，]
∴任取一个取到这个范围内的零件是一个小概率事件，而现在任取两次中这个小概率事件都发生了，故说明生产状况异常.
变式4 某厂生产的[T]型零件的外直径[ξ?N（10，0.22），]某天从该厂上午、下午生产的[T]型零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
答案 生产状况是正常的.
点拨 在实际应用中，通常认为服从于正态分布[N（μ，σ2）]的随机变量[X]只取[μ-3σ，μ+3σ]之间的值，并简称之为[3σ]原则.
正态分布的基本概念与性质
例1 已知三个正态分布密度函数[φix=][12πσie-x-μi22σi2][（x∈R，i=1，2，3）]的图象如图所示，则（ ）
A. [μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3]
B. [μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3]
C. [μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3]
D. [μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3]
解析 由正态曲线关于直线[x=μ]对称知，[μ1<μ2=μ3.] [σ]的大小决定曲线的形状，[σ]越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；[σ]越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则[σ1=σ2<σ3.] 也可由[φ1（μ1）=φ2μ2>φ3μ3]得，[12πσ1=12πσ2>12πσ3]，即[σ1=σ2<σ3].
答案 D
变式1 设两个正态分布[X?Nμ1，σ12，][Y?Nμ2，σ22，]其密度函数分别为[φ1x]和[φ2x]，图象如图所示，则有（ ）
A. [PY≥μ2≥PY≥μ1]
B. [PX≤σ2≤PX≤σ1]
C. 对任意正数[t，][PX≤t≥PY≤t]
D. 对任意正数[t，][PX≥t≥PY≥t]
答案 C
点拨 此类题主要考查正态分布的概念和性质，故要理解概念，掌握性质，特别是参数[μ，σ]的实际意义和几何意义是考查的热点.
服从正态分布的基本计算问题
例2 设随机变量[ξ]服从标准正态分布[N0，1]，已知[Pξ<-1.96=0.025]，则[Pξ<1.96=]（ ）
A. 0.025 B. 0.050
C. 0.950 D. 0.975
解析 法一：∵[ξ]～[N0，1]，
[∴Pξ<1.96=P-1.96<ξ<1.96]
[=Pξ<1.96-Pξ<-1.96]
[=1-2Pξ<-1.96=0.950.]
法二：因为曲线的对称轴是直线[x=0]，所以由对称性知，
[Pξ>1.96=][Pξ≤-1.96=][Pξ<-1.96=0.025.]
∴[Pξ<1.96=]1-0.25-0.25=0.950.
答案 C
变式2 某地区某年参加高考的人数约为6万人，数学满分为150分，学生的数学成绩服从正态分布[N90，σ2]，超过120分的人数约占总人数的[120]，据此估计数学成绩在60分到90分之间的人数约为（ ）
A. 0.3万人 B. 2.7万人
C. 3.3万人 D. 5.7万人
答案 B
点拨 能熟练应用以下正态曲线的性质解题，并注意数形结合和转化化归思想的运用. （1）正态曲线与[x]轴之间的面积为1；（2）正态曲线关于直线[x=μ]对称，从而在关于[x=μ]对称的区间上概率相等；（3）[PX
例3 在某次数学考试中，考生的成绩[ξ]服从一个正态分布，即[ξ?N（90，100）.]
（1）试求考试成绩[ξ]位于区间（70，110）上的概率是多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？（参考数据：若[ξ～N（μ，σ2）]，有[Pμ-σ
（1）由于正态变量在区间[（μ-2σ，μ+2σ）]上取值的概率是0.9544，而该正态分布中，[μ-2σ=90-2×10][=70，][μ+2σ=90+2×10=110，]于是考试成绩[ξ]位于区间（70，110）上的概率就是0.9544.
（2）由[μ=90，σ=10，]得[μ-σ=80，μ+σ=100.]
由于正态变量在区间[（μ-σ，μ+σ）]上取值的概率是0.6826，所以考试成绩[ξ]位于区间（80，100）上的概率是0.6826. 一共有2000名考生，所以考试成绩在（80，100）间的考生大约有2000×0.6826[≈]1365人.
变式3 （1）假设每天从甲地去乙地的旅客人数[X]是服从正态分布[N800，502]的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为[P0]. 求[P0]的值；（参考数据：若[ξ～N（μ，σ2），]有
[Pμ-σ
答案 （1）0.9772 （2）[A]型车5辆、[B]型车12辆
点拨 本题正态分布已经确定，可以求出总体的期望[μ]和标准差[σ]，这样就可以根据性质将所求概率转化到三个常见的区间上进行求解，进而解决相关的实际问题. 此类题常将正态分布的知识与实际生活结合考查，这样既有利于巩固正态分布的知识和方法，又有利于提高大家的数学素养.
例4 工厂制造的某机械零件尺寸[X]服从正态分布[N4，19]，问在一次正常的试验中，取10000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？若任取一个，其尺寸为5.2，再任取一个，其尺寸为2.7，试分析生产状况是否异常？（参考数据：若[ξ～N（μ，σ2）]，[Pμ-3σ
∴不属于区间（3，5]的概率为
[PX≤3+PX>5=1-P3
∵[PX≤3+PX>5=0.0026，]
∴任取一个取到这个范围内的零件是一个小概率事件，而现在任取两次中这个小概率事件都发生了，故说明生产状况异常.
变式4 某厂生产的[T]型零件的外直径[ξ?N（10，0.22），]某天从该厂上午、下午生产的[T]型零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
答案 生产状况是正常的.
点拨 在实际应用中，通常认为服从于正态分布[N（μ，σ2）]的随机变量[X]只取[μ-3σ，μ+3σ]之间的值，并简称之为[3σ]原则.