以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力，归纳起来常见的命题角度有以下几类.
　　一、创新集合新定义
　　创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决.
　　例1 若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M=-1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）
　　A.1__________________B.3__________________C.7____________ D.31
　　解析：具有伙伴关系的元素组是-1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{-1}，12，2，-1，12，2.
　　答案：B
　　例2 设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q={z|z=a÷b，a∈P，b∈Q}，若P={-1，0，1}，Q={-2，2}，则集合P*Q中元素的个数是（ ）
　　A.2B.3C.4D.5
　　解析：当a=0时，无论b取何值，z=a÷b=0；
　　当a=-1，b=-2时，z=（-1）÷（-2）=12；
　　人与人之间能力不会相差很多，但观念会相差很多。观念决胜负。
　　我们最大的敌人就是安逸，感觉不到危机是最大的危机。______
　　当a=-1，b=2时，z=（-1）÷2=-12；
　　当a=1，b=-2时，z=1÷（-2）=-12；
　　当a=1，b=2时，z=1÷2=12.
　　故P*Q=0，-12，12，该集合中共有3个元素.
　　答案：B
　　二、创新集合新运算
　　创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的.
　　例3 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x，y∈R，A={x|y= }，B={y|y=3x，x>0}，则A#B为（ ）
　　A.{x|0　　C.{x|0≤x≤1或x≥2}D.{x|0≤x≤1或x>2}
　　解析：因为A={x|0≤x≤2}，B={y|y>1}，A∪B={x|x≥0}，A∩B={x|1　　瘙 綂 A∪B（A∩B）={x|0≤x≤1或x>2}，故选D.
　　答案：D
　　三、创新集合新性质
　　创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题.
　　例4 对于复数a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性质“对任意x，y∈S，必有xy∈S”，则当a=1b2=1c2=b时，b+c+d等于（ ）
　　A.1B.-1C.0D.i
　　解析：∵S={a，b，c，d}，由集合中元素的互异性可知当a=1时，b=-1，c2=-1，∴c=±i，由“对任意x，y∈S，必有xy∈S”知±i∈S，∴c=i，d=-i或c=-i，d=i，∴b+c+d=（-1）+0=-1.
　　答案：B
　　例5 设S为复数集C的非空子集.若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集.下列命题：
　　①集合S={a+bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；
　　②若S为封闭集，则一定有0∈S；
　　③封闭集一定是无限集；
　　④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集.
　　其中的真命题是.（写出所有真命题的序号）
　　A.①③B.①②C.②③D.③④
　　解析：当a，b为整数时，对任意x，y∈S，x+y，x-y，xy的实部与虚部均为整数，①对；当x=y时，0∈S，②对；当S={0}时，是封闭集，但不是无限集，③错；设S={0}T，T={0，1}，显然T不是封闭集，④错.因此，真命题为①②.
　　答案：B