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[摘要] 在二元选择下，测算加权投票制表决权的大小有两种广泛被接受的方法，即Shapley-Shubik指数法与Banzhaf指数法，但它们都不能解决多备选方案或多候选人时决策个体的权力问题，更不能解决在加权投票制下群体对多方案或多候选人进行排序时决策个体的权力问题。本文利用排序距离来度量不同群体偏好序差异，从而提出了加权投票制下群体对多方案或多候选人进行排序时决策个体的权力计算方法，此方法是投票数为基数下Banzhaf权力指数的推广，最后，进行了实例分析。
[关键词] 权力偏好序加权投票制
自从1954年Shapley和Shubik开创性地研究了委员会中个人在二元选择下权力分布的测算问题以来，不少人对二元选择下的权力指数进行了深入研究，出现了Shapley-Shubik指数、Banzhaf指数、Johnston指数和Deegan-Packel指数。其中，Banzhaf权力指数在实际的计算中被广泛应用，在美国纽约州法院一些案例的判决中，就是用Banzhaf权力指数去测度法官的权力并以这种计算作为衡量投票权重分配公正性的标准。Felsenthal等人也正是用 Banzhaf权力指数去分析欧盟委员会各国代表的投票权重分配的合理性。但在二元选择下的权力指数包括Banzhaf权力指数不能测算多方案下的决策个体权力问题，在二元选择的条件下，为了节省时间通过一次表决就能得到结果，一般投票总数往往取基数，那么，在投票数是基数的条件下研究多方案下如何推广Banzhaf权力指数就具有一定的意义。
一、国内外研究现状
在加权投票制的条件下，决策个体的权力大小取决于他的投票对选举结果的影响。对于二元选择，即投票在两种观点中进行，且以多数票决定胜负的情况下，对于决策个体 的表决权，Shapley-Shubik权力指标是这样定义的:设决策个体按照某种排列先后投票，这时投赞成票的决策个体不断增加，若某个决策个体恰好排在他投赞成票之后就可以通过议案的位置，则称该决策个体是这种排列的中轴。在所有可能的排列中，决策个体 成为中轴的概率大小就表明他权力的大小。
对于决策个体 的表决权,Banzhaf权力指标定义与Shapley-Shubik权力指标定义的最大不同在于它将排列改为组合，其定义为:在投赞成票（或投反对票）的决策个体的组合中，若某人改变投票将改变原有结果，那么称此决策个体处于摆动地位，或称他为摆动者。在所有可能的组合中决策个体i成为摆动者的次数记为αi，则Banzhaf权力指标βi为：（1）
在多个备选方案或多个候选人的加权投票决策中，决策个体的权力是无法用测度二元选择下的权力指数来衡量的。Bolger注意到了这一事实，他通过推广了Banzhaf权力指标中的摆动者，于是将Banzhaf权力指数推广到群体从多个方案或多个候选人中选择一个的加权投票制的情形。但在实际问题中的多个方案或多个候选人的群决策问题，不仅仅是“多择一”的，许多情况下是对多个方案或多个候选人进行排序。例如，按名次进行奖励的各种评奖活动和一些体育比赛都需要群体对被选方案进行排序。对于决策个体有不同的权重，每个决策者只选择一个方案，各方案按得票多寡进行排序的加权投票制的决策个体的权力大小用Bolger的方法也不能进行计算。文和文通过构建群体偏好的距离得到了多方案排序的加权投票制决策个体权力的计算方法，但这些方法不能构成为Banzhaf权力指数的推广，本文通过构建群体偏好闵可夫斯基距离在投票数是基数的条件下将Banzhaf权力指数推广到多方案排序的加权投票制决策个体权力的计算问题。
二、群体对方案不同排序的闵可夫斯基距离距离
在所讨论的加权投票选举模型中，每个决策个体只投一个候选人的票。设有n个决策人权重向量为W={w1,w2,Λ,wn},有k个方案，方案集为:P={p1,p2,Λ,pk}。取Γj为选择第j个方案pj的投票人的集合，|Γj|为方案pj的总得票数。由于每个决策人都得投某个方案的票，那么，对于任意的决策人i，就存在一个Γj，使i∈Γj。我们称向量Γ=(Γ1,Γ2,Λ,Γk)为n个投票人在k个方案中的安排。对于任意一个n个投票人在k个方案中的安排Γ，各方案的得票多寡就确定了，那么，在给定的方案排序规则ρ下，这 个方案的排序也就确定了。用pj1*pj2*Λ*pjk表示k个方案排成的序，其中pji∈P，(j1,j2,Λ,jk)是(1,2,Λ,k)的某种排列;*或是“>”（表示一个严格次序或优于），或是“=”（表示相等或无差异）。将 Γ确定的k个方案的排序记为:ρ(Γ)。
现在考虑决策个体 的不同投票行为对方案排序的影响。在Γ中设i投方案ph的票，在其它投票人的投票不变的情况下，让i改变投pl的票就形成一个新的安排Γ`。那么,由Γ变为Γ`时，方案ph的的票就减少,同时，方案pl的的票就增加。决策人的不同投票行为就使方案ph的排序往后移，使方案pl的排序往前移。那么，i的权力就应随决策个体i的不同投票方案ph后移的位序的增加或方案pl前移的位序的增加而增加。为了明确决策个体i的不同投票行为对方案排序的不同影响，需要构造群体偏好序的距离来计算。
对于任意一个n个投票人在 个方案中的安排Γ，方案的排序就确定了。对于给定的k个方案的排序ρ(Γ)，各方案就有一个名次与之对应，最优的方案为第1，无差别或相等的方案名次相同，但有几个方案名次并列，它们就占用了几个名次序。例如，有4个方案:p1、p2、p3和p4，它们之间的排序关系为:p1＞p2=p3＞p4，那么，这4个方案的名次就为:p1为第1，p2和p3为第2，p4为第4而不是第3，原因是p3占用了一个名次。若方案i的名次为xi，可记群体偏好序ρ(Γ)为名次序向量(x1,x2,Λ,xk)。对于任意两个序ρ(Γ)与ρ(Γ`):
ρ(Γ):(x1,x2,Λ,xk)
ρ(Γ`):(x`1,x`2,Λ,x`k)
序ρ(Γ)与ρ(Γ`)代表的群体偏好差异我们用闵可夫斯基距离来衡量，称为群体偏好的排序ρ(Γ)与ρ(Γ`)的距离： （2）
式中q,为距离参数。当q=1时，便为线性距离;当q=2时，便为欧几里得距离;当q→∞时，便为车比雪夫距离。
如果决策个体i，原来投方案ph的票时群体对方案的排序为:ρ:p1*p2*Λ＊pk,决策个体i改变投票投pl后，pl的排序就会提升，设pl在提升的过程中比原来多优于了i个方案，而方案ph的排序往后移使之多劣于j个方案由此产生的群体偏好序为ρ`。ρ`的变化有多种可能，下面我们分不同的情况讨论:
第一，在ρ中pl不劣于ph时，由ρ变为ρ`,就有k-i-j-2个方案的名次不变;方案ph的名次由h变为h-j;有i个方案的名次比原来的名次减少1;方案pl的名次由l变为l+i;有j个方案的名次比原来的名次增加1。那么,d(ρ,ρ`)=[jq+iq+j+i]1/q;
第二，在ρ中ph不劣于pl时，又分两种情况:第一，由ρ变到ρ`后， ph仍不劣于pl，由ρ变为ρ`，就有k-i-j-2个方案的名次不变;方案ph的名次由h变为h-j;有i个方案的名次比原来的名次减少1；方案pl的名次由l变为l+i;有j个方案的名次比原来的名次增加1。那么,d(ρ,ρ`)=[jq+iq+j+i]1/q;第二，由ρ变到ρ`后，ph劣于pl，那么，同时被ph和pl置换的方案数最大时为m，m应满足m＜i且m＜j。于是，由ρ变为ρ`,就有k+m-i-j-2个方案的名次不变;方案ph的名次由h变为h-j;有i-m个方案的名次比原来的名次减少1;方案pl的名次由l变为l+i;有j-m个方案的名次比原来的名次增加1。那么,d(ρ,ρ`)=[jq+iq+j+i-2m]1/q。对于实数q＞1,d(ρ,ρ`)随i或j增加而增加。这说明，当q＞1时，决策个体i的不同投票由ρ变为ρ`时，使ph的排序往后移的位序的增加或使方案pl的排序往前移的位序的增加,ρ与ρ`的距离也增加，i的权力就应增加。这样序ρ到序ρ`的距离，就反映了该种转变的难易程度。即距离越长，则从序ρ变到序ρ`的难度就愈大，能促成这种变化的决策个体的权力就越大。相应地，在计算决策个体权力大小时，就让距离参数q＞1。
三、决策个体权力大小的计算方法
表决权是一种相对概念，既相对于其它决策个体权力大小，也相对于其它决策个体如何投票。为此我们从以下角度来定义决策个体i的权力。
设p={p1,p2,Λ,pk}表示候选人集合,N={1,2,Λ,n}表示决策个体组成的集合，W={w1,w2,Λ,wn}为决策个体的加权数，决策个体按拥有的权数一次只投一个候选人,k维向量Γ=(Γ1,Γ2,ΛΓk)为n个投票人在k个方案中的安排。Γ-i表示n个投票人缺少i时 n-1个投票人在k个方案中的安排，表示在Γ-i的基础上加入投票人i投方案ph时形成的n个投票人在k个方案中的安排。那么，当h≠l时，和确定的方案排序和就可以分别表示在其它投票人的投票不变的情况下，即向量Γ-i不变的情况下，i投ph时的方案排序和投pl时的方案排序。
对于给定的Γ-i，i投方案ph时的方案排序的名次序向量为:(x1,x2,Λ,xk)。i改投方案pl产生的方案排序的名次序向量为:(x`1,x`2,Λ,x`k)。方案排序和的不同用方案排序和的距离定义，为：(3)
距离一般取为欧几里得距离或车比雪夫距离。让h遍历1到k的k个正整数，为了避免重复计算就让l遍历h+1到k的所有正整数，就得到了给定的Γ-i,i的表决权:再让Γ-i遍历所有的n个投票人缺少i时n-1个投票人在k个方案中的安排，就得到了i的最终表决权:（4）其相对表决权为:(5)
当方案数为2时，在投票数是基数的条件下，利用（5）式计算的决策个体的权力大小与用Banzhaf权力指数的计算一致，即在投票数是基数的条件下，（5）式计算方法是Banzhaf权力指数的扩张。这是因为当方案数为2时，在投票数是基数的条件下，决策个体改变投票若改变投票结果， 在Banzhaf权力指数算法中决策个体就是摆动者，计数1；而在上述的计算中，决策个体改变投票若改变投票结果就是将原有的排序向量(1，2）改变为(2，1）或者将(2,1）改变为(1，2），此时距离就为 。计算相对权力大小后，结果是一致的。
四、决策个体权力的计算示例
设决策个体的集合N={甲，乙，丙}，方案集为p={p1,p2,p3}，给甲、乙、丙三个决策个体赋予权数分别为1，2，3。规定每人只投票给一个方案，按方案的得票多寡来确定这三个方案的获奖名次，现决定甲、乙、丙的表决权。
先看丙的表决权。取距离参数q=2。在丙未参加投票时，甲、乙给这三种方案的不同投票组合有9种。
当甲和乙同时投票给p1时，丙也投p1，方案p1就得到6票，p2,p3各得0票,ρ1:p1＞p2=p3就是甲、乙和丙此时认同的群体偏好序,对应的名次序向量便为:（1,2,2）。丙由投p1改投p2，由于丙拥有的加权数为3,ρ2:p1=p2＞p3就是甲、乙和丙此时认同的偏好序，对应的名次序向量为:（1,1,3）。那么d(ρ1,ρ2)=[(1-1)2=(2-1)2+(2-3)2]1/2=;同样，丙由投p1改投 p2，由于丙拥有的加权数为3，ρ3:p3=p1＞p2就是甲、乙和丙认同的偏好序,对应的名次序向量为:（1,3,1）。那么d(ρ1,ρ3)=[(1-1)2=(2-3)2+(2-1)2]1/2=;丙由投p2改投p3，方案排序就是由ρ2变成ρ3，那么d(ρ2,ρ3)=[(1-1)2=(1-3)2+(3-1)2]1/2=。那么,在甲和乙同时投p1时，丙的权力就是以上三个不同距离之和为:5.659。
以上给出了特定情况下的决策个体权力的计算方法。若要计算决策个体的绝对权力，让甲、乙取遍甲、乙所有的不同的9种投票组合，同样能计算出丙在不同情况下的权力大小，将它们加起来，就得到丙的表决权:α丙=65.609。
同理:α甲=22.243；α乙=50.144。从而可计算出甲、乙、丙的相对权力为:（0.161，0.363，0.476）。
再设有甲、乙、丙和丁四个决策人，他们的选票分别为6、5、3和1，总选票数是基数，他们投票对两个方案排序。无论取距离为欧几里得距离还是其他距离，容易计算出甲、乙、丙和丁的相对权力为:1/3、1/3、1/3、0）。用Banzhaf权力指数进行计算结果是一样的。
五、结束语
通过群体排序距离建立基于方案排序的加权投票制的权力测度模型，不单可以用于测度方案排序的加权投票制决策个体的权力大小，还可以用于分析方案排序的加权投票制中权重分配的合理性。此外，应该注意到，该权力测度模型与排序的距离参数 息息相关，例如，在上例中，若取q=2，即排序距离为欧几里得距离时,甲、乙、丙的相对权力为:（0.161，0.363，0.476）;q→∞，即排序距离为车比雪夫距离时，甲、乙、丙的相对权力为:（0.233，0.367，0.400）。这是由于q值越大，距离就越侧重于名次序变化较大的方案所置换另外方案的个数造成的。当方案数为2时，在投票数是基数的条件下，Banzhaf权力指数就与基于方案排序距离权力计算法是一致的，基于方案排序距离的权力计算法可视为在投票数是基数的条件下Banzhaf权力指数的推广。
[关键词] 权力偏好序加权投票制
自从1954年Shapley和Shubik开创性地研究了委员会中个人在二元选择下权力分布的测算问题以来，不少人对二元选择下的权力指数进行了深入研究，出现了Shapley-Shubik指数、Banzhaf指数、Johnston指数和Deegan-Packel指数。其中，Banzhaf权力指数在实际的计算中被广泛应用，在美国纽约州法院一些案例的判决中，就是用Banzhaf权力指数去测度法官的权力并以这种计算作为衡量投票权重分配公正性的标准。Felsenthal等人也正是用 Banzhaf权力指数去分析欧盟委员会各国代表的投票权重分配的合理性。但在二元选择下的权力指数包括Banzhaf权力指数不能测算多方案下的决策个体权力问题，在二元选择的条件下，为了节省时间通过一次表决就能得到结果，一般投票总数往往取基数，那么，在投票数是基数的条件下研究多方案下如何推广Banzhaf权力指数就具有一定的意义。
一、国内外研究现状
在加权投票制的条件下，决策个体的权力大小取决于他的投票对选举结果的影响。对于二元选择，即投票在两种观点中进行，且以多数票决定胜负的情况下，对于决策个体 的表决权，Shapley-Shubik权力指标是这样定义的:设决策个体按照某种排列先后投票，这时投赞成票的决策个体不断增加，若某个决策个体恰好排在他投赞成票之后就可以通过议案的位置，则称该决策个体是这种排列的中轴。在所有可能的排列中，决策个体 成为中轴的概率大小就表明他权力的大小。
对于决策个体 的表决权,Banzhaf权力指标定义与Shapley-Shubik权力指标定义的最大不同在于它将排列改为组合，其定义为:在投赞成票（或投反对票）的决策个体的组合中，若某人改变投票将改变原有结果，那么称此决策个体处于摆动地位，或称他为摆动者。在所有可能的组合中决策个体i成为摆动者的次数记为αi，则Banzhaf权力指标βi为：（1）
在多个备选方案或多个候选人的加权投票决策中，决策个体的权力是无法用测度二元选择下的权力指数来衡量的。Bolger注意到了这一事实，他通过推广了Banzhaf权力指标中的摆动者，于是将Banzhaf权力指数推广到群体从多个方案或多个候选人中选择一个的加权投票制的情形。但在实际问题中的多个方案或多个候选人的群决策问题，不仅仅是“多择一”的，许多情况下是对多个方案或多个候选人进行排序。例如，按名次进行奖励的各种评奖活动和一些体育比赛都需要群体对被选方案进行排序。对于决策个体有不同的权重，每个决策者只选择一个方案，各方案按得票多寡进行排序的加权投票制的决策个体的权力大小用Bolger的方法也不能进行计算。文和文通过构建群体偏好的距离得到了多方案排序的加权投票制决策个体权力的计算方法，但这些方法不能构成为Banzhaf权力指数的推广，本文通过构建群体偏好闵可夫斯基距离在投票数是基数的条件下将Banzhaf权力指数推广到多方案排序的加权投票制决策个体权力的计算问题。
二、群体对方案不同排序的闵可夫斯基距离距离
在所讨论的加权投票选举模型中，每个决策个体只投一个候选人的票。设有n个决策人权重向量为W={w1,w2,Λ,wn},有k个方案，方案集为:P={p1,p2,Λ,pk}。取Γj为选择第j个方案pj的投票人的集合，|Γj|为方案pj的总得票数。由于每个决策人都得投某个方案的票，那么，对于任意的决策人i，就存在一个Γj，使i∈Γj。我们称向量Γ=(Γ1,Γ2,Λ,Γk)为n个投票人在k个方案中的安排。对于任意一个n个投票人在k个方案中的安排Γ，各方案的得票多寡就确定了，那么，在给定的方案排序规则ρ下，这 个方案的排序也就确定了。用pj1*pj2*Λ*pjk表示k个方案排成的序，其中pji∈P，(j1,j2,Λ,jk)是(1,2,Λ,k)的某种排列;*或是“>”（表示一个严格次序或优于），或是“=”（表示相等或无差异）。将 Γ确定的k个方案的排序记为:ρ(Γ)。
现在考虑决策个体 的不同投票行为对方案排序的影响。在Γ中设i投方案ph的票，在其它投票人的投票不变的情况下，让i改变投pl的票就形成一个新的安排Γ`。那么,由Γ变为Γ`时，方案ph的的票就减少,同时，方案pl的的票就增加。决策人的不同投票行为就使方案ph的排序往后移，使方案pl的排序往前移。那么，i的权力就应随决策个体i的不同投票方案ph后移的位序的增加或方案pl前移的位序的增加而增加。为了明确决策个体i的不同投票行为对方案排序的不同影响，需要构造群体偏好序的距离来计算。
对于任意一个n个投票人在 个方案中的安排Γ，方案的排序就确定了。对于给定的k个方案的排序ρ(Γ)，各方案就有一个名次与之对应，最优的方案为第1，无差别或相等的方案名次相同，但有几个方案名次并列，它们就占用了几个名次序。例如，有4个方案:p1、p2、p3和p4，它们之间的排序关系为:p1＞p2=p3＞p4，那么，这4个方案的名次就为:p1为第1，p2和p3为第2，p4为第4而不是第3，原因是p3占用了一个名次。若方案i的名次为xi，可记群体偏好序ρ(Γ)为名次序向量(x1,x2,Λ,xk)。对于任意两个序ρ(Γ)与ρ(Γ`):
ρ(Γ):(x1,x2,Λ,xk)
ρ(Γ`):(x`1,x`2,Λ,x`k)
序ρ(Γ)与ρ(Γ`)代表的群体偏好差异我们用闵可夫斯基距离来衡量，称为群体偏好的排序ρ(Γ)与ρ(Γ`)的距离： （2）
式中q,为距离参数。当q=1时，便为线性距离;当q=2时，便为欧几里得距离;当q→∞时，便为车比雪夫距离。
如果决策个体i，原来投方案ph的票时群体对方案的排序为:ρ:p1*p2*Λ＊pk,决策个体i改变投票投pl后，pl的排序就会提升，设pl在提升的过程中比原来多优于了i个方案，而方案ph的排序往后移使之多劣于j个方案由此产生的群体偏好序为ρ`。ρ`的变化有多种可能，下面我们分不同的情况讨论:
第一，在ρ中pl不劣于ph时，由ρ变为ρ`,就有k-i-j-2个方案的名次不变;方案ph的名次由h变为h-j;有i个方案的名次比原来的名次减少1;方案pl的名次由l变为l+i;有j个方案的名次比原来的名次增加1。那么,d(ρ,ρ`)=[jq+iq+j+i]1/q;
第二，在ρ中ph不劣于pl时，又分两种情况:第一，由ρ变到ρ`后， ph仍不劣于pl，由ρ变为ρ`，就有k-i-j-2个方案的名次不变;方案ph的名次由h变为h-j;有i个方案的名次比原来的名次减少1；方案pl的名次由l变为l+i;有j个方案的名次比原来的名次增加1。那么,d(ρ,ρ`)=[jq+iq+j+i]1/q;第二，由ρ变到ρ`后，ph劣于pl，那么，同时被ph和pl置换的方案数最大时为m，m应满足m＜i且m＜j。于是，由ρ变为ρ`,就有k+m-i-j-2个方案的名次不变;方案ph的名次由h变为h-j;有i-m个方案的名次比原来的名次减少1;方案pl的名次由l变为l+i;有j-m个方案的名次比原来的名次增加1。那么,d(ρ,ρ`)=[jq+iq+j+i-2m]1/q。对于实数q＞1,d(ρ,ρ`)随i或j增加而增加。这说明，当q＞1时，决策个体i的不同投票由ρ变为ρ`时，使ph的排序往后移的位序的增加或使方案pl的排序往前移的位序的增加,ρ与ρ`的距离也增加，i的权力就应增加。这样序ρ到序ρ`的距离，就反映了该种转变的难易程度。即距离越长，则从序ρ变到序ρ`的难度就愈大，能促成这种变化的决策个体的权力就越大。相应地，在计算决策个体权力大小时，就让距离参数q＞1。
三、决策个体权力大小的计算方法
表决权是一种相对概念，既相对于其它决策个体权力大小，也相对于其它决策个体如何投票。为此我们从以下角度来定义决策个体i的权力。
设p={p1,p2,Λ,pk}表示候选人集合,N={1,2,Λ,n}表示决策个体组成的集合，W={w1,w2,Λ,wn}为决策个体的加权数，决策个体按拥有的权数一次只投一个候选人,k维向量Γ=(Γ1,Γ2,ΛΓk)为n个投票人在k个方案中的安排。Γ-i表示n个投票人缺少i时 n-1个投票人在k个方案中的安排，表示在Γ-i的基础上加入投票人i投方案ph时形成的n个投票人在k个方案中的安排。那么，当h≠l时，和确定的方案排序和就可以分别表示在其它投票人的投票不变的情况下，即向量Γ-i不变的情况下，i投ph时的方案排序和投pl时的方案排序。
对于给定的Γ-i，i投方案ph时的方案排序的名次序向量为:(x1,x2,Λ,xk)。i改投方案pl产生的方案排序的名次序向量为:(x`1,x`2,Λ,x`k)。方案排序和的不同用方案排序和的距离定义，为：(3)
距离一般取为欧几里得距离或车比雪夫距离。让h遍历1到k的k个正整数，为了避免重复计算就让l遍历h+1到k的所有正整数，就得到了给定的Γ-i,i的表决权:再让Γ-i遍历所有的n个投票人缺少i时n-1个投票人在k个方案中的安排，就得到了i的最终表决权:（4）其相对表决权为:(5)
当方案数为2时，在投票数是基数的条件下，利用（5）式计算的决策个体的权力大小与用Banzhaf权力指数的计算一致，即在投票数是基数的条件下，（5）式计算方法是Banzhaf权力指数的扩张。这是因为当方案数为2时，在投票数是基数的条件下，决策个体改变投票若改变投票结果， 在Banzhaf权力指数算法中决策个体就是摆动者，计数1；而在上述的计算中，决策个体改变投票若改变投票结果就是将原有的排序向量(1，2）改变为(2，1）或者将(2,1）改变为(1，2），此时距离就为 。计算相对权力大小后，结果是一致的。
四、决策个体权力的计算示例
设决策个体的集合N={甲，乙，丙}，方案集为p={p1,p2,p3}，给甲、乙、丙三个决策个体赋予权数分别为1，2，3。规定每人只投票给一个方案，按方案的得票多寡来确定这三个方案的获奖名次，现决定甲、乙、丙的表决权。
先看丙的表决权。取距离参数q=2。在丙未参加投票时，甲、乙给这三种方案的不同投票组合有9种。
当甲和乙同时投票给p1时，丙也投p1，方案p1就得到6票，p2,p3各得0票,ρ1:p1＞p2=p3就是甲、乙和丙此时认同的群体偏好序,对应的名次序向量便为:（1,2,2）。丙由投p1改投p2，由于丙拥有的加权数为3,ρ2:p1=p2＞p3就是甲、乙和丙此时认同的偏好序，对应的名次序向量为:（1,1,3）。那么d(ρ1,ρ2)=[(1-1)2=(2-1)2+(2-3)2]1/2=;同样，丙由投p1改投 p2，由于丙拥有的加权数为3，ρ3:p3=p1＞p2就是甲、乙和丙认同的偏好序,对应的名次序向量为:（1,3,1）。那么d(ρ1,ρ3)=[(1-1)2=(2-3)2+(2-1)2]1/2=;丙由投p2改投p3，方案排序就是由ρ2变成ρ3，那么d(ρ2,ρ3)=[(1-1)2=(1-3)2+(3-1)2]1/2=。那么,在甲和乙同时投p1时，丙的权力就是以上三个不同距离之和为:5.659。
以上给出了特定情况下的决策个体权力的计算方法。若要计算决策个体的绝对权力，让甲、乙取遍甲、乙所有的不同的9种投票组合，同样能计算出丙在不同情况下的权力大小，将它们加起来，就得到丙的表决权:α丙=65.609。
同理:α甲=22.243；α乙=50.144。从而可计算出甲、乙、丙的相对权力为:（0.161，0.363，0.476）。
再设有甲、乙、丙和丁四个决策人，他们的选票分别为6、5、3和1，总选票数是基数，他们投票对两个方案排序。无论取距离为欧几里得距离还是其他距离，容易计算出甲、乙、丙和丁的相对权力为:1/3、1/3、1/3、0）。用Banzhaf权力指数进行计算结果是一样的。
五、结束语
通过群体排序距离建立基于方案排序的加权投票制的权力测度模型，不单可以用于测度方案排序的加权投票制决策个体的权力大小，还可以用于分析方案排序的加权投票制中权重分配的合理性。此外，应该注意到，该权力测度模型与排序的距离参数 息息相关，例如，在上例中，若取q=2，即排序距离为欧几里得距离时,甲、乙、丙的相对权力为:（0.161，0.363，0.476）;q→∞，即排序距离为车比雪夫距离时，甲、乙、丙的相对权力为:（0.233，0.367，0.400）。这是由于q值越大，距离就越侧重于名次序变化较大的方案所置换另外方案的个数造成的。当方案数为2时，在投票数是基数的条件下，Banzhaf权力指数就与基于方案排序距离权力计算法是一致的，基于方案排序距离的权力计算法可视为在投票数是基数的条件下Banzhaf权力指数的推广。