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图1
如图1所示,在△ABC中,若∠A及它所对边BC的长为定值,则求此三角形面积的最大值.作△ABC的外接圆⊙O,那么在BAC上任取一点D(不与B、C重合),它与BC所构成的三角形都满足BC的长及BC所对的角是定值的要求,由圆的知识可知:所有符合题意的三角形就是上面点D与BC所构成的三角形.要使它的面积最大,只要三角形BC边上的高最长即可,因此作BC的垂直平分线,设它与BAC交于E点,与BC交于F点,于是S△ABC的最大值就是12EF·BC.
例1 (2010年陕西)如图2,在平面直角坐标系中,⊙P与y轴相切于点C,与x轴相交于点A、B.若点P的坐标为(5,3),点M是⊙P上一动点,则△ABM面积的最大值为 .
(A) 64 (B) 48 (C) 32 (D) 24
分析:在⊙P上任取一点与AB构成的三角形,实质上就是已知角及它所对边的长为定值, 求其最大面积的问题.
解:作AB的垂直平分线,设它与ACB交于E点,与AB交于D点,连结PC、AP,则PC⊥y轴,△APD为直角三角形,
因为点P的坐标为(5,3),所以PC=5,PD=3,则AD=4,ED=8,所以AB=8,则△ABM面积的最大值是32,即选(C).
图2图3
例2 (2011年陕西)如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC.若AD=2,BC=4,则梯形ABCD的面积的最大值为 .
分析:由于AD=2,BC=4,则计算梯形ABCD的面积还需梯形的高,而在△BDC中,有∠BDC=90°,BC=4,所以要使梯形ABCD的面积最大,则只要BC边上的高最长即可,因此本题也转化为了已知角及它所对边的长为定值,求其最大面积的问题.
解:因为△BDC中,∠BDC=90°,BC=4,所以BC边上的高最长为
12BC=2,则梯形ABCD的面积的最大值为6.
例3 (2012年陕西)如图4,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M、N.
(1)求证:EM+FN=AB;
(2)求△ABC面积的最大值;
(3)当△ABC面积最大时,在直线MN上找一点P,使得EP+FP的值最小,求出这个最小值(结果可保留根号).
分析:由于AE=AC,∠EAC=90°,过C点作CD⊥MN于D,易证△AEM≌△CAD,则有EM=AD,同理可得:NF=BD,从而有EM+
FN=AB;此题求△ABC的面积,是典型的已知角及它所对的边长为定值,求其面积最大的问题;当△ABC面积最大时,则E点、F点转化为一定直线MN同侧的两定点,与MN上一动点的距离之和为最小值的问题.
图4图5
解:(1)如图4,作CD⊥AB,垂足为D,则∠EAM=∠ACD,∠EMA=∠ADC=90°,
又因为AE=AC,所以△AEM≌△CAD,
所以EM=AD,同理:NF=BD,所以EM+FN=AB.
(2)如图5,作△ABC的外接圆⊙O,则AB的垂直平分线与⊙O的优弧AB的交点就是△ABC面积最大时的C点.所以AC=AB,连结OA、OB,则有∠AOB=90°,所以OD=
12AB=12,则
OC=OA=
22,所以CD=
2+12.则△ABC的最大面积是
2+14.
(3)作点E关于直线MN的对称点G,连结GF,交MN于点P,
则EM=GM,EP=GP,即GF的长为EP+FP的最小值.过G作GH∥MN,交FN的延长线于H,由(1)、(2)知:AM=BN=CD,EM=FN=
12AB,所以GH=
2+2,FH=1,所以GF=
GH2+FH2=
7+42,即EP+FP的最小值为
7+42.
[陕西省南郑县76号学校(723102)]
如图1所示,在△ABC中,若∠A及它所对边BC的长为定值,则求此三角形面积的最大值.作△ABC的外接圆⊙O,那么在BAC上任取一点D(不与B、C重合),它与BC所构成的三角形都满足BC的长及BC所对的角是定值的要求,由圆的知识可知:所有符合题意的三角形就是上面点D与BC所构成的三角形.要使它的面积最大,只要三角形BC边上的高最长即可,因此作BC的垂直平分线,设它与BAC交于E点,与BC交于F点,于是S△ABC的最大值就是12EF·BC.
例1 (2010年陕西)如图2,在平面直角坐标系中,⊙P与y轴相切于点C,与x轴相交于点A、B.若点P的坐标为(5,3),点M是⊙P上一动点,则△ABM面积的最大值为 .
(A) 64 (B) 48 (C) 32 (D) 24
分析:在⊙P上任取一点与AB构成的三角形,实质上就是已知角及它所对边的长为定值, 求其最大面积的问题.
解:作AB的垂直平分线,设它与ACB交于E点,与AB交于D点,连结PC、AP,则PC⊥y轴,△APD为直角三角形,
因为点P的坐标为(5,3),所以PC=5,PD=3,则AD=4,ED=8,所以AB=8,则△ABM面积的最大值是32,即选(C).
图2图3
例2 (2011年陕西)如图3,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC.若AD=2,BC=4,则梯形ABCD的面积的最大值为 .
分析:由于AD=2,BC=4,则计算梯形ABCD的面积还需梯形的高,而在△BDC中,有∠BDC=90°,BC=4,所以要使梯形ABCD的面积最大,则只要BC边上的高最长即可,因此本题也转化为了已知角及它所对边的长为定值,求其最大面积的问题.
解:因为△BDC中,∠BDC=90°,BC=4,所以BC边上的高最长为
12BC=2,则梯形ABCD的面积的最大值为6.
例3 (2012年陕西)如图4,在锐角△ABC中,∠ACB=45°,AB=1.分别以A、B为直角顶点,向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线,垂足为M、N.
(1)求证:EM+FN=AB;
(2)求△ABC面积的最大值;
(3)当△ABC面积最大时,在直线MN上找一点P,使得EP+FP的值最小,求出这个最小值(结果可保留根号).
分析:由于AE=AC,∠EAC=90°,过C点作CD⊥MN于D,易证△AEM≌△CAD,则有EM=AD,同理可得:NF=BD,从而有EM+
FN=AB;此题求△ABC的面积,是典型的已知角及它所对的边长为定值,求其面积最大的问题;当△ABC面积最大时,则E点、F点转化为一定直线MN同侧的两定点,与MN上一动点的距离之和为最小值的问题.
图4图5
解:(1)如图4,作CD⊥AB,垂足为D,则∠EAM=∠ACD,∠EMA=∠ADC=90°,
又因为AE=AC,所以△AEM≌△CAD,
所以EM=AD,同理:NF=BD,所以EM+FN=AB.
(2)如图5,作△ABC的外接圆⊙O,则AB的垂直平分线与⊙O的优弧AB的交点就是△ABC面积最大时的C点.所以AC=AB,连结OA、OB,则有∠AOB=90°,所以OD=
12AB=12,则
OC=OA=
22,所以CD=
2+12.则△ABC的最大面积是
2+14.
(3)作点E关于直线MN的对称点G,连结GF,交MN于点P,
则EM=GM,EP=GP,即GF的长为EP+FP的最小值.过G作GH∥MN,交FN的延长线于H,由(1)、(2)知:AM=BN=CD,EM=FN=
12AB,所以GH=
2+2,FH=1,所以GF=
GH2+FH2=
7+42,即EP+FP的最小值为
7+42.
[陕西省南郑县76号学校(723102)]