图1
　　如图1所示，在△ABC中，若∠A及它所对边BC的长为定值，则求此三角形面积的最大值.作△ABC的外接圆⊙O，那么在BAC上任取一点D（不与B、C重合），它与BC所构成的三角形都满足BC的长及BC所对的角是定值的要求，由圆的知识可知：所有符合题意的三角形就是上面点D与BC所构成的三角形.要使它的面积最大，只要三角形BC边上的高最长即可，因此作BC的垂直平分线，设它与BAC交于E点，与BC交于F点，于是S△ABC的最大值就是12EF·BC.
　　例1 （2010年陕西）如图2，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于点A、B.若点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上一动点，则△ABM面积的最大值为 .
　　（A） 64 （B） 48 （C） 32 （D） 24
　　分析：在⊙P上任取一点与AB构成的三角形，实质上就是已知角及它所对边的长为定值， 求其最大面积的问题.
　　解：作AB的垂直平分线，设它与ACB交于E点，与AB交于D点，连结PC、AP，则PC⊥y轴，△APD为直角三角形，
　　因为点P的坐标为（5，3），所以PC=5，PD=3，则AD=4，ED=8，所以AB=8，则△ABM面积的最大值是32，即选（C）.
　　图2图3
　　例2 （2011年陕西）如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC.若AD=2，BC=4，则梯形ABCD的面积的最大值为 .
　　分析：由于AD=2，BC=4，则计算梯形ABCD的面积还需梯形的高，而在△BDC中，有∠BDC=90°，BC=4，所以要使梯形ABCD的面积最大，则只要BC边上的高最长即可，因此本题也转化为了已知角及它所对边的长为定值，求其最大面积的问题.
　　解：因为△BDC中，∠BDC=90°，BC=4，所以BC边上的高最长为
　　12BC=2，则梯形ABCD的面积的最大值为6.
　　例3 （2012年陕西）如图4，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1.分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M、N.
　　（1）求证：EM+FN=AB；
　　（2）求△ABC面积的最大值；
　　（3）当△ABC面积最大时，在直线MN上找一点P，使得EP+FP的值最小，求出这个最小值（结果可保留根号）.
　　分析：由于AE=AC，∠EAC=90°，过C点作CD⊥MN于D，易证△AEM≌△CAD，则有EM=AD，同理可得：NF=BD，从而有EM+
　　FN=AB；此题求△ABC的面积，是典型的已知角及它所对的边长为定值，求其面积最大的问题；当△ABC面积最大时，则E点、F点转化为一定直线MN同侧的两定点，与MN上一动点的距离之和为最小值的问题.
　　图4图5
　　解：（1）如图4，作CD⊥AB，垂足为D，则∠EAM=∠ACD，∠EMA=∠ADC=90°，
　　又因为AE=AC，所以△AEM≌△CAD，
　　所以EM=AD，同理：NF=BD，所以EM+FN=AB.
　　（2）如图5，作△ABC的外接圆⊙O，则AB的垂直平分线与⊙O的优弧AB的交点就是△ABC面积最大时的C点.所以AC=AB，连结OA、OB，则有∠AOB=90°，所以OD=
　　12AB=12，则
　　OC=OA=
　　22，所以CD=
　　2+12.则△ABC的最大面积是
　　2+14.
　　（3）作点E关于直线MN的对称点G，连结GF，交MN于点P，
　　则EM=GM，EP=GP，即GF的长为EP+FP的最小值.过G作GH∥MN，交FN的延长线于H，由（1）、（2）知：AM=BN=CD，EM=FN=
　　12AB，所以GH=
　　2+2，FH=1，所以GF=
　　GH2+FH2=
　　7+42，即EP+FP的最小值为
　　7+42.
　　[陕西省南郑县76号学校（723102）]