论文部分内容阅读
摘要：本文介绍数学美中的和谐统一美、奇异美、对称美、创造美在初等数学解题中的具体应用。
关键词：和谐美 奇异美 对称美 创造美
数学研究的是现实生活中的数量关系和空间形式，因此客观现实世界为数学提供了极其丰富的内容，使它处处充满着美的情趣、美的感受、美的欣赏、美的创造。在数学解题过程中，一个复杂的问题的简单解法、一个对称的式子、一个优美的图形、一个奇异的念头、及其一些似动非动的感觉，都会使我们沉浸在数学美的海洋中，当你从多个角度、多层次、多方位来审视数学问题时，你会因数学世界的简洁、对称、和谐、奇异而赞叹不已；你会因数学的如此之美而如饮醇珍美酒；你会因此而陶醉在数学美之中，所以数学解题过程中应怎样去感知美、追求美、创造美，把数学的审美原则作为一项重要原则，一旦所解题目中提供的知识信息与审美情感相吻合时，就会激起审美直觉，使我们能迅速地找到解题思路或策略。
数学美常表现为符号、图形、式子的创造美，数式、结构的对称美，条件与结论、数、式、形的和谐统一美，形式、解法的奇异美等等。数学美在发现问题、提出猜想和欣赏解法中有着重要的作用。然而，数学美同样也起到蕴涵解题思路，启发解题灵感的作用。下面我从对称美、创造美、奇异美、和谐统一美在初等数学解题中的运用谈一点浅显的体会。
一、和谐统一美在解题中的应用
“社会与自然总是力图使自己成为一个和谐统一的整体”。数学更是这样，和谐统一美是促使解题成功的重要因素之一。数学解题中，我们可以从条件与结论、数、式、形的和谐统一等方面来探寻解题思路，从而提高解题速度。
例1、已知函数 ,试证明
分析：本题的代数证法是比差或比商法,若根据题目的结构特征,联想它在三角、解析几何、复平面中的含义,可得到多种别具匠心的证法。
<1>由 联想到 得到三角证法。
<2>在平面直角坐标系下， 是点 到原点的距离，转化为三角形两边之差不大于第三边，从而得到几何证法。
<3>面坐标系中，可转化为复数的不等式问题
<4>图像法。 的图像是双曲线 的上支，根据双曲线上两点连线的斜率介于两渐进线斜率之间而得证。
例2、（蝴蝶定理）过⊙O的一条弦AB的中点C任意作两条弦DE和GF连结DG和EF分别交AB于M、N（图 1）。求证： 。
分析：设
各个角假设如图（1）所示。
在ΔCGM中，由正弦定理得：GM=
在ΔCDM中，DM=
由交弦定理有 图（1）
即 =…………………(1)
同理得： =……………… … (2)
(1)÷（2）得 == =1
所以 即
二、对称美在解题中的应用
对称美是形式美的重要标志之一，它给人们一种完美匀称的美感。数学有各种各样的对称，相同的结构特征的数式具有同等地位，处理的手法也必将相同。如果我们自觉地运用“对称”这一数学美的形式特征去解决具体问题，能使解题方法简洁明快。
例3、已知 、 、 互不相等，且 ，求 的值。
分析： 得 两边取倒数得
由字母的轮换对称性易得：，
三式两边相乘即得：
三、奇异美在解题中的应用
奇异美包含了独特、新颖、不同凡响的含义。在数学中，奇异性常是产生新方法、新思想、新理论的起点，给数学的发展带来无限广阔的前景，如数的发展就是一种奇异美的体现(有理数的拓展得到无理数；实数的拓展得到复数；同时实数之后发现“超实数”，复数之后出现“超复数”)所以在解题中寻找奇异美，可充分调动学习积极性，发挥创造能力。
例4、证明：
分析：本题用三角知识求解是常规思路，但运算复杂，若根据该题结构及复数的三角形式，可猜
…… 是方程 的2000个根，由单位根的几何意义知：
即
四、创造美在解题中的应用
数学信息创造是在原有的数学信息，数学知识的基础上让有关的数学信息，数学知识发生碰撞得到的新的数学信息，数学知识的过程，数学信息创造也是一种数学信息增值。我们在数学解题过程中根据题设条件构造数、式、形往往可以使一些困难的题目迎刃而解，从而提高解题速度、达到解题目的，体会数学的创造美。
例5、正数 满足条件，
求证：
分析：本题难度较大，用代数方法一时还无从下手，若能构造几何图形，揭示条件的几何背景——三、四数相等的几何图形是等边三角形、正方形，则得到如下简捷解法：
1,构造三角形如图（2）作边长为k的正三角形PQR分别在各边上取点L，M，N，使得,
则
所以
2,构造正方形如图（3）,由面积关系可知道结论显然成立。
图（2）图（3）
当然，数学美的表现形式多种多样，反映在一道题目中往往可采用多种美学方法。总之，数学中的美无处不在，“那里有数，哪里就有美”，在解题中我们要善于发现美，并运用美。让我们“真正领悟到奇妙的数学美，从而使数学真正成为锻炼思维的体操”。
关键词：和谐美 奇异美 对称美 创造美
数学研究的是现实生活中的数量关系和空间形式，因此客观现实世界为数学提供了极其丰富的内容，使它处处充满着美的情趣、美的感受、美的欣赏、美的创造。在数学解题过程中，一个复杂的问题的简单解法、一个对称的式子、一个优美的图形、一个奇异的念头、及其一些似动非动的感觉，都会使我们沉浸在数学美的海洋中，当你从多个角度、多层次、多方位来审视数学问题时，你会因数学世界的简洁、对称、和谐、奇异而赞叹不已；你会因数学的如此之美而如饮醇珍美酒；你会因此而陶醉在数学美之中，所以数学解题过程中应怎样去感知美、追求美、创造美，把数学的审美原则作为一项重要原则，一旦所解题目中提供的知识信息与审美情感相吻合时，就会激起审美直觉，使我们能迅速地找到解题思路或策略。
数学美常表现为符号、图形、式子的创造美，数式、结构的对称美，条件与结论、数、式、形的和谐统一美，形式、解法的奇异美等等。数学美在发现问题、提出猜想和欣赏解法中有着重要的作用。然而，数学美同样也起到蕴涵解题思路，启发解题灵感的作用。下面我从对称美、创造美、奇异美、和谐统一美在初等数学解题中的运用谈一点浅显的体会。
一、和谐统一美在解题中的应用
“社会与自然总是力图使自己成为一个和谐统一的整体”。数学更是这样，和谐统一美是促使解题成功的重要因素之一。数学解题中，我们可以从条件与结论、数、式、形的和谐统一等方面来探寻解题思路，从而提高解题速度。
例1、已知函数 ,试证明
分析：本题的代数证法是比差或比商法,若根据题目的结构特征,联想它在三角、解析几何、复平面中的含义,可得到多种别具匠心的证法。
<1>由 联想到 得到三角证法。
<2>在平面直角坐标系下， 是点 到原点的距离，转化为三角形两边之差不大于第三边，从而得到几何证法。
<3>面坐标系中，可转化为复数的不等式问题
<4>图像法。 的图像是双曲线 的上支，根据双曲线上两点连线的斜率介于两渐进线斜率之间而得证。
例2、（蝴蝶定理）过⊙O的一条弦AB的中点C任意作两条弦DE和GF连结DG和EF分别交AB于M、N（图 1）。求证： 。
分析：设
各个角假设如图（1）所示。
在ΔCGM中，由正弦定理得：GM=
在ΔCDM中，DM=
由交弦定理有 图（1）
即 =…………………(1)
同理得： =……………… … (2)
(1)÷（2）得 == =1
所以 即
二、对称美在解题中的应用
对称美是形式美的重要标志之一，它给人们一种完美匀称的美感。数学有各种各样的对称，相同的结构特征的数式具有同等地位，处理的手法也必将相同。如果我们自觉地运用“对称”这一数学美的形式特征去解决具体问题，能使解题方法简洁明快。
例3、已知 、 、 互不相等，且 ，求 的值。
分析： 得 两边取倒数得
由字母的轮换对称性易得：，
三式两边相乘即得：
三、奇异美在解题中的应用
奇异美包含了独特、新颖、不同凡响的含义。在数学中，奇异性常是产生新方法、新思想、新理论的起点，给数学的发展带来无限广阔的前景，如数的发展就是一种奇异美的体现(有理数的拓展得到无理数；实数的拓展得到复数；同时实数之后发现“超实数”，复数之后出现“超复数”)所以在解题中寻找奇异美，可充分调动学习积极性，发挥创造能力。
例4、证明：
分析：本题用三角知识求解是常规思路，但运算复杂，若根据该题结构及复数的三角形式，可猜
…… 是方程 的2000个根，由单位根的几何意义知：
即
四、创造美在解题中的应用
数学信息创造是在原有的数学信息，数学知识的基础上让有关的数学信息，数学知识发生碰撞得到的新的数学信息，数学知识的过程，数学信息创造也是一种数学信息增值。我们在数学解题过程中根据题设条件构造数、式、形往往可以使一些困难的题目迎刃而解，从而提高解题速度、达到解题目的，体会数学的创造美。
例5、正数 满足条件，
求证：
分析：本题难度较大，用代数方法一时还无从下手，若能构造几何图形，揭示条件的几何背景——三、四数相等的几何图形是等边三角形、正方形，则得到如下简捷解法：
1,构造三角形如图（2）作边长为k的正三角形PQR分别在各边上取点L，M，N，使得,
则
所以
2,构造正方形如图（3）,由面积关系可知道结论显然成立。
图（2）图（3）
当然，数学美的表现形式多种多样，反映在一道题目中往往可采用多种美学方法。总之，数学中的美无处不在，“那里有数，哪里就有美”，在解题中我们要善于发现美，并运用美。让我们“真正领悟到奇妙的数学美，从而使数学真正成为锻炼思维的体操”。