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在讲解练习时，遇到这样一个题：如图1，直线l是等边△ABC的一条对称轴，在直线l上是否存在点P，使得△ABP、△BCP、△ACP均为等腰三角形?如果存在，请在图中找出来.
分析 这道题出来，学生明显不适应，有些同学虽能找到一两个点但找不全，而有些同学甚至无从下手，不禁问到：“这样的点到底在哪儿?”其实解决这道题只需从轴对称的性质与等腰三角形的相关性质来进行分析与讨论，就能将满足条件的点都找出来.如图2，由于直线l是等边△ABC的一条对称轴，故直线l是△ABC的边BC的垂直平分线，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以只要点P在l上(除中BC点外)△BCP均是等腰三角形，所以在找点P时就无需考虑△BCP了，而对于△ABP与△ACP总是关于直线l对称，所以△ABP≌△ACP，故对于这两个三角形只需考虑其中一个就行，当△ABP是等腰三角形时，△ACP必是等腰三角形.
解 在直线l上存在这样的点P，使得△ABP、△BCP、△ACP均为等腰三角形.
由上面的分析可知：只要点P在l上且△ABP是等腰三角形，则△BCP、△ACP也均为等腰三角形.而对于等腰△ABP现只知其一边AB，故边AB可能是等腰△ABP的底，也可能是它的腰.所以我们分以下情况进行讨论：
⑴当边AB为等腰△ABP的底时，PA=PB，所以点P一定在线段AB的垂直平分线上，又由点P在l上，所以点P一定在线段AB的垂直平分线与直线l的交点处(如图3)，记该点为P1.
⑵当边AB为等腰△ABP的腰时，点A与点B均可能为等腰△ABP顶角的顶点，所以此处又要分类讨论：
①当点A为等腰△ABP顶角的顶点时，PA=AB，故该点可以这样找：以点A为圆心，AB为半径画圆，与直线l有两个交点(如图4)分别记为P2、P3.
②当点B为等腰△ABP顶角的顶点时，PB=AB，故该点可以这样找：以点B为圆心，AB为半径画圆，与直线l也有两个交点，其中一个就是点A另一个记为P4(如图5)，而点A不符合要求故舍去.
综上所述，在直线l共有四个点P1、P2、P3、P4满足要求(如图6).
延伸1 如图7，△ABC是等边三角形，在平面内是否存在点P，使得△ABP、△BCP、△ACP均为等腰三角形?如果存在，请在图中找出来.
通过上述例子的讲解，可以非常容易地找到在等边三角形的三条对称轴上均可以找到四个满足要求的点，是否就有12个这样的点呢?其实不然，其中有三点重合即这3点均为三角形的外心P1，所以在对称轴上总共可以找到10个满足要求的点.那么是否还有除这10个在对称轴上的点外还有其他的点呢?
我们可以这样假设：在对称轴外存在一点P，使得△ABP、△BCP、△ACP均为等腰三角形，若AP、PB、PC三条线段中有两条相等，不妨设PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线(即△ABC的一条对称轴)上，与假设矛盾.则PA、PB、PC必定两两不等，而△ABP、△BCP、△ACP均为等腰三角形，所以不妨设PA=AB，则PA=AC，而PB与PC必有一个等于BC，由于AB=AC=BC，所以PB与PC必有一个等于PA，则说明点P在△ABC的对称轴上，与假设矛盾.可见满足条件的点P必在△ABC的对称轴上.故满足条件的点共有10个(如图7).
图8拓展1 如图8，四边形ABCD为正方形，在平面内是否存在点P，使得△ABP、△BCP、△CDP、△ADP均为等腰三角形?如果存在，请在图中找出来.
分析 通过上述例子的分析讲解中，我们可以先考虑这个正方形的一条对称轴l1(如图8)，此时，l1是线段AD、BC的中垂线，故l1上的任一点P均有AP=DP、BP=CP，所以l1上的任一点P(除l1与AD、BC的交点)均可以，△ADP与△BCP为等腰三角形，而△ABP≌△DCP，所以对于l1上的点P，我们只需考虑它能否使△ABP成为等腰三角形即可.故有以下讨论：
图9解 (如图9)直线l1为正方形ABCD的一条对称轴，在直线l1上存在点P，使得△ABP、△BCP、△CDP、△ADP均为等腰三角形.
由分析可知，只要点P在l1上且使△ABP为等腰三角形，则△BCP、△CDP、△ADP均为等腰三角形.而对于△ABP，现在只知道它的一条边为AB，故边AB可能是等腰△ABP的底，也有可能是它的腰，所以可以这样进行讨论：
⑴当边AB为等腰△ABP的底时，PA=PB，所以点P一定在线段AB的垂直平分线上，又由点P在l上，所以点P一定在线段AB的垂直平分线l2与直线l1的交点处(如图9)记该点为P1.
⑵当边AB为等腰△ABP的腰时，点A与B点均可能为等腰三角形△ABP顶角的顶点，所以此处又要分类讨论：
①当点A为等腰△ABP顶角的顶点时，PA=AB，故该点可以这样找：以点A为圆心，AB为半径画圆，与直线l1有两个交点(如图9)分别记为P2、P3.
②当点B为等腰△ABP顶角的顶点时，PB=AB，故该点可以这样找：以点B为圆心，AB为半径画圆，与直线l1也有两个交点(如图9)分别记为P4、P5.
由于正方形的对称性，其对称轴l1与l2具有平等性，故在直线l2上也能找到5个符合要求的点P1、P6、P7、P8、P9，而两个P1是相互重合的，所以在l1与l2上共可以找到9个符合要求的点(如图9).
除l1与l2上9个点外，是否还有其它满足条件的点吗?我们可以假设：在对称轴l1与l2外存在一点P，使得△ABP、△BCP、△CDP、△ADP均为等腰三角形，则若PA=PB、PB=PC、PC=PD、PD=PA中有一成立，则点P必在对称轴l1或l2上，所以上述等式均不成立，即不妨设PA=AB、PC=CD，此时由于AB=BC=CD=AD，所以PA=PC，即点P在AC的垂直平分线BD上，而在直线BD上满足PA=PC=AB的点P只有B、C两个点，显然B、C两个点不符合要求，所以在平面内只存在9个满足要求点P(如图9)，使得△ABP、△BCP、△CDP、△ADP均为等腰三角形.
通过上述两个例子，大家一定可以总结出一些解决这类问题的方法：
其实这类问题的解决关键就是：对已知等腰三角形一边(不妨设为AB)与其第三个点(不妨设为P)所在直线(不妨设为l)，来确定等腰三角形的第三点P的位置(即确定三角形的形状).而对已知一边的等腰三角形，根据等腰三角形的特殊性可分以下情况讨论：⑴该边(AB)是等腰三角形的底边，则第三点P一定在该边的垂直平分线上，所以一定在AB的垂直平分线与直线l的交点处；
⑵该边AB是等腰三角形的腰，此时又可对该边的两个端点进行讨论：
①当点A为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点P必在以A为圆心，AB为半径的圆上.
②当点B为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点P必在以B为圆心，AB为半径的圆上.
进而再根据点P所在直线l的位置，可以确定点P为圆与直线l的交点.
掌握了这些规律，解决这类问题就易如反掌，没有任何困难了.以上结论供大家参考，并附练习题两道：
1.如图10，AB∥CD，BC=AD，AB=2，CD=10，∠C=∠D=45°.平面内有一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形.
⑴在图中作出点P的位置；
⑵求出点P到CD的距离.
图10 图112.如图11，A、B在方格纸的格点位置上，请再找出一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，这样的格点C共有( )
A.8个 B.9个 C.10个 D.11个
作者简介 邵亚明，男，28岁，本科，学士，中学二级教师. 邹小丹，女，28岁，本科，学士，中学二级教师.
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分析 这道题出来，学生明显不适应，有些同学虽能找到一两个点但找不全，而有些同学甚至无从下手，不禁问到：“这样的点到底在哪儿?”其实解决这道题只需从轴对称的性质与等腰三角形的相关性质来进行分析与讨论，就能将满足条件的点都找出来.如图2，由于直线l是等边△ABC的一条对称轴，故直线l是△ABC的边BC的垂直平分线，而线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以只要点P在l上(除中BC点外)△BCP均是等腰三角形，所以在找点P时就无需考虑△BCP了，而对于△ABP与△ACP总是关于直线l对称，所以△ABP≌△ACP，故对于这两个三角形只需考虑其中一个就行，当△ABP是等腰三角形时，△ACP必是等腰三角形.
解 在直线l上存在这样的点P，使得△ABP、△BCP、△ACP均为等腰三角形.
由上面的分析可知：只要点P在l上且△ABP是等腰三角形，则△BCP、△ACP也均为等腰三角形.而对于等腰△ABP现只知其一边AB，故边AB可能是等腰△ABP的底，也可能是它的腰.所以我们分以下情况进行讨论：
⑴当边AB为等腰△ABP的底时，PA=PB，所以点P一定在线段AB的垂直平分线上，又由点P在l上，所以点P一定在线段AB的垂直平分线与直线l的交点处(如图3)，记该点为P1.
⑵当边AB为等腰△ABP的腰时，点A与点B均可能为等腰△ABP顶角的顶点，所以此处又要分类讨论：
①当点A为等腰△ABP顶角的顶点时，PA=AB，故该点可以这样找：以点A为圆心，AB为半径画圆，与直线l有两个交点(如图4)分别记为P2、P3.
②当点B为等腰△ABP顶角的顶点时，PB=AB，故该点可以这样找：以点B为圆心，AB为半径画圆，与直线l也有两个交点，其中一个就是点A另一个记为P4(如图5)，而点A不符合要求故舍去.
综上所述，在直线l共有四个点P1、P2、P3、P4满足要求(如图6).
延伸1 如图7，△ABC是等边三角形，在平面内是否存在点P，使得△ABP、△BCP、△ACP均为等腰三角形?如果存在，请在图中找出来.
通过上述例子的讲解，可以非常容易地找到在等边三角形的三条对称轴上均可以找到四个满足要求的点，是否就有12个这样的点呢?其实不然，其中有三点重合即这3点均为三角形的外心P1，所以在对称轴上总共可以找到10个满足要求的点.那么是否还有除这10个在对称轴上的点外还有其他的点呢?
我们可以这样假设：在对称轴外存在一点P，使得△ABP、△BCP、△ACP均为等腰三角形，若AP、PB、PC三条线段中有两条相等，不妨设PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线(即△ABC的一条对称轴)上，与假设矛盾.则PA、PB、PC必定两两不等，而△ABP、△BCP、△ACP均为等腰三角形，所以不妨设PA=AB，则PA=AC，而PB与PC必有一个等于BC，由于AB=AC=BC，所以PB与PC必有一个等于PA，则说明点P在△ABC的对称轴上，与假设矛盾.可见满足条件的点P必在△ABC的对称轴上.故满足条件的点共有10个(如图7).
图8拓展1 如图8，四边形ABCD为正方形，在平面内是否存在点P，使得△ABP、△BCP、△CDP、△ADP均为等腰三角形?如果存在，请在图中找出来.
分析 通过上述例子的分析讲解中，我们可以先考虑这个正方形的一条对称轴l1(如图8)，此时，l1是线段AD、BC的中垂线，故l1上的任一点P均有AP=DP、BP=CP，所以l1上的任一点P(除l1与AD、BC的交点)均可以，△ADP与△BCP为等腰三角形，而△ABP≌△DCP，所以对于l1上的点P，我们只需考虑它能否使△ABP成为等腰三角形即可.故有以下讨论：
图9解 (如图9)直线l1为正方形ABCD的一条对称轴，在直线l1上存在点P，使得△ABP、△BCP、△CDP、△ADP均为等腰三角形.
由分析可知，只要点P在l1上且使△ABP为等腰三角形，则△BCP、△CDP、△ADP均为等腰三角形.而对于△ABP，现在只知道它的一条边为AB，故边AB可能是等腰△ABP的底，也有可能是它的腰，所以可以这样进行讨论：
⑴当边AB为等腰△ABP的底时，PA=PB，所以点P一定在线段AB的垂直平分线上，又由点P在l上，所以点P一定在线段AB的垂直平分线l2与直线l1的交点处(如图9)记该点为P1.
⑵当边AB为等腰△ABP的腰时，点A与B点均可能为等腰三角形△ABP顶角的顶点，所以此处又要分类讨论：
①当点A为等腰△ABP顶角的顶点时，PA=AB，故该点可以这样找：以点A为圆心，AB为半径画圆，与直线l1有两个交点(如图9)分别记为P2、P3.
②当点B为等腰△ABP顶角的顶点时，PB=AB，故该点可以这样找：以点B为圆心，AB为半径画圆，与直线l1也有两个交点(如图9)分别记为P4、P5.
由于正方形的对称性，其对称轴l1与l2具有平等性，故在直线l2上也能找到5个符合要求的点P1、P6、P7、P8、P9，而两个P1是相互重合的，所以在l1与l2上共可以找到9个符合要求的点(如图9).
除l1与l2上9个点外，是否还有其它满足条件的点吗?我们可以假设：在对称轴l1与l2外存在一点P，使得△ABP、△BCP、△CDP、△ADP均为等腰三角形，则若PA=PB、PB=PC、PC=PD、PD=PA中有一成立，则点P必在对称轴l1或l2上，所以上述等式均不成立，即不妨设PA=AB、PC=CD，此时由于AB=BC=CD=AD，所以PA=PC，即点P在AC的垂直平分线BD上，而在直线BD上满足PA=PC=AB的点P只有B、C两个点，显然B、C两个点不符合要求，所以在平面内只存在9个满足要求点P(如图9)，使得△ABP、△BCP、△CDP、△ADP均为等腰三角形.
通过上述两个例子，大家一定可以总结出一些解决这类问题的方法：
其实这类问题的解决关键就是：对已知等腰三角形一边(不妨设为AB)与其第三个点(不妨设为P)所在直线(不妨设为l)，来确定等腰三角形的第三点P的位置(即确定三角形的形状).而对已知一边的等腰三角形，根据等腰三角形的特殊性可分以下情况讨论：⑴该边(AB)是等腰三角形的底边，则第三点P一定在该边的垂直平分线上，所以一定在AB的垂直平分线与直线l的交点处；
⑵该边AB是等腰三角形的腰，此时又可对该边的两个端点进行讨论：
①当点A为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点P必在以A为圆心，AB为半径的圆上.
②当点B为等腰三角形顶角的顶点时，则第三个点P必在以B为圆心，AB为半径的圆上.
进而再根据点P所在直线l的位置，可以确定点P为圆与直线l的交点.
掌握了这些规律，解决这类问题就易如反掌，没有任何困难了.以上结论供大家参考，并附练习题两道：
1.如图10，AB∥CD，BC=AD，AB=2，CD=10，∠C=∠D=45°.平面内有一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形.
⑴在图中作出点P的位置；
⑵求出点P到CD的距离.
图10 图112.如图11，A、B在方格纸的格点位置上，请再找出一个格点C，使它们所构成的三角形为轴对称图形，这样的格点C共有( )
A.8个 B.9个 C.10个 D.11个
作者简介 邵亚明，男，28岁，本科，学士，中学二级教师. 邹小丹，女，28岁，本科，学士，中学二级教师.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”