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摘要:在数学教学与复习中,如果能重视对课本中的习题、各地的高考试题及月考试题进行一题多解、一题多变、引申推广,那么常可获得形式新颖、综合性强并具有探索性的问题,进而能有效地训练学生思维的灵活性和深刻性,提高学生的探究能力和创新意识.
关键词:试题;解法探究;引申
《普通高中数学课程标准(实验)》在课程基本理念中,“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”“力求通过多种形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识”. 新课改要求我们改变旧的课堂教学模式,取而代之的是探究式的教学模式. 而我们在平常的教学当中经常要对例题、习题和练习题进行探究. 新教材中的课后习题、各地的高考试题及月考试题,大多具有较强的代表性、可塑性和迁移性,是知识和方法发展的源泉,也是有关考试命题的重要依据. 在数学教学与复习中,如果能重视对课本中的习题、各地的高考试题及月考试题进行一题多解、一题多变、引申推广,那么常可获得形式新颖、综合性强并具有探索性的问题,进而能有效地训练学生思维的灵活性和深刻性,提高学生的探究能力和创新意识. 下面我以嘉兴市2008年高中学科基础测试(理科)数学试题卷一道选择题(第9题)为例,浅谈我对新课改的一点感悟.
问题
如图1,点P(3,4)为圆x2+y2=25上的一点,点E,F为y轴上的两点,△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,直线PE,PF交圆于D,C两点,直线CD交y轴于点A,则sin∠DAO的值为()
A.B.C.D.
解决问题
探究1(特例法):
由题意取E0,,F0,,又点P坐标为(3,4),则kPE=-,kPF=,所以PE 的直线方程为 y=-x+, PF的直线方程为y=x+. 则联立方程x2+y2=25y=-x+得D-,,x2+y2=25,y=-x+得C-,. 于是又可得kCD=,所以sin∠DAO=,故选C.
点评能想到此法的学生比较多,但绝大部分学生由于数据处理与运算能力不够,而解不出正确答案.
探究2(一般法):
设PC的直线方程为y=kx-3+4,则与圆的方程x2+y2=25联立得(1+k2)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0.
则由韦达定理得xC•3=,所以xC=. 用-k代替k得xD=.
则yC=,yD=.
可得kCD=,所以sin∠DAO=,故选C.
点评能想到此法的学生也很多,但绝大部分学生由于相关知识的储备和运算能力不够,而解不出正确答案.
探究3(几何法):
由△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,作PH垂直于y轴交y轴于H并延长交圆O于G点,所以∠DPH=∠CPH. 所以CG的弧等于GD的弧. 所以OG⊥CD.
又得G(-3,4),所以kOG=-,则kCD=,所以sin∠DAO=. 故选C.
点评此题的最佳解答方法是几何法,要有很强的观察能力和对图形的敏感性,充分利用图形的几何性质,往往能收到事半功倍的效果.
探究4:(极限法)
由△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,当∠DPC的度数趋向于零时,可知D与C会无限接近于G点,则CD的斜率就是过G点的圆的切线斜率. G坐标为(-3,4),所以kOG=-,则kCD=,所以sin∠DAO=. 求过G点的圆的切线的斜率,可用导数知识求y′=-,y′x=-3=,所以sin∠DAO=. 故选C.
点评此法如神来之笔,要有很强的观察能力、联想能力与极限的思想. 在数学上有一定的天赋,才能得出如此巧妙的解法,此法技巧性很强,而且是锻炼思维的一道好题.
引申
根据此例,我们还可以推广出其他的结论.
引申1:点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2上的一点,点E,F为y轴上的两点,△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,直线PE,PF交圆于D,C两点,直线CD交y轴于点A,则sin∠DAO=.
引申2:点P(x0,y0)为椭圆+=1上的一点,点E,F为y轴?摇上的两点,△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,直线PE,PF交椭圆于D,C两点,直线CD交y轴于点A,则sin∠DAO=.
引申3:点P(x0,y0)为双曲线-=1上的一点,点E,F为y轴上的两点,△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,直线PE,PF交双曲线于D,C两点,直线CD交y轴于点A,则sin∠DAO=.
以上三个引申的结论限于篇幅,证明从略,读者自行证明.
本道试题的特点是起点低,入口宽,立意高,解法一波三折,大部分学生都有思路,但是能正确计算出结果的人寥寥可数. 从高考命题的角度来看,立足于课本的同时又体现了一定的区分度,而区分度着重体现在一个“活”字,这就要求学生在平时的做题过程中学会总结与反思,更需要教师在高考复习中能解读教材,立足课本,以课本为纲,以纲据本,重视对课本的例题、习题、各地的高考试题及月考试题等进行有效的挖掘与引申,在解决数学问题的时候尽可能从不同角度分析,同时比较各种方法的利弊,使教学更有效,收到“一本万利”的效果.
关键词:试题;解法探究;引申
《普通高中数学课程标准(实验)》在课程基本理念中,“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”“力求通过多种形式的自主学习、探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识”. 新课改要求我们改变旧的课堂教学模式,取而代之的是探究式的教学模式. 而我们在平常的教学当中经常要对例题、习题和练习题进行探究. 新教材中的课后习题、各地的高考试题及月考试题,大多具有较强的代表性、可塑性和迁移性,是知识和方法发展的源泉,也是有关考试命题的重要依据. 在数学教学与复习中,如果能重视对课本中的习题、各地的高考试题及月考试题进行一题多解、一题多变、引申推广,那么常可获得形式新颖、综合性强并具有探索性的问题,进而能有效地训练学生思维的灵活性和深刻性,提高学生的探究能力和创新意识. 下面我以嘉兴市2008年高中学科基础测试(理科)数学试题卷一道选择题(第9题)为例,浅谈我对新课改的一点感悟.
问题
如图1,点P(3,4)为圆x2+y2=25上的一点,点E,F为y轴上的两点,△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,直线PE,PF交圆于D,C两点,直线CD交y轴于点A,则sin∠DAO的值为()
A.B.C.D.
解决问题
探究1(特例法):
由题意取E0,,F0,,又点P坐标为(3,4),则kPE=-,kPF=,所以PE 的直线方程为 y=-x+, PF的直线方程为y=x+. 则联立方程x2+y2=25y=-x+得D-,,x2+y2=25,y=-x+得C-,. 于是又可得kCD=,所以sin∠DAO=,故选C.
点评能想到此法的学生比较多,但绝大部分学生由于数据处理与运算能力不够,而解不出正确答案.
探究2(一般法):
设PC的直线方程为y=kx-3+4,则与圆的方程x2+y2=25联立得(1+k2)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0.
则由韦达定理得xC•3=,所以xC=. 用-k代替k得xD=.
则yC=,yD=.
可得kCD=,所以sin∠DAO=,故选C.
点评能想到此法的学生也很多,但绝大部分学生由于相关知识的储备和运算能力不够,而解不出正确答案.
探究3(几何法):
由△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,作PH垂直于y轴交y轴于H并延长交圆O于G点,所以∠DPH=∠CPH. 所以CG的弧等于GD的弧. 所以OG⊥CD.
又得G(-3,4),所以kOG=-,则kCD=,所以sin∠DAO=. 故选C.
点评此题的最佳解答方法是几何法,要有很强的观察能力和对图形的敏感性,充分利用图形的几何性质,往往能收到事半功倍的效果.
探究4:(极限法)
由△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,当∠DPC的度数趋向于零时,可知D与C会无限接近于G点,则CD的斜率就是过G点的圆的切线斜率. G坐标为(-3,4),所以kOG=-,则kCD=,所以sin∠DAO=. 求过G点的圆的切线的斜率,可用导数知识求y′=-,y′x=-3=,所以sin∠DAO=. 故选C.
点评此法如神来之笔,要有很强的观察能力、联想能力与极限的思想. 在数学上有一定的天赋,才能得出如此巧妙的解法,此法技巧性很强,而且是锻炼思维的一道好题.
引申
根据此例,我们还可以推广出其他的结论.
引申1:点P(x0,y0)为圆x2+y2=r2上的一点,点E,F为y轴上的两点,△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,直线PE,PF交圆于D,C两点,直线CD交y轴于点A,则sin∠DAO=.
引申2:点P(x0,y0)为椭圆+=1上的一点,点E,F为y轴?摇上的两点,△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,直线PE,PF交椭圆于D,C两点,直线CD交y轴于点A,则sin∠DAO=.
引申3:点P(x0,y0)为双曲线-=1上的一点,点E,F为y轴上的两点,△PEF是以点P为顶点的等腰三角形,直线PE,PF交双曲线于D,C两点,直线CD交y轴于点A,则sin∠DAO=.
以上三个引申的结论限于篇幅,证明从略,读者自行证明.
本道试题的特点是起点低,入口宽,立意高,解法一波三折,大部分学生都有思路,但是能正确计算出结果的人寥寥可数. 从高考命题的角度来看,立足于课本的同时又体现了一定的区分度,而区分度着重体现在一个“活”字,这就要求学生在平时的做题过程中学会总结与反思,更需要教师在高考复习中能解读教材,立足课本,以课本为纲,以纲据本,重视对课本的例题、习题、各地的高考试题及月考试题等进行有效的挖掘与引申,在解决数学问题的时候尽可能从不同角度分析,同时比较各种方法的利弊,使教学更有效,收到“一本万利”的效果.