等差数列前n项和公式应用广泛,是中学数学中重要公式之一.下面结合例题谈谈等差数列求和公式的变形及其应用.
　　一、Sn=An2+Bn的应用
　　由Sn=na1+n(n-1)2d,变形得Sn=d2n2+a1-d2n,即Sn=An2+Bn.
　　例1 等差数列{an}中,S10=100,S20=300,求S30.
　　分析 把表达式Sn=An2+Bn看作函数,已知n=10和n=20的函数值,代入即可求出A、B的值;S30就是n=30的函数值.
　　解 由Sn=An2+Bn及S10=100,S20=300,得100A+10B=100,400A+20B=300.∴A=12,B=5.∴S30=900×12+30×5=600.
　　评注 数列是一种特殊的函数,等差数列前n项和的表达式是形如Sn=An2+Bn的形式,而等差数列的通项公式是形如an=pn+q的形式.
　　二、S2n-1=(2n-1)an的应用
　　在等差数列{an}中,an=a1+a2n-12=a1+a2n-12×(2n-1)×12n-1,而S2n-1=(a1+a2n-1)(2n-1)2,因此得S2n-1=(2n-1)an.
　　例2 等差数列{an}中,设前n项和为Sn,且SmSn=m2-2mn2-2n(m≠2,n≠2),求aman的表达式.
　　分析 由SmSn=m2-2mn2-2n,利用S2n-1=(2n-1)an即可求出aman的表达式.
　　解 由S2n-1=(2n-1)an,得an=S2n-12n-1.∴aman=S2m-12m-1S2n-12n-1=(2m-1)[(2m-1)-2]2m-1(2n-1)[(2n-1)-2]2n-1=2m-32n-3.
　　评注 公式S2n-1=(2n-1)an是由an是a1与a2n-1是等差中项推出的.不要死记公式,用时推出即可.
　　三、等差数列{an}有2n-1项,则S奇-S偶=an,S奇S偶=nn-1.
　　利用等差数列的性质:p+l=m+n(p,l,m,n∈N*),则ap+al=am+an.可得到以上两个公式.
　　例3 项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求项数及其中间项.
　　分析 利用上面的公式就可求出项数及其中间项.
　　解 设中间项为an,由奇数项之和为44,偶数项之和为33,得44-33=an,∴an=11;4433=nn-1,∴n=4.∴2n-1=7.因此,此数列有7项,中间项为11.
　　评注 等差数列{an}有2n项时,有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1),S偶-S奇=nd;S奇S偶=anan+1.
　　四、设等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,则ambn=2n-12m-1•S2m-1T2n-1.
　　因为{an}和{bn}都是等差数列,而ambn=(a1+a2m-1)2(b1+b2n-1)2=2n-12m-1•(2m-1)(a1+a2m-1)2(2n-1)(b1+b2n-1)2,所以ambn=2n-12m-1•S2m-1T2n-1.这是两个等差数列中的项与和之间的关系.
　　例4 设等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和S/n,且SnS/n=4n+19n+3,求它们第20项之比a20b20.
　　分析 这类题,实际上是求和问题的逆问题.显然是以上公式中m=n时的情况,代入求解即可.
　　解 a20b20=S39S/39=4×39+19×39+3=157354.
　　评注 利用公式解题时,一定要注意an的下标与Sk的下标的关系,一般情况下,它们不是相等的.
　　五、正确理解Sn、S2n及S3n的关系
　　一般地,在等差数列中,Sn、S2n及S3n不成等差数列.由等差数列的性质可知:A=a1+a2+…+an,B=an+1+an+2+…+a2n,C=a2n+1+a2n+2+…+a3n成等差数列.
　　例5 等差数列{an}的前m项之和为30,前2m项之和为100,则它的前3m项之和为 .
　　分析 把条件适当变形,利用上面得到的等差数列的性质求解.
　　解 设等差数列{an}的前m项之和为Sm,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.∴Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm),即S3m=3(S2m-Sm)=210.
　　评注 解此题容易犯的错误是,误认为Sm、S2m及S3m成等差数列,求得S3m=170.
　　六、整体求和法
　　有些求和问题,可以通过整体的适当变形求解.
　　例6 设数列{an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+a7+…+a97=50,则a3+a6+a9+…+a99= .
　　分析 观察条件和a3+a6+a9+…+a99的关系,利用等差数列通项公式,把a3+a6+a9+…+a99用公差和a1+a4+a7+…+a97=50表示,即可求解.
　　解 a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+a7+…+a97)+66d=50+66×(-2)=-82.
　　评注 整体求和,思路清晰、过程简捷.
　　以上求和公式都是由等差数列的通项公式、前n项和公式及等差数列的性质,经过适当的变形得到的.由以上例题可知,根据条件,把公式适当变换形式后再使用,可简化解题过程,使问题易于解决.
　　(作者:秦振,山东省枣庄市第九中学)