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【摘要】幂函数是新课标教材新增的内容,新教材将幂函数研究的对象限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质. 教材重在从图上看出图像的对称性,着重从对称的角度应用这一性质,也就是说,对奇偶性的要求较低,习题不需要过难,要循序渐进。在深入研究幂函数知识基础上,反复对教材进行钻研,对自己的学生了解,认真辅导的基础上设计我设计了教学过程。通过对幂函数的研究,培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯,也培养了学生勇于探索,不断创新的思维品质
【关键词】幂函数;优化设计;类比研究
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089(2012)09-0277-02
幂函数是新课标教材新增的内容,而相比起人教版的旧教材,幂函数的地位和难度都有所下降,新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后,并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.教材从整数指数的幂函数自然引入,给出定义后,也只是推广到其他整数指数的情况,但是要指出x为其他实数时仍有意义,留待课外解决,对于函数的奇偶性,虽然给出了一般定义,但是应该知道,教材重在从图上看出图像的对称性,着重从对称的角度应用这一性质,也就是说,对奇偶性的要求较低,习题不需要过难,要循序渐进。
课外部分要求学生自己动手画函数的图像,通过它们的图像,让学生自己归纳出它们的性质。但要给学生留有充足的时间去完成。培养学生独立解决问题的能力和自信心。
在反复研究了教材对幂函数的内容知识设计意图的基础上,我又认真制定了幂函数知识的教学目标和教学重点难点 。通过对幂函数的研究,理解、掌握幂函数的图象与性质,并掌握研究幂函数的一般方法;
渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法,提高归纳与概括的能力;
培养积极思考,通过自主探索获取新知的学习习惯
本节课的重点内容是幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法.
对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点.
为了让幂函数的知识讲解有更好的完美教学效果,我设计制定了这样的教学过程。
1创设情境,建构概念
1.1定义的给出: 本节课教学任务较重,难度较大,但鉴于课前对相关知识的切入点进行充分准备,因此我采取了由指数函数直接引入幂函数定义的方法.指出对于关系式:ab=N,当底数a为常数,b作为自变量,N为b的函数时,就构成了指数函数;当指数b为常数,底数a为自变量,N为a的函数时,构成的函数就称为幂函数.
由此得到幂函数的定义:
形如y=xa(αIR)的函数称为幂函数.(目前我们只研究指数为有理数的情况)
1.2概念的辨析: 在给出了幂函数的定义后,请学生举出了大量幂函数的例子,目的在于对幂函数进行辨析,学生举的例子中含有已学过的函数y=x0,y=x,y=x2,因此通过这个环节使学生感知到幂函数并不是完全陌生的,学习幂函数是为了对幂函数进行更一般的研究.
2 联想类比,自主探究
2.1自主探究: 在这个环节中引导学生自由选择不同的幂函数,利用图形计算器通过画图,探究它们的图象与性质.并将自己的探究结果记录在表格中,在研究过程中,学生会选择幂指数不同的多个幂函数进行研究,分别记录它们的图象与性质,并在探究过程中对幂指数的作用进行了初步的探索.
2.2图象展示:在这一环节中我请学生将他们研究的幂函数从形态上看不同的图象分别画到黑板上,在学生的相互补充、我及时纠错和引导下,最终得到了十种不同形态的图象.由我补充了学生遗漏的y=x的图象,最后黑板上一共展示了十一种不同形态的幂函数的图象.
3 深入探究,归纳性质
3.1对图象的进一步探究: 在得到了十一种不同形态的图象后,我指出,幂函数的情况比指数函数和对数函数的情况复杂得多,继而提出问题:我们该如何去把握幂函数的图象呢?
学生提出根据幂指数的不同范围分α>1,0<α<1,-1<α<0,α<-1几类,进行讨论.在这个环节中针对学生出现的几个问题,我进行了适当引导,并且在这个过程中有效地突破了本节课的教学难点:
(1)学生回答当α>1时,幂函数的图象具有相同的共性.
此时我引导学生观察图象,说明α>1时的几个幂函数的图象形态并不相同.进一步引导学生发现实际上它们在第一象限图象的形态是一样的.从而提出实际上由于函数的奇偶性,我们只需考虑幂函数在第一象限内的图象规律即可,这样就大大简化了讨论的过程,这也是本节课的教学难点.
(2)在共同讨论-1<α<0和α<-1时幂函数的图象时,发现它们在第一象限图象从形态上来看没有差异,指出对幂函数图象的讨论只需分α>1,0<α<1,α<0,α=1,α=0这几种情况即可.
3.2对幂函数在第一象限图象的归纳: 在这一环节中我引导学生将幂函数在第一象限不同形态的图象画出来,并请一名学生将图象画到黑板上,通过对学生所画图象的纠错与分析和学生共同归纳出幂函数在第一象限的图象与性质:
(1)图象必过(1,1)点.
(2)α>1时,过(0,0)点,且y随x的增大,函数图象向y轴方向延伸,图象是下凸的.在第一象限是增函数.
(3)0<α<1时,随x的增大,函数图象向x轴方向延伸,函数图象是上凸的.在第一象限是增函数.
(4)α<0时,随x的增大,函数图象与x轴、y轴无限接近,但永不相交.在第一象限是减函数.
(5)α=1和α=0的情况.(略)
4练习与巩固
4.1画出y=x74的草图: 在这一环节中,我首先选择了学生在课堂初始时举出的一个幂函数:y=x74作为例子,引导学生画出函数的图象.
通过此例使学生进一步熟悉一般幂函数的研究方法与过程:先将分数指数幂化为根式,确定函数定义域,再根据解析式确定函数奇偶性,最后根据第一象限函数的图象特征确定函数图象.
4.2寻找一个幂函数使其图象类似于y=x2的图象: 学生回答y=x4,y=x10,教师引导学生寻找幂指数为分数的情形,学生给出了y=x43这个函数.通过画y=x43的图象,进一步巩固了研究幂函数的一般方法,以及幂函数图象的特征. 通过这一环节,进一步明确了研究幂函数的一般方法与过程,同时也是本节课教学效果的一个反馈.
5小结
这节课我们研究了幂函数的性质,同学们通过对一些特殊的幂函数的研究,又一次体验了研究一类函数的一般方法.掌握了幂函数在第一象限图象的特征,在研究过程中我们应当认识到,重要的不是去记忆某个具体幂函数的图象与性质,而应当注意掌握研究幂函数的一般方法和过程.
6布置作业
这节课通过对一些具体的幂函数的研究归纳概括出了幂函数的图象随幂指数变化的情况.对于学生,这一结论应从理论上加以完善,因此布置了以下作业:
当α为有理数qp(p,q为整数,且qp为既约分数)时,对幂函数的图象与性质进行一般性的讨论.
以上是我在深入研究幂函数知识基础上,反复对教材进行钻研,对自己的学生了解,认真辅导的基础上设计的比较科学的教学过程。在教学过程中,我类比研究一般函数、指数函数、对数函数的教学过程与方法,来研究幂函数的图象和性质.同学们课堂上能积极主动参与获得性质的过程,并学会处理未知问题的方法。通过对幂函数的研究,让学生体会研究一个新函数要经历的过程,学会用类比分析方法找到规律,培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性和批判性,同时让学生懂得数学知识的形成与应用过程,培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯,也培养了学生勇于探索,不断创新的思维品质
【关键词】幂函数;优化设计;类比研究
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089(2012)09-0277-02
幂函数是新课标教材新增的内容,而相比起人教版的旧教材,幂函数的地位和难度都有所下降,新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后,并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.教材从整数指数的幂函数自然引入,给出定义后,也只是推广到其他整数指数的情况,但是要指出x为其他实数时仍有意义,留待课外解决,对于函数的奇偶性,虽然给出了一般定义,但是应该知道,教材重在从图上看出图像的对称性,着重从对称的角度应用这一性质,也就是说,对奇偶性的要求较低,习题不需要过难,要循序渐进。
课外部分要求学生自己动手画函数的图像,通过它们的图像,让学生自己归纳出它们的性质。但要给学生留有充足的时间去完成。培养学生独立解决问题的能力和自信心。
在反复研究了教材对幂函数的内容知识设计意图的基础上,我又认真制定了幂函数知识的教学目标和教学重点难点 。通过对幂函数的研究,理解、掌握幂函数的图象与性质,并掌握研究幂函数的一般方法;
渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法,提高归纳与概括的能力;
培养积极思考,通过自主探索获取新知的学习习惯
本节课的重点内容是幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法.
对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点.
为了让幂函数的知识讲解有更好的完美教学效果,我设计制定了这样的教学过程。
1创设情境,建构概念
1.1定义的给出: 本节课教学任务较重,难度较大,但鉴于课前对相关知识的切入点进行充分准备,因此我采取了由指数函数直接引入幂函数定义的方法.指出对于关系式:ab=N,当底数a为常数,b作为自变量,N为b的函数时,就构成了指数函数;当指数b为常数,底数a为自变量,N为a的函数时,构成的函数就称为幂函数.
由此得到幂函数的定义:
形如y=xa(αIR)的函数称为幂函数.(目前我们只研究指数为有理数的情况)
1.2概念的辨析: 在给出了幂函数的定义后,请学生举出了大量幂函数的例子,目的在于对幂函数进行辨析,学生举的例子中含有已学过的函数y=x0,y=x,y=x2,因此通过这个环节使学生感知到幂函数并不是完全陌生的,学习幂函数是为了对幂函数进行更一般的研究.
2 联想类比,自主探究
2.1自主探究: 在这个环节中引导学生自由选择不同的幂函数,利用图形计算器通过画图,探究它们的图象与性质.并将自己的探究结果记录在表格中,在研究过程中,学生会选择幂指数不同的多个幂函数进行研究,分别记录它们的图象与性质,并在探究过程中对幂指数的作用进行了初步的探索.
2.2图象展示:在这一环节中我请学生将他们研究的幂函数从形态上看不同的图象分别画到黑板上,在学生的相互补充、我及时纠错和引导下,最终得到了十种不同形态的图象.由我补充了学生遗漏的y=x的图象,最后黑板上一共展示了十一种不同形态的幂函数的图象.
3 深入探究,归纳性质
3.1对图象的进一步探究: 在得到了十一种不同形态的图象后,我指出,幂函数的情况比指数函数和对数函数的情况复杂得多,继而提出问题:我们该如何去把握幂函数的图象呢?
学生提出根据幂指数的不同范围分α>1,0<α<1,-1<α<0,α<-1几类,进行讨论.在这个环节中针对学生出现的几个问题,我进行了适当引导,并且在这个过程中有效地突破了本节课的教学难点:
(1)学生回答当α>1时,幂函数的图象具有相同的共性.
此时我引导学生观察图象,说明α>1时的几个幂函数的图象形态并不相同.进一步引导学生发现实际上它们在第一象限图象的形态是一样的.从而提出实际上由于函数的奇偶性,我们只需考虑幂函数在第一象限内的图象规律即可,这样就大大简化了讨论的过程,这也是本节课的教学难点.
(2)在共同讨论-1<α<0和α<-1时幂函数的图象时,发现它们在第一象限图象从形态上来看没有差异,指出对幂函数图象的讨论只需分α>1,0<α<1,α<0,α=1,α=0这几种情况即可.
3.2对幂函数在第一象限图象的归纳: 在这一环节中我引导学生将幂函数在第一象限不同形态的图象画出来,并请一名学生将图象画到黑板上,通过对学生所画图象的纠错与分析和学生共同归纳出幂函数在第一象限的图象与性质:
(1)图象必过(1,1)点.
(2)α>1时,过(0,0)点,且y随x的增大,函数图象向y轴方向延伸,图象是下凸的.在第一象限是增函数.
(3)0<α<1时,随x的增大,函数图象向x轴方向延伸,函数图象是上凸的.在第一象限是增函数.
(4)α<0时,随x的增大,函数图象与x轴、y轴无限接近,但永不相交.在第一象限是减函数.
(5)α=1和α=0的情况.(略)
4练习与巩固
4.1画出y=x74的草图: 在这一环节中,我首先选择了学生在课堂初始时举出的一个幂函数:y=x74作为例子,引导学生画出函数的图象.
通过此例使学生进一步熟悉一般幂函数的研究方法与过程:先将分数指数幂化为根式,确定函数定义域,再根据解析式确定函数奇偶性,最后根据第一象限函数的图象特征确定函数图象.
4.2寻找一个幂函数使其图象类似于y=x2的图象: 学生回答y=x4,y=x10,教师引导学生寻找幂指数为分数的情形,学生给出了y=x43这个函数.通过画y=x43的图象,进一步巩固了研究幂函数的一般方法,以及幂函数图象的特征. 通过这一环节,进一步明确了研究幂函数的一般方法与过程,同时也是本节课教学效果的一个反馈.
5小结
这节课我们研究了幂函数的性质,同学们通过对一些特殊的幂函数的研究,又一次体验了研究一类函数的一般方法.掌握了幂函数在第一象限图象的特征,在研究过程中我们应当认识到,重要的不是去记忆某个具体幂函数的图象与性质,而应当注意掌握研究幂函数的一般方法和过程.
6布置作业
这节课通过对一些具体的幂函数的研究归纳概括出了幂函数的图象随幂指数变化的情况.对于学生,这一结论应从理论上加以完善,因此布置了以下作业:
当α为有理数qp(p,q为整数,且qp为既约分数)时,对幂函数的图象与性质进行一般性的讨论.
以上是我在深入研究幂函数知识基础上,反复对教材进行钻研,对自己的学生了解,认真辅导的基础上设计的比较科学的教学过程。在教学过程中,我类比研究一般函数、指数函数、对数函数的教学过程与方法,来研究幂函数的图象和性质.同学们课堂上能积极主动参与获得性质的过程,并学会处理未知问题的方法。通过对幂函数的研究,让学生体会研究一个新函数要经历的过程,学会用类比分析方法找到规律,培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性和批判性,同时让学生懂得数学知识的形成与应用过程,培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯,也培养了学生勇于探索,不断创新的思维品质