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为方便理解四元数,首先针对两个相互平行或垂直的向量,定义它们之间的一种不可交换乘积,命名为格拉斯曼乘积,同时约定这一不可交换积满足分配律。由此,进一步给出任意两个向量之间格拉斯曼积的具体表达式,并引出四元数的概念和运算法则。从理论上证明,任意四元数都可表示为两个向量之间的格拉斯曼积,并可以利用单位四元数的正交变换来表示向量旋转的欧拉公式。