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【摘要】 解题教学是数学教学的组成部分，也是实现课程目标的重要手段. 本文结合长期的教学实践，从精选例题的发散，变换解题思路；拓宽学生的思路和视角，沟通知识的纵横联系，逐步培养学生全面地、立体地、严密地、完整地分析问题的良好思维品质和习惯，培养逻辑思维能力和问题解决能力.
【关键词】 解题教学；发散思维；逻辑思维能力
解题是初中数学教学的一个重要内容，有些学生往往对一个问题能找到一种解法而满足，其实这样容易封闭学生的思维，不利于学生数学素质的培养和能力的提高. 如果教师在教学中能重视学生发散思维能力的培养，引导学生变换角度探寻解题思路，就能有效提高学生的思维品质和解题能力，现试对几个教学案例加以剖析.
例１ 已知△ＡＢＣ，试证明∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.
证法一 延长ＢＣ，过点Ｃ作ＣＥ∥AB． 如图１，则∠1 ＝ ∠Ａ，∠２ ＝∠Ｂ，由于∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠ＡＣＢ ＝ １８０°，等量代换可得：∠Ａ ＋ ∠Ｂ + ∠ＡＣＢ ＝ １８０°．
证法二 如图１，延长ＢＣ，过点Ｃ作∠1 ＝ ∠Ａ，则ＣＥ∥ＡＢ（以下证明过程略）.
证法三 如图（２），过点Ａ作ＥＦ∥ＢＣ，则∠1 ＝ ∠Ｂ，∠２ ＝ ∠Ｃ，∵∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＝ １８０°，等量代换得：∠Ｂ ＋ ∠ＢＡＣ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.
证法四 如图３，作射线ＡＤ∥ＢＣ，则∠Ｂ = ∠１，∵∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°，等量代换后得：∠Ｂ ＋ ∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.
证法五 如图４，在ＢＣ上取广点Ｄ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＡＣ，由平行线性质可得： ∠1 ＝ ∠Ｃ，∠２ ＝ ∠Ｂ，∠３ ＝ ∠Ａ，∵∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°，等量代换得： ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.
证法六 如图５，在△ＡＢＣ内取一点Ｏ，过点Ｏ分别 作ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ三边的平行线，容易证得： ∠１ ＝ ∠Ｃ，∠２ ＝ ∠Ｂ，∠３ ＝ ∠Ａ，由于∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＝ １８０°，等量代换可得：∠Ａ + ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.
证法七 如图６在△ＡＢＣ内取一点０，连接ＢＯ， ＡＯ，ＣＯ，由三角形外角性质可得，∠７ ＝ ∠１ ＋ ∠２，∠８ ＝ ∠３ ＋ ∠４，∠９ ＝ ∠５ ＋ ∠６，∵∠７ ＋ ∠８ ＋ ∠９ ＝ １８０°，等量代换可得：∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ + ∠５ ＋ ∠６ ＝ １８０°，即∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０Ｂ.
例２ 推导证明：ｎ边形的内角和为（ｎ － ２）·１８０°.
本例可先从求四、五、六边形等较为简单具体的多边形的内角和为切入点，然后探求总结求ｎ边形内角和的方法规律，如下三图所示.
容易知道，从多边形的一个顶点出发，可引（ｎ － ３）条对角线，这（ｎ － ３）条对角线把ｎ边形分成（ｎ － ２）个三角形，由三角形内角和性质可得ｎ边形内角和为（ｎ － ２）·１８０°，仍以四、五、六边形为例，对多边形的不同三角剖分进行探究，除了上面这种常用分法外，以下两种不同分法也经常被采用，如图甲，在五边形ＡＢＣＤＥ的ＢＣ边上取一点Ｆ，连接ＦＡ，ＦＥ，ＦＤ，可得到４个剖分三角形，４个三角形的内角和为１８０° × ４ ＝ ７２０°，然后减去∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＝ １８０°，得五边形的内角和为７２０° － １８０° ＝ ５４０° ＝ （５ － ２） × １８０°，又如图乙，在六边形ＡＢＣＤＥＦ内取一点Ｏ，连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，ＯＥ，ＯＦ，可得六个剖分三角形，其内角和为１８０° × ６ ＝ １０８０°，然后减去∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠５ ＋ ∠６ ＝ ３６０°，得六边形的内角和为１０８０° － ３６０° ＝ ７２０° ＝ （６ － ２） × １８０°，继续试验观察可以发现，多边形的边数每增加一边，剖分三角形的个数就增加一个，这样就用多种不同方法推导和验证了多边形的内角和为（ｎ － ２）·１８０°.
例３ 如图所示，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ ＝ ｘ°，∠Ｄ ＝ ｙ°，∠ＢＥＤ与∠Ｂ、∠Ｄ的关系. 直接求∠ＢＥＤ与∠Ｂ，∠Ｄ的关系有难度，如果能添适当的辅助线就能化难为易，这样如何添辅助 线就成为解题的关键，下面是经交流合作归纳出来的几种不同的添法.
如图 １，过点Ｅ作ＭＮ∥ＡＢ，则∠1 ＝ ∠Ｂ ＝ ｘ°，∠２ ＝ ∠Ｄ ＝ ｙ°，易证得∠ＢＥＤ ＝ ∠１ ＋ ∠２ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ ＝ （ｘ ＋ ｙ）°. 或者作ＥＭ∥ＡＢ，得∠Ｂ ＋ ∠３ ＝ １８０°，∠Ｄ ＋ ∠４ ＝ １８０°，再利用∠ＢＥＤ ＝ ３６０° － （∠３ ＋ ∠４） ＝ ３６０° － （１８０° － ∠Ｂ ＋ １８０° － ∠Ｄ） ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ ＝ （ｘ ＋ ｙ）°. 求得关系.
如图２，延长ＢＥ交ＣＤ于Ｆ，∵ＡＢ∥ＣＤ，则有∠ＢＦＤ ＝ ∠Ｂ ＝ ｘ°，又∵∠ＢＥＤ ＝ ∠ＢＦＤ ＋ ∠Ｄ，等量代换可得∠ＢＥＤ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ ＝ （ｘ + ｙ）°，如图延长ＤＥ交ＡＢ于Ｍ，同理可证.
如图３，连接ＢＤ，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠１ ＋ ∠２ ＋ x ＋ ｙ ＝ １８０° ，即∠１ ＋ ∠２ ＝ １８０° － （ｘ ＋ ｙ）°，而在△ＢＥＤ中，∠ＢＥＤ ＝ １８０° － （∠１ ＋ ∠２），∴∠ＢＥＤ ＝ １８０° －［１８０° － （ｘ ＋ ｙ）°］ ＝ （ｘ ＋ ｙ）°.关系证得.
如图４，过点Ｅ任作ＭＮ 分别交ＡＢ，ＣＤ于Ｍ，Ｎ，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠１ ＋ ∠２ ＝ １８０°，又∵∠３ ＝ １８０° － ∠1 － ｘ°，∠４ ＝ １８０° －∠２ － ｙ°，∠３ ＋ ∠４ ＝ （１８０° － ∠１ － ｘ°） ＋ （１８０° － ∠２ － ｙ°） ＝ ３６０° － （∠１ ＋ ∠２） － （ｘ ＋ ｙ）° ＝ １８０° － （ｘ ＋ ｙ）°而∠ＢＥＤ ＝ １８０° － （∠３ ＋ ∠４），等量代换得：∠ＢＥＤ ＝ １８０° － ［１８０° － （ｘ ＋ ｙ）°］ ＝（ｘ ＋ ｙ）°. 关系证得.
例４ 已知五边形ABCDE，求∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ的度数.
求不规则图形的角度和，关键是把不规则图形转化成规则图形来求解，以下是几种不同的转化思路.
解法一 如图１，利用三角形的外角性质.
∵∠1 ＝ ∠Ｃ ＋ ∠Ｅ，∠２ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ，∠Ａ ＋ ∠ｌ ＋ ∠２ ＝ １８０°.
∴∠Ａ ＋ ∠1 ＋ ∠２ ＝ ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ １８０°.
解法二 如图２，利用三角形内角和性质.
∵∠ＢＯＥ ＝ ∠ＣＯＤ，∴∠Ｂ ＋ ∠Ｅ ＝ ∠1 ＋ ∠２.
∵∠Ａ ＋ ∠ＡＣＥ ＋ ∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠ＡＤＢ ＝ １８０°，等量代换得：∠Ａ ＋ ∠ＡＣＥ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｅ ＋ ∠ＡＤＢ ＝ １８０°，即∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ １８０°.
解法三 如图３，利用邻补角关系.
连接ＡＦ交ＢＥ于点Ｏ，∵∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ、∠Ｄ、∠Ｅ分别是△ＡＦＣ、△ＡＦＤ、△ＢＯＦ、△ＥＯＦ的内角，这四个三角形的内角和为１８０° × ４ ＝ ７２０°，减去∠ＡＦＣ ＋ ∠ＯＦＥ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠ＢＦＯ ＋ ∠ＢＯＦ ＋ ∠ＥＯＦ ＝ １８０° × ３ ＝ ５４０°后，剩下的度数就是∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ ７２０° － ５４０° ＝ １８０°.
解法四 如图４，利用多边形内角和关系.
依次连接Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ得五边形ＡＢＣＤＥ，易知其内角和为５４０°，五边形FＧＨＭＮ的内角和也为５４０°，图中和∠ＡＦＢ与∠ＣＦＥ一样的对顶角有五组，因此，∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０ ＝ １８０° × ５ － ５４０° ＝ ３６０°，由五边形ＡＢＣＤＥ的内角和减去∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０的度数，就得∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ ５４０° － ３６０° ＝ １８０°.
解法五 如图５，利用三角形和多边形综合知识的关系，因为∠１、∠２、∠３、∠９、∠1０都是五边形ＦＧＨＭＮ的外角，所以∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０ ＝ ３６０° × ２ ＝ ７２０°.又因为∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＋ （∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０） ＝ １８０° × ５ ＝ ９００°，所以容易可得：∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ ９００° － （∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０） ＝ ９００° － ７２０° ＝ １８０°.
例５ 如图所示，由边长为１的小正方形组成的图形，Ａ，Ｂ两点的位置如图所示，请确定Ｃ点的位置，使Ｓ△ＡＢＣ ＝ １，此题有些学生往往因能找到如Ｃ1，Ｃ２这样的明显点而满足，不再作深入的探究，致使答案不完整. 只要教学中能重视发散思维的培养，像Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５，Ｃ６这些满足条件的点也是不难找到的，因此符合要求的点有６个，即Ｃ１（２，４），Ｃ２（４，２），Ｃ３ （３，１），Ｃ４ （１，３），Ｃ５（０，２），Ｃ６（２，０）.
例６ 在一平面上画出四个点，如果把这四个点彼此连接连成一个图形，那么这个图形会有几个三角形？
此例的关键是要搞清四点的几种不同的位置关系，让学生充分发散思维，交流合作，探索总结，就会得到四点共线，三点共线，两点共线几种不同情况，画出下面的对应图形. 结合图形，容易得到能构成的三角形有０个、３个、４个、８个的结论.
例７ 用三根火柴棒 （不能折断）可以搭成一个等边三角形，那么用六根火柴棒 （不能折断）能搭成几个同样大小的等边三角形.
受思维定式的影响，许多学生都在同一平面内思考和解决问题，如下所示的几种不同的等边三角形都能搭成.
如果能重视发散思维的培养，有些学生就会把空间立体的情况再考虑进去，就会用六根火柴棒搭成如右图所示的图形，这样就能得到用六根火柴棒能搭成一个、两个、四个同样大小的等边三角形的完整答案.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】 解题教学；发散思维；逻辑思维能力
解题是初中数学教学的一个重要内容，有些学生往往对一个问题能找到一种解法而满足，其实这样容易封闭学生的思维，不利于学生数学素质的培养和能力的提高. 如果教师在教学中能重视学生发散思维能力的培养，引导学生变换角度探寻解题思路，就能有效提高学生的思维品质和解题能力，现试对几个教学案例加以剖析.
例１ 已知△ＡＢＣ，试证明∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.
证法一 延长ＢＣ，过点Ｃ作ＣＥ∥AB． 如图１，则∠1 ＝ ∠Ａ，∠２ ＝∠Ｂ，由于∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠ＡＣＢ ＝ １８０°，等量代换可得：∠Ａ ＋ ∠Ｂ + ∠ＡＣＢ ＝ １８０°．
证法二 如图１，延长ＢＣ，过点Ｃ作∠1 ＝ ∠Ａ，则ＣＥ∥ＡＢ（以下证明过程略）.
证法三 如图（２），过点Ａ作ＥＦ∥ＢＣ，则∠1 ＝ ∠Ｂ，∠２ ＝ ∠Ｃ，∵∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＝ １８０°，等量代换得：∠Ｂ ＋ ∠ＢＡＣ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.
证法四 如图３，作射线ＡＤ∥ＢＣ，则∠Ｂ = ∠１，∵∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°，等量代换后得：∠Ｂ ＋ ∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.
证法五 如图４，在ＢＣ上取广点Ｄ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＡＣ，由平行线性质可得： ∠1 ＝ ∠Ｃ，∠２ ＝ ∠Ｂ，∠３ ＝ ∠Ａ，∵∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°，等量代换得： ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.
证法六 如图５，在△ＡＢＣ内取一点Ｏ，过点Ｏ分别 作ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ三边的平行线，容易证得： ∠１ ＝ ∠Ｃ，∠２ ＝ ∠Ｂ，∠３ ＝ ∠Ａ，由于∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＝ １８０°，等量代换可得：∠Ａ + ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°.
证法七 如图６在△ＡＢＣ内取一点０，连接ＢＯ， ＡＯ，ＣＯ，由三角形外角性质可得，∠７ ＝ ∠１ ＋ ∠２，∠８ ＝ ∠３ ＋ ∠４，∠９ ＝ ∠５ ＋ ∠６，∵∠７ ＋ ∠８ ＋ ∠９ ＝ １８０°，等量代换可得：∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ + ∠５ ＋ ∠６ ＝ １８０°，即∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０Ｂ.
例２ 推导证明：ｎ边形的内角和为（ｎ － ２）·１８０°.
本例可先从求四、五、六边形等较为简单具体的多边形的内角和为切入点，然后探求总结求ｎ边形内角和的方法规律，如下三图所示.
容易知道，从多边形的一个顶点出发，可引（ｎ － ３）条对角线，这（ｎ － ３）条对角线把ｎ边形分成（ｎ － ２）个三角形，由三角形内角和性质可得ｎ边形内角和为（ｎ － ２）·１８０°，仍以四、五、六边形为例，对多边形的不同三角剖分进行探究，除了上面这种常用分法外，以下两种不同分法也经常被采用，如图甲，在五边形ＡＢＣＤＥ的ＢＣ边上取一点Ｆ，连接ＦＡ，ＦＥ，ＦＤ，可得到４个剖分三角形，４个三角形的内角和为１８０° × ４ ＝ ７２０°，然后减去∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＝ １８０°，得五边形的内角和为７２０° － １８０° ＝ ５４０° ＝ （５ － ２） × １８０°，又如图乙，在六边形ＡＢＣＤＥＦ内取一点Ｏ，连接ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，ＯＥ，ＯＦ，可得六个剖分三角形，其内角和为１８０° × ６ ＝ １０８０°，然后减去∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ ∠４ ＋ ∠５ ＋ ∠６ ＝ ３６０°，得六边形的内角和为１０８０° － ３６０° ＝ ７２０° ＝ （６ － ２） × １８０°，继续试验观察可以发现，多边形的边数每增加一边，剖分三角形的个数就增加一个，这样就用多种不同方法推导和验证了多边形的内角和为（ｎ － ２）·１８０°.
例３ 如图所示，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ ＝ ｘ°，∠Ｄ ＝ ｙ°，∠ＢＥＤ与∠Ｂ、∠Ｄ的关系. 直接求∠ＢＥＤ与∠Ｂ，∠Ｄ的关系有难度，如果能添适当的辅助线就能化难为易，这样如何添辅助 线就成为解题的关键，下面是经交流合作归纳出来的几种不同的添法.
如图 １，过点Ｅ作ＭＮ∥ＡＢ，则∠1 ＝ ∠Ｂ ＝ ｘ°，∠２ ＝ ∠Ｄ ＝ ｙ°，易证得∠ＢＥＤ ＝ ∠１ ＋ ∠２ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ ＝ （ｘ ＋ ｙ）°. 或者作ＥＭ∥ＡＢ，得∠Ｂ ＋ ∠３ ＝ １８０°，∠Ｄ ＋ ∠４ ＝ １８０°，再利用∠ＢＥＤ ＝ ３６０° － （∠３ ＋ ∠４） ＝ ３６０° － （１８０° － ∠Ｂ ＋ １８０° － ∠Ｄ） ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ ＝ （ｘ ＋ ｙ）°. 求得关系.
如图２，延长ＢＥ交ＣＤ于Ｆ，∵ＡＢ∥ＣＤ，则有∠ＢＦＤ ＝ ∠Ｂ ＝ ｘ°，又∵∠ＢＥＤ ＝ ∠ＢＦＤ ＋ ∠Ｄ，等量代换可得∠ＢＥＤ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ ＝ （ｘ + ｙ）°，如图延长ＤＥ交ＡＢ于Ｍ，同理可证.
如图３，连接ＢＤ，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠１ ＋ ∠２ ＋ x ＋ ｙ ＝ １８０° ，即∠１ ＋ ∠２ ＝ １８０° － （ｘ ＋ ｙ）°，而在△ＢＥＤ中，∠ＢＥＤ ＝ １８０° － （∠１ ＋ ∠２），∴∠ＢＥＤ ＝ １８０° －［１８０° － （ｘ ＋ ｙ）°］ ＝ （ｘ ＋ ｙ）°.关系证得.
如图４，过点Ｅ任作ＭＮ 分别交ＡＢ，ＣＤ于Ｍ，Ｎ，∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠１ ＋ ∠２ ＝ １８０°，又∵∠３ ＝ １８０° － ∠1 － ｘ°，∠４ ＝ １８０° －∠２ － ｙ°，∠３ ＋ ∠４ ＝ （１８０° － ∠１ － ｘ°） ＋ （１８０° － ∠２ － ｙ°） ＝ ３６０° － （∠１ ＋ ∠２） － （ｘ ＋ ｙ）° ＝ １８０° － （ｘ ＋ ｙ）°而∠ＢＥＤ ＝ １８０° － （∠３ ＋ ∠４），等量代换得：∠ＢＥＤ ＝ １８０° － ［１８０° － （ｘ ＋ ｙ）°］ ＝（ｘ ＋ ｙ）°. 关系证得.
例４ 已知五边形ABCDE，求∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ的度数.
求不规则图形的角度和，关键是把不规则图形转化成规则图形来求解，以下是几种不同的转化思路.
解法一 如图１，利用三角形的外角性质.
∵∠1 ＝ ∠Ｃ ＋ ∠Ｅ，∠２ ＝ ∠Ｂ ＋ ∠Ｄ，∠Ａ ＋ ∠ｌ ＋ ∠２ ＝ １８０°.
∴∠Ａ ＋ ∠1 ＋ ∠２ ＝ ∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ １８０°.
解法二 如图２，利用三角形内角和性质.
∵∠ＢＯＥ ＝ ∠ＣＯＤ，∴∠Ｂ ＋ ∠Ｅ ＝ ∠1 ＋ ∠２.
∵∠Ａ ＋ ∠ＡＣＥ ＋ ∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠ＡＤＢ ＝ １８０°，等量代换得：∠Ａ ＋ ∠ＡＣＥ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｅ ＋ ∠ＡＤＢ ＝ １８０°，即∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ １８０°.
解法三 如图３，利用邻补角关系.
连接ＡＦ交ＢＥ于点Ｏ，∵∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ、∠Ｄ、∠Ｅ分别是△ＡＦＣ、△ＡＦＤ、△ＢＯＦ、△ＥＯＦ的内角，这四个三角形的内角和为１８０° × ４ ＝ ７２０°，减去∠ＡＦＣ ＋ ∠ＯＦＥ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠ＢＦＯ ＋ ∠ＢＯＦ ＋ ∠ＥＯＦ ＝ １８０° × ３ ＝ ５４０°后，剩下的度数就是∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ ７２０° － ５４０° ＝ １８０°.
解法四 如图４，利用多边形内角和关系.
依次连接Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ得五边形ＡＢＣＤＥ，易知其内角和为５４０°，五边形FＧＨＭＮ的内角和也为５４０°，图中和∠ＡＦＢ与∠ＣＦＥ一样的对顶角有五组，因此，∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０ ＝ １８０° × ５ － ５４０° ＝ ３６０°，由五边形ＡＢＣＤＥ的内角和减去∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０的度数，就得∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ ５４０° － ３６０° ＝ １８０°.
解法五 如图５，利用三角形和多边形综合知识的关系，因为∠１、∠２、∠３、∠９、∠1０都是五边形ＦＧＨＭＮ的外角，所以∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０ ＝ ３６０° × ２ ＝ ７２０°.又因为∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＋ （∠1 ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０） ＝ １８０° × ５ ＝ ９００°，所以容易可得：∠Ａ ＋ ∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠Ｄ ＋ ∠Ｅ ＝ ９００° － （∠１ ＋ ∠２ ＋ ∠３ ＋ … ＋ ∠９ ＋ ∠１０） ＝ ９００° － ７２０° ＝ １８０°.
例５ 如图所示，由边长为１的小正方形组成的图形，Ａ，Ｂ两点的位置如图所示，请确定Ｃ点的位置，使Ｓ△ＡＢＣ ＝ １，此题有些学生往往因能找到如Ｃ1，Ｃ２这样的明显点而满足，不再作深入的探究，致使答案不完整. 只要教学中能重视发散思维的培养，像Ｃ３，Ｃ４，Ｃ５，Ｃ６这些满足条件的点也是不难找到的，因此符合要求的点有６个，即Ｃ１（２，４），Ｃ２（４，２），Ｃ３ （３，１），Ｃ４ （１，３），Ｃ５（０，２），Ｃ６（２，０）.
例６ 在一平面上画出四个点，如果把这四个点彼此连接连成一个图形，那么这个图形会有几个三角形？
此例的关键是要搞清四点的几种不同的位置关系，让学生充分发散思维，交流合作，探索总结，就会得到四点共线，三点共线，两点共线几种不同情况，画出下面的对应图形. 结合图形，容易得到能构成的三角形有０个、３个、４个、８个的结论.
例７ 用三根火柴棒 （不能折断）可以搭成一个等边三角形，那么用六根火柴棒 （不能折断）能搭成几个同样大小的等边三角形.
受思维定式的影响，许多学生都在同一平面内思考和解决问题，如下所示的几种不同的等边三角形都能搭成.
如果能重视发散思维的培养，有些学生就会把空间立体的情况再考虑进去，就会用六根火柴棒搭成如右图所示的图形，这样就能得到用六根火柴棒能搭成一个、两个、四个同样大小的等边三角形的完整答案.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文