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什么是数形结合？数学家华罗庚有过非常精辟的诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”在教学实践中，教师正是从“形”对于“数”的直观性、“数”对“形”的深刻性这两个方面着手，发挥了数形结合的作用。由此，数形结合既是研究探索数学的一种思想方法，又是帮助学生理解解释数学的一种教学方式与教学手段。下面笔者以数与形的结合为抓手，进行“倍数与因数”的教学探索，并作一些教学思考。
一、借“形” 引出概念
师课件出示：运动会上两个班的同学分别排出下面两种队形，算一算各有多少人？
生：图1中的人数为9×4=36（人）；图2中的人数为5×7=35（人）。
师：在9×4=36中，以前把9和4取名为乘数（生说），36取名为积。在排队中，9是每行的数量，4是行数，36是总数。
师：根据今天学习的课题——“倍数与因数”，请同学们猜一猜在图1的算式中什么是什么的因数，什么是什么的倍数。
生：4和9是36的因数，36是4和9的倍数。
板书：
师：请同学们结合图2的每行数量、行数和总数，说说在5×7=35中，什么是什么的因数，什么是什么的倍数？
生：每行的数量5与行数7是总数35的因数；总数35既是每行的数量5的倍数，也是行数7的倍数。
【分析】“倍数与因数”是研究两个非0自然数的倍比关系，即为非0自然数的乘数与积的倍比关系，可见它与学生熟悉的乘法算式有关。根据排队问题，列出乘法算式，说说什么是什么的因数，什么是什么的倍数，很自然地把旧知与新知紧密地联结在一起，既使学生的新知学习步入“随风潜入夜，润物细无声”的境地，又为学生理解“倍数”中的各数是“非0自然数”这一规定埋下伏笔。
二、用“形”抽象概念
师：倍数与因数这两个概念非常重要，是学好分数运算的基础，望同学们务必与它们成为好朋友。
师：根据前面的方法，并结合图3，请同学们写出2～3个不同的算式，并在点子图中圈一圈，然后与同桌说一说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。（先同桌交流，再指定1～2名学生向全班汇报同桌的作品）
学生汇报后，师课件出示：下面是淘气所写的算式和所圈的图（见图4），你们觉得对吗？如果是对的，请说说在每个式子中哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。（学生判断后交流）
师：这样的例子多吗？（多）谁能用一个算式表达所有同学所举的例子？
生：用字母式表示。
师：这个建议非常好！如果用a，b，c表示3个数，那么表示因数、倍数的乘法算式应怎样表达？
生：a×b=c（a，b，c都是大于1的整数），c是a和b的倍数，a和b是c的因数。（板书）
【分析】上述环节先设计了开放的“圈一圈、写一写与说一说”，旨在丰富学生倍数与因数的现实模型，即在点子图中每行的数量与行数是总数的因数，总数是每行的数量与行数的倍数。再出示淘气的作品：有行数是1的，有行数大于每行数的。这样，既提供了相同的例子让学生感悟，又弥补了学生容易疏忽的特例——行数1。在此基础上，让学生抽象概括出字母表达式就水到渠成了。
不难看出，第一部分的情境以及上述环节起始的“圈一圈、写一写与说一说”，只是从情境、图形、语言和操作层面上让学生理解概念，最后抽象出字母表达式是在符号表征的层面上让学生更好地理解概念。那么，用这么多的表征来理解概念有没有必要呢？
美国学者莱许等曾借助如下的图形（见图5）来说明数学概念的发展过程：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表达方式，如图像、书面语言、现实情境等同样也发挥了十分重要的作用。”这一论述为概念教学指明了方向：在教学中不应唯一地强调其中的任一方面，而应更加重视对于各个方面的联结，并帮助学生逐步学会能够依据情况与需要在这些成分之间灵活地作出转换。
三、“形” 助理解规定
师：以前学习的“倍”，可以用除法算式c÷a=b（abc≠0）表示，这里a，b，c可以是整数、小数，也可以是分数，只要不为0。今天学习的“倍数”可以用乘法算式a×b=c表示，这里的a，b，c可以取什么数呢？
生：可以是任何数。
生：不对！这里的a，b，c必须是非0自然数。
师：说说你的理由。
生：我们是在点子图中学习倍数与因数的，每行的数量、行数与总数都是非0自然数。（全班学生都认为这位同学的观点是正确的）
师：“倍数”与“倍”有什么相同点和不同点呢？
通过讨论，学生认为相同点是：都研究两个数的倍比关系；不同点是：“倍”中的“数”可以是整数、小数，也可以是分数，只要不为0；而“倍数” 中的“数”一定是要非0自然数。
【分析】 “倍数”是什么呢？要使学生清楚这一问题，仅有范例是不够的，还需要与相近的概念“倍”进行对比分析。通过对比分析，使学生明晰它们之间的联系——都是表示两个数之间的倍比关系，都可以用乘法或除法算式来表示；并且使学生明白研究对象的取值范围的不同点——“倍”中的数可以是整数、小数，也可以是分数，只要不为0，而“倍数”的数仅指非0自然数。通过对比分析后的追问，促进学生在点子图中积累的内隐经验向外显转化，即借助直观有意义地理解和接受了“0除外的自然数”这一规定。
四、依“形”建构模型
师：点子图帮助我们理解了倍数与因数的概念，找一个数的倍数同样可以借助点子图。请同学们先想想在点子图中找一个数的倍数，实际上是先确定什么，再找什么？
生：先确定一行的数量，再找每行的数量与行的数量的积。
师：下面请同学们根据刚才这位同学的想法，在点子图上圈一圈，并在圈出的点子图右边写上相应的7的倍数。
学生独立操作后交流。学生一边汇报，课件一边呈现，最后形成图6。
师：通过刚才的圈一圈、找一找，你认为找一个非0自然数a的倍数方法是怎样的？
生：a×1，a×2，a×3……
小结：依次找a的1倍、2倍、3倍……
师：根据自然数的主要特征：个数无数个，最小的数是0，没有最大的数，相继两个自然数的差是1。想一想，一个数的倍数有什么特征呢？
小结：一个数的倍数有无数个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，相继两个倍数的差就是它本身。
【分析】笔者让学生通过“在点子图上圈一圈，并在圈出的点子图右边写上相应的7的倍数”的活动，一方面，使他们感悟到找一个数的倍数的方法，其实就是圈点子图，每行的个数就是这个数，每行个数与行数的积就是这个数的倍数，即找一个数的倍数的方法——从这个数的1倍开始找起，接着找它的2倍、3倍……另一方面，便于发现一个数的倍数的特点：一个数的最小倍数必定是它本身乘1，即它本身，没有最大的倍数，相邻两个倍数的相差值是它的本身，一个数的倍数的个数是无限的。
（浙江衢州市衢江区教研室 324000
浙江省衢州市衢江区廿里小学 324013）
一、借“形” 引出概念
师课件出示：运动会上两个班的同学分别排出下面两种队形，算一算各有多少人？
生：图1中的人数为9×4=36（人）；图2中的人数为5×7=35（人）。
师：在9×4=36中，以前把9和4取名为乘数（生说），36取名为积。在排队中，9是每行的数量，4是行数，36是总数。
师：根据今天学习的课题——“倍数与因数”，请同学们猜一猜在图1的算式中什么是什么的因数，什么是什么的倍数。
生：4和9是36的因数，36是4和9的倍数。
板书：
师：请同学们结合图2的每行数量、行数和总数，说说在5×7=35中，什么是什么的因数，什么是什么的倍数？
生：每行的数量5与行数7是总数35的因数；总数35既是每行的数量5的倍数，也是行数7的倍数。
【分析】“倍数与因数”是研究两个非0自然数的倍比关系，即为非0自然数的乘数与积的倍比关系，可见它与学生熟悉的乘法算式有关。根据排队问题，列出乘法算式，说说什么是什么的因数，什么是什么的倍数，很自然地把旧知与新知紧密地联结在一起，既使学生的新知学习步入“随风潜入夜，润物细无声”的境地，又为学生理解“倍数”中的各数是“非0自然数”这一规定埋下伏笔。
二、用“形”抽象概念
师：倍数与因数这两个概念非常重要，是学好分数运算的基础，望同学们务必与它们成为好朋友。
师：根据前面的方法，并结合图3，请同学们写出2～3个不同的算式，并在点子图中圈一圈，然后与同桌说一说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。（先同桌交流，再指定1～2名学生向全班汇报同桌的作品）
学生汇报后，师课件出示：下面是淘气所写的算式和所圈的图（见图4），你们觉得对吗？如果是对的，请说说在每个式子中哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。（学生判断后交流）
师：这样的例子多吗？（多）谁能用一个算式表达所有同学所举的例子？
生：用字母式表示。
师：这个建议非常好！如果用a，b，c表示3个数，那么表示因数、倍数的乘法算式应怎样表达？
生：a×b=c（a，b，c都是大于1的整数），c是a和b的倍数，a和b是c的因数。（板书）
【分析】上述环节先设计了开放的“圈一圈、写一写与说一说”，旨在丰富学生倍数与因数的现实模型，即在点子图中每行的数量与行数是总数的因数，总数是每行的数量与行数的倍数。再出示淘气的作品：有行数是1的，有行数大于每行数的。这样，既提供了相同的例子让学生感悟，又弥补了学生容易疏忽的特例——行数1。在此基础上，让学生抽象概括出字母表达式就水到渠成了。
不难看出，第一部分的情境以及上述环节起始的“圈一圈、写一写与说一说”，只是从情境、图形、语言和操作层面上让学生理解概念，最后抽象出字母表达式是在符号表征的层面上让学生更好地理解概念。那么，用这么多的表征来理解概念有没有必要呢？
美国学者莱许等曾借助如下的图形（见图5）来说明数学概念的发展过程：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表达方式，如图像、书面语言、现实情境等同样也发挥了十分重要的作用。”这一论述为概念教学指明了方向：在教学中不应唯一地强调其中的任一方面，而应更加重视对于各个方面的联结，并帮助学生逐步学会能够依据情况与需要在这些成分之间灵活地作出转换。
三、“形” 助理解规定
师：以前学习的“倍”，可以用除法算式c÷a=b（abc≠0）表示，这里a，b，c可以是整数、小数，也可以是分数，只要不为0。今天学习的“倍数”可以用乘法算式a×b=c表示，这里的a，b，c可以取什么数呢？
生：可以是任何数。
生：不对！这里的a，b，c必须是非0自然数。
师：说说你的理由。
生：我们是在点子图中学习倍数与因数的，每行的数量、行数与总数都是非0自然数。（全班学生都认为这位同学的观点是正确的）
师：“倍数”与“倍”有什么相同点和不同点呢？
通过讨论，学生认为相同点是：都研究两个数的倍比关系；不同点是：“倍”中的“数”可以是整数、小数，也可以是分数，只要不为0；而“倍数” 中的“数”一定是要非0自然数。
【分析】 “倍数”是什么呢？要使学生清楚这一问题，仅有范例是不够的，还需要与相近的概念“倍”进行对比分析。通过对比分析，使学生明晰它们之间的联系——都是表示两个数之间的倍比关系，都可以用乘法或除法算式来表示；并且使学生明白研究对象的取值范围的不同点——“倍”中的数可以是整数、小数，也可以是分数，只要不为0，而“倍数”的数仅指非0自然数。通过对比分析后的追问，促进学生在点子图中积累的内隐经验向外显转化，即借助直观有意义地理解和接受了“0除外的自然数”这一规定。
四、依“形”建构模型
师：点子图帮助我们理解了倍数与因数的概念，找一个数的倍数同样可以借助点子图。请同学们先想想在点子图中找一个数的倍数，实际上是先确定什么，再找什么？
生：先确定一行的数量，再找每行的数量与行的数量的积。
师：下面请同学们根据刚才这位同学的想法，在点子图上圈一圈，并在圈出的点子图右边写上相应的7的倍数。
学生独立操作后交流。学生一边汇报，课件一边呈现，最后形成图6。
师：通过刚才的圈一圈、找一找，你认为找一个非0自然数a的倍数方法是怎样的？
生：a×1，a×2，a×3……
小结：依次找a的1倍、2倍、3倍……
师：根据自然数的主要特征：个数无数个，最小的数是0，没有最大的数，相继两个自然数的差是1。想一想，一个数的倍数有什么特征呢？
小结：一个数的倍数有无数个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，相继两个倍数的差就是它本身。
【分析】笔者让学生通过“在点子图上圈一圈，并在圈出的点子图右边写上相应的7的倍数”的活动，一方面，使他们感悟到找一个数的倍数的方法，其实就是圈点子图，每行的个数就是这个数，每行个数与行数的积就是这个数的倍数，即找一个数的倍数的方法——从这个数的1倍开始找起，接着找它的2倍、3倍……另一方面，便于发现一个数的倍数的特点：一个数的最小倍数必定是它本身乘1，即它本身，没有最大的倍数，相邻两个倍数的相差值是它的本身，一个数的倍数的个数是无限的。
（浙江衢州市衢江区教研室 324000
浙江省衢州市衢江区廿里小学 324013）