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数学思想是数学的灵魂,是数学思维的有力支撑,是把知识转化为能力的重要桥梁,《普通高中数学课程标准(实验)》指出:高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一。数学教学要运用多种教学方法和手段,引导学生积极主动地学习,掌握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方法。
高中数学学习的常见形态是解题,其目的不仅在于巩固与掌握知识,更重要的是通过锻炼思维,提高学生的数学能力,在解题中渗透数学思想,把数学思想有机地运用到解题中,是数学教师立足学科特点、践行新课程理念的有效途径。为此,笔者选择了高中阶段常见的三大数学思想,结合实例探讨其在解题中的运用和体现。
一、转化思想和运用原则
转化思想是一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想方法,转化通常可以在“等”与“不等”、“正”与“反”、“特殊”与“一般”、“整体”与“局部”、“高维”与“低维”等之间进行,运用转化思想的原则是:(1)从“未知”向“已知”转化,把陌生的问题转化为熟悉的问题;(2)“复杂”向“简单”转化,借助逻辑推演形成明晰的条理关系;(3)“一般”与“特殊”或“由此及彼”的转化,这鲜明地体现在新课程教科书的《推理与证明》一章中;(4)尽量是等价转化。
例1 如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC1的交点为N,求PC和NC的长。
【解析】 要求P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线,应该把侧面A1C和侧面B1C放到同一个平面中解决。如图,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P运动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线。设PC=x,则P1C=x,在Rt△MAP1中,由勾股定理得(3+x)2+22=29,求得x=2,故PC=2,NC=。这样通过把空间问题转化为平面问题,使问题的难度大大降低。
二、数形结合思想和体现方式
通过数形结合,一方面可使图形性质通过数量计算准确地表示出来,这就是“以数助形”;另一方面可使抽象的数量关系,通过图形形象直观地表现出来,这就是“以形助数”。解题的通常表现为:(1)“形”中觅“数”:根据形的直观性来寻找数量关系,将几何问题代数化;(2)“数”中构“形”:根据代数问题具有的几何特征,进而发现数与形之间的关系,从而使代数问题几何化。
例2 若方程=x-m有两个不等的根,则实数m的取值范围是。
【解析】 由题意知直线y=x-m与曲线y=有两个不同的交点(如左图),y=x-m表示倾斜角为45°、纵截距为-m的直线,而y则表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆在x轴上方的部分(包括圆与x轴的交点),显然,欲使直线与半圆有两个不同交点,只需直线的纵截距-m∈[1,),即m∈(-,-1]。
三、分类讨论思想和实施策略
分类思想经常出现在历年高考的压轴题中,新课程高考卷也不例外。它是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学对象区分为不同种类的一种数学思想,实施分类讨论的主要策略是:(1)对所讨论的全域分类要“既不重复,也不遗漏”;(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行;(3)对多级讨论,应逐级进行,不能越级,解题时若能注意分类讨论的思想,则可以使问题的分析和处理显得思想清晰、灵活简便,通过化整为零,将之逐个击破,从而顺利解决问题。
例3 解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0。
【解析】首先要对二次项系数a是否为0分类;对于a≠0的情形,又需再次分a>0或a<0讨论,因为这两种情形下,不等式解集形式是不同的,之后将会遇到1与谁大谁小的问题,因而又需做一次分类讨论。故此题需作三级分类。
1. 当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以x>1。
2. 当a≠0时,原不等式化为a(x-1)(x-)<0。
(1)若a<0时,原不等式化为(x-1)(x-)>0,因为<0,所以<1,所以不等式的解为x<或x>1。
(2)若a>0时,原不等式化为(x-1)(x-)<0。
①当a>1时,1,不等式解为x<1;
②当a=1时,=1,不等式解为x∈?椎;
③01,不等式解为1 综上所述,得原不等式的解集为:
当a<1时,解集为{x|x<或x>1｝;
当a=0时,解集为{x|x>1｝;
当0 当a=1时,解集为?椎;
当a>1时,解集为{x| 事实上,中学数学教材中所蕴涵的数学思想还很多。教师必须注意到:学生数学思想的形成是一个潜移默化的过程,需要多次的理解和应用,这就要求我们“在教材分析上体现数学的思想的特殊性”,“在教学设计上注意展现手法的多样性”,“在教学组织上提倡学习方式的多元化”,“在教学理念上遵循思想教学的层次性”。此外,教学思想之间并不是彼此孤立,而是互相渗透、互相促进的,一个问题的解决,常常不只是靠一种数学思想的作用,有时必须借助于几种数学思想地共同指导。因此,我们在教学中还必须有意识地抛出一些相关知识结合较为复杂的问题,让学生灵活地应用其所学的教学思想来解决,以培养其分析问题和解决问题的能力。
高中数学学习的常见形态是解题,其目的不仅在于巩固与掌握知识,更重要的是通过锻炼思维,提高学生的数学能力,在解题中渗透数学思想,把数学思想有机地运用到解题中,是数学教师立足学科特点、践行新课程理念的有效途径。为此,笔者选择了高中阶段常见的三大数学思想,结合实例探讨其在解题中的运用和体现。
一、转化思想和运用原则
转化思想是一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想方法,转化通常可以在“等”与“不等”、“正”与“反”、“特殊”与“一般”、“整体”与“局部”、“高维”与“低维”等之间进行,运用转化思想的原则是:(1)从“未知”向“已知”转化,把陌生的问题转化为熟悉的问题;(2)“复杂”向“简单”转化,借助逻辑推演形成明晰的条理关系;(3)“一般”与“特殊”或“由此及彼”的转化,这鲜明地体现在新课程教科书的《推理与证明》一章中;(4)尽量是等价转化。
例1 如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC1的交点为N,求PC和NC的长。
【解析】 要求P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线,应该把侧面A1C和侧面B1C放到同一个平面中解决。如图,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点P运动到点P1的位置,连接MP1,则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线。设PC=x,则P1C=x,在Rt△MAP1中,由勾股定理得(3+x)2+22=29,求得x=2,故PC=2,NC=。这样通过把空间问题转化为平面问题,使问题的难度大大降低。
二、数形结合思想和体现方式
通过数形结合,一方面可使图形性质通过数量计算准确地表示出来,这就是“以数助形”;另一方面可使抽象的数量关系,通过图形形象直观地表现出来,这就是“以形助数”。解题的通常表现为:(1)“形”中觅“数”:根据形的直观性来寻找数量关系,将几何问题代数化;(2)“数”中构“形”:根据代数问题具有的几何特征,进而发现数与形之间的关系,从而使代数问题几何化。
例2 若方程=x-m有两个不等的根,则实数m的取值范围是。
【解析】 由题意知直线y=x-m与曲线y=有两个不同的交点(如左图),y=x-m表示倾斜角为45°、纵截距为-m的直线,而y则表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆在x轴上方的部分(包括圆与x轴的交点),显然,欲使直线与半圆有两个不同交点,只需直线的纵截距-m∈[1,),即m∈(-,-1]。
三、分类讨论思想和实施策略
分类思想经常出现在历年高考的压轴题中,新课程高考卷也不例外。它是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学对象区分为不同种类的一种数学思想,实施分类讨论的主要策略是:(1)对所讨论的全域分类要“既不重复,也不遗漏”;(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行;(3)对多级讨论,应逐级进行,不能越级,解题时若能注意分类讨论的思想,则可以使问题的分析和处理显得思想清晰、灵活简便,通过化整为零,将之逐个击破,从而顺利解决问题。
例3 解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0。
【解析】首先要对二次项系数a是否为0分类;对于a≠0的情形,又需再次分a>0或a<0讨论,因为这两种情形下,不等式解集形式是不同的,之后将会遇到1与谁大谁小的问题,因而又需做一次分类讨论。故此题需作三级分类。
1. 当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以x>1。
2. 当a≠0时,原不等式化为a(x-1)(x-)<0。
(1)若a<0时,原不等式化为(x-1)(x-)>0,因为<0,所以<1,所以不等式的解为x<或x>1。
(2)若a>0时,原不等式化为(x-1)(x-)<0。
①当a>1时,1,不等式解为x<1;
②当a=1时,=1,不等式解为x∈?椎;
③0
当a<1时,解集为{x|x<或x>1｝;
当a=0时,解集为{x|x>1｝;
当0
当a>1时,解集为{x|