摘 要：在初一数学中，代数领域开始接触大量公式、法则，着重培养学生的数感、运算能力和符号意识。而在几何领域，由小学段的认识、了解图形，感受简单图形的基本特征，到初中学段的几何直观的要求和几何推理能力的培养，无疑会使学生感到更加困难。初中几何图形繁杂，不少学生都有“雾里看花”的感觉。如何做到化繁为简，化难为易呢？笔者想，何不把其中一类图形都包含的一个基本图形作为一个“模型”，让学生经过训练、思考，找出其中的“模型”，类似于代数中的公式，套用起来，这样不只是解答起来方便，也能使学生感悟到其中的本质联系，这样不是很好吗？笔者在教学实践中，确实收到了不错的效果，学生反应良好。
　　关键词：初中数学；案例；几何；模型化
　　一、数学活动经验的案例分析
　　模题：如图1所示的图形，就像一只风筝一样，我们不妨把这样的图形叫做“筝形图”。试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系。
　　这是《新苏科版》七年级第7章《平面图形认识（二）》教材配套练习册的一道例题。是在学了三角形内角、定理以及推论“三角形的外角和等于与它不相邻的两个内角的和”后讲解的一道典型例题。
　　初次遇到这个题目，绝大部分学生无从下手，毕竟这是以前不常见的凹四边形。而要解决这个问题，需要用到分割补缺思想。下面笔者就简单地介绍一下常见的三种做法。
　　从分割角度讲，有以下两种解法：延长BD，交AC于E，或者过点D，作射线AE。这两种解法，本质都是把这个凹四边形分割成两个三角形。由于本题要求探究的∠BDC、∠A、∠B、∠C这四角不在一个三角形内，会自然地想到运用三角形内角和定理，利用外角找出它们四角之间的关系：∠BDC=∠A+∠B+∠C。
　　从补缺角度讲，可以连接BC，这也是较多学生能想到的方法，即利用三角形内角和定理解题。但是这四角不是被囊括在一个三角形中，而是分别在△ABC和△BCD中。笔者个人感觉证明过程没有上面的解法那么简单，要利用等式性质把里面涉及的中间角∠DBC和∠DCB消去。
　　通过上述方法的证明，我们在“筝形图”中，得到了一个很重要的结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C。下面我们就可以利用这样一个模型图和它的结论，解决后面出现的一系列问题。
　　问题1：如图2所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
　　在讲了上面的模题后，再看这道题，很多学生马上就有了思路，能很快说出在里面的凹四边形ABCO就是我们要找的“筝形图”，从而得到∠AOC=∠A+∠B+∠C。再利用对顶角，就能求解。
　　通过这道题，大部分学生对于“筝形图”有了更深的认识和直观的理解，也初次尝到“甜头”。把这么一道看起来有点小复杂的图形快速地解出来，关键在于能用我们的“火眼金睛”看出本题图中蕴含的模图——“筝形图”。
　　问题2：如图3，国旗中五
　　角星的五个角的和∠A+∠B+
　　∠C+∠D+∠E等于多少度？
　　这是大家在生活中最常见的图形，是我们的国旗上的图形。常见归常见，可真问起来，也没有多少学生能回答对。这张图其实要比上面的图形复杂得多，但关键还是要看能不能找到其中的“筝形图”。其实图里面有5个“筝形图”，五角星的每个角都可以与它不相邻的两个角构成一个“筝形图”。当然，找到其中一个就能解决该题。在这里，笔者就以凹四边形ACOD为例，得∠COD=∠A+∠C+∠D，接下来由对顶角，最后得解。通过提示，学生找到了答案，想到原来我们天天见的五角星还有这么多奥秘和学问。这样，把爱国教育穿插在课堂教学中，达到润物细无声的效果。
　　问题3：如图4所示，试求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
　　看完上一道题，再看这张有点“怪”的图，有些反应快的学生就看明白了与上面的两道题是一样的。对啊，就是把上图中的点A移动到边BE上。同理，答案也是相同的。
　　问题4：如图5所示，∠1=130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为多少？
　　在这道题里，图形比上面一张更为复杂。不少学生想了一会，还是没有什么思路。因为在这道题里面，找到“筝形图”并不能马上求出解，还需要利用外角进行转换。
　　如图6，凹四边形ADOE是“筝形图”，可得
　　∠2=∠A+∠D+∠E，由对顶角得∠2=∠3，
　　再根据外角定理，∠1=∠3+∠F，∠1=∠B+∠C，等量代换，最后得到结果260°。
　　其实在问题3的铺垫下，一部分学生有了更好的解法。如图7，如果把本图里面的△BCO去掉，就相当于把问题3中的点A继续往下移动。由问题3的结论可得，∠A+∠F+∠E+∠D+∠2=180°，又因为∠1+∠2=180°，可得∠A+∠F+∠E+∠D=130°。再由外角，最后求出解。
　　问题5：1.如图8，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =______°。
　　2.如图9，DC平分∠AD，EC平分∠AEB，
　　若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数。
　　3.如图10，分别作∠ABD与∠ACD的十等分线，
　　并分别交于点G1，G2，…G9，若∠BDC=140°，
　　∠BG1C=77°，求∠A的度数。
　　本题中的第1小题，多了一个直角三角尺道具，但只要能掌握“筝形图”的图形特点和结论，本题不难做出答案。
　　第2小题，把“筝形图”与角平分线结合在一起，会出现怎样的奇妙结论呢？先提问学生，大家能找出其中的“筝形图”吗？有几个“筝形图”？图形感觉好的学生，能找出其中存在3个“筝形图”。根据题目条件，由已知得未知，先看这个“筝形图”——凹四边形ADBE，可得∠B=∠A+∠ADB+∠AEB，代入算出∠ADB+∠AEB=80°。根据角平分线，得到∠ADC+∠AEC=40°，下面找上式对应的“筝形图”——凹四边形ADCE，最后得解。 　　第3小题，初看起来挺吓人，里面多了好多线，还带省略号，会让不少学生“望山止步”。这时，要鼓励学生首先克服恐惧心理，再带着他们慢慢走近题目，多看看，多想想。这一小题跟在后面，有什么用意呢？这时要明确告知学生，这种类型题目，后面的小题往往会用到前面小题的思想方法，往往有“异曲同工”之妙。这时，教师要帮助学生，不要被“异曲”迷惑，找出“同工”之妙。这道题的“同工”在哪里？其实就是“筝形图”。由已知条件∠BDC=140°，∠BG1C=77°，找对应的“筝形图”——凹四边形G1BDC，得到∠BDC= BG1C+∠G1BD+∠G1CD，算出∠G1BD+∠G1CD=63°，因为十等分线∠ABD+ACD=（∠G1BD+∠G1CD）=70°，最后再由图中的最大“筝形图”求出答案。
　　二、思考
　　义务教育课程标准2011版（下面简称新课标）与老课标相比较，其中一个很大的变化就是课程目标由原来的“双基”升华为“四基”，特别把“基本思想”视为更加上位的课程目标。数学的“基本思想”是关于数学科学最为根本的要旨，是数学研究的基础，也是数学教学的核心所在。这里的“基本思想”是最能体现数学本质特征的思想，包括数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。由“建模的思想”可以派生出量化的思想、函数的思想、方程的思想等。
　　事实上，这些“基本思想”也是其他数学思想产生的源头。例如，由“抽象的思想”可以派生出数学结合的思想、符号表示的思想等；由“推理的思想”可以派生出演绎的思想、转化化归的思想等。而当应用数学思想解决问题时，需要有具体的操作程序，这样就逐步形成了“数学方法”，也就可以得到我们日常所说的反证法、待定系数法、配方法。
　　而笔者在本文所提及的“模型化”教学应该更贴近数学方法这一层面的概念，是一种具体的程序化操作。按模型所使用的数学工具来分属于几何模型，虽然简单，难登大雅之堂，但也能以管窥豹。所谓数学模型是指针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。笔者这里就是用“筝形图”来概括命名一类凹四边形，并用一个等式表述其中蕴含的虽然简单但却很实用的结论，方便学生找出图形的本质特征，优化学生的思维过程，也能激发部分学生学习数学的兴趣。
　　小学阶段到初中阶段，由研究数学事物本身升华到研究数学结构关系，这一个飞跃不可谓不大，也算开始真正接触数学，真正迈进数学殿堂。但是横亘在学生面前的无形的鸿沟，使不少学生“谈数学色变”。教师研究的就是如何教学，如何缩小这个“鸿沟”。最常用的方法就是把陌生的问题转化为一个个熟悉的基本问题，而笔者也一直在日常教学中反思、研究这个问题。笔者觉得，从初中开始的几何演绎推理教学，可以作为一个很好的突破口和抓手，几何图形蕴含的结构特征才是一些几何问题的本质所在。在数学教学中，从结构的观点出发分析问题和解决问题，有利于知识的统一化、整体化、精炼化。因为在结构方法中，凡具有同构性质的一些结构，在本质上都可以看成一种结构。利用同构概念对数学结构进行比较和分类，在同一类中只要把其中一个结构的性质属性搞清楚，该类中的有关性质就只需经过一个简单的符号“翻译”即可获得。
　　本文提及的“模型化教学”只是初步尝试，想把“数学建模思想”用一种具体的程序化操作为“数学方法”，也许不太成熟，但笔者会在今后的教学实践中不断完善、修正，以期取得更好的效果。