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摘 要:在初一数学中,代数领域开始接触大量公式、法则,着重培养学生的数感、运算能力和符号意识。而在几何领域,由小学段的认识、了解图形,感受简单图形的基本特征,到初中学段的几何直观的要求和几何推理能力的培养,无疑会使学生感到更加困难。初中几何图形繁杂,不少学生都有“雾里看花”的感觉。如何做到化繁为简,化难为易呢?笔者想,何不把其中一类图形都包含的一个基本图形作为一个“模型”,让学生经过训练、思考,找出其中的“模型”,类似于代数中的公式,套用起来,这样不只是解答起来方便,也能使学生感悟到其中的本质联系,这样不是很好吗?笔者在教学实践中,确实收到了不错的效果,学生反应良好。
关键词:初中数学;案例;几何;模型化
一、数学活动经验的案例分析
模题:如图1所示的图形,就像一只风筝一样,我们不妨把这样的图形叫做“筝形图”。试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系。
这是《新苏科版》七年级第7章《平面图形认识(二)》教材配套练习册的一道例题。是在学了三角形内角、定理以及推论“三角形的外角和等于与它不相邻的两个内角的和”后讲解的一道典型例题。
初次遇到这个题目,绝大部分学生无从下手,毕竟这是以前不常见的凹四边形。而要解决这个问题,需要用到分割补缺思想。下面笔者就简单地介绍一下常见的三种做法。
从分割角度讲,有以下两种解法:延长BD,交AC于E,或者过点D,作射线AE。这两种解法,本质都是把这个凹四边形分割成两个三角形。由于本题要求探究的∠BDC、∠A、∠B、∠C这四角不在一个三角形内,会自然地想到运用三角形内角和定理,利用外角找出它们四角之间的关系:∠BDC=∠A+∠B+∠C。
从补缺角度讲,可以连接BC,这也是较多学生能想到的方法,即利用三角形内角和定理解题。但是这四角不是被囊括在一个三角形中,而是分别在△ABC和△BCD中。笔者个人感觉证明过程没有上面的解法那么简单,要利用等式性质把里面涉及的中间角∠DBC和∠DCB消去。
通过上述方法的证明,我们在“筝形图”中,得到了一个很重要的结论:∠BDC=∠A+∠B+∠C。下面我们就可以利用这样一个模型图和它的结论,解决后面出现的一系列问题。
问题1:如图2所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
在讲了上面的模题后,再看这道题,很多学生马上就有了思路,能很快说出在里面的凹四边形ABCO就是我们要找的“筝形图”,从而得到∠AOC=∠A+∠B+∠C。再利用对顶角,就能求解。
通过这道题,大部分学生对于“筝形图”有了更深的认识和直观的理解,也初次尝到“甜头”。把这么一道看起来有点小复杂的图形快速地解出来,关键在于能用我们的“火眼金睛”看出本题图中蕴含的模图——“筝形图”。
问题2:如图3,国旗中五
角星的五个角的和∠A+∠B+
∠C+∠D+∠E等于多少度?
这是大家在生活中最常见的图形,是我们的国旗上的图形。常见归常见,可真问起来,也没有多少学生能回答对。这张图其实要比上面的图形复杂得多,但关键还是要看能不能找到其中的“筝形图”。其实图里面有5个“筝形图”,五角星的每个角都可以与它不相邻的两个角构成一个“筝形图”。当然,找到其中一个就能解决该题。在这里,笔者就以凹四边形ACOD为例,得∠COD=∠A+∠C+∠D,接下来由对顶角,最后得解。通过提示,学生找到了答案,想到原来我们天天见的五角星还有这么多奥秘和学问。这样,把爱国教育穿插在课堂教学中,达到润物细无声的效果。
问题3:如图4所示,试求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
看完上一道题,再看这张有点“怪”的图,有些反应快的学生就看明白了与上面的两道题是一样的。对啊,就是把上图中的点A移动到边BE上。同理,答案也是相同的。
问题4:如图5所示,∠1=130°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为多少?
在这道题里,图形比上面一张更为复杂。不少学生想了一会,还是没有什么思路。因为在这道题里面,找到“筝形图”并不能马上求出解,还需要利用外角进行转换。
如图6,凹四边形ADOE是“筝形图”,可得
∠2=∠A+∠D+∠E,由对顶角得∠2=∠3,
再根据外角定理,∠1=∠3+∠F,∠1=∠B+∠C,等量代换,最后得到结果260°。
其实在问题3的铺垫下,一部分学生有了更好的解法。如图7,如果把本图里面的△BCO去掉,就相当于把问题3中的点A继续往下移动。由问题3的结论可得,∠A+∠F+∠E+∠D+∠2=180°,又因为∠1+∠2=180°,可得∠A+∠F+∠E+∠D=130°。再由外角,最后求出解。
问题5:1.如图8,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=50°,则∠ABX+∠ACX =______°。
2.如图9,DC平分∠AD,EC平分∠AEB,
若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数。
3.如图10,分别作∠ABD与∠ACD的十等分线,
并分别交于点G1,G2,…G9,若∠BDC=140°,
∠BG1C=77°,求∠A的度数。
本题中的第1小题,多了一个直角三角尺道具,但只要能掌握“筝形图”的图形特点和结论,本题不难做出答案。
第2小题,把“筝形图”与角平分线结合在一起,会出现怎样的奇妙结论呢?先提问学生,大家能找出其中的“筝形图”吗?有几个“筝形图”?图形感觉好的学生,能找出其中存在3个“筝形图”。根据题目条件,由已知得未知,先看这个“筝形图”——凹四边形ADBE,可得∠B=∠A+∠ADB+∠AEB,代入算出∠ADB+∠AEB=80°。根据角平分线,得到∠ADC+∠AEC=40°,下面找上式对应的“筝形图”——凹四边形ADCE,最后得解。 第3小题,初看起来挺吓人,里面多了好多线,还带省略号,会让不少学生“望山止步”。这时,要鼓励学生首先克服恐惧心理,再带着他们慢慢走近题目,多看看,多想想。这一小题跟在后面,有什么用意呢?这时要明确告知学生,这种类型题目,后面的小题往往会用到前面小题的思想方法,往往有“异曲同工”之妙。这时,教师要帮助学生,不要被“异曲”迷惑,找出“同工”之妙。这道题的“同工”在哪里?其实就是“筝形图”。由已知条件∠BDC=140°,∠BG1C=77°,找对应的“筝形图”——凹四边形G1BDC,得到∠BDC= BG1C+∠G1BD+∠G1CD,算出∠G1BD+∠G1CD=63°,因为十等分线∠ABD+ACD=(∠G1BD+∠G1CD)=70°,最后再由图中的最大“筝形图”求出答案。
二、思考
义务教育课程标准2011版(下面简称新课标)与老课标相比较,其中一个很大的变化就是课程目标由原来的“双基”升华为“四基”,特别把“基本思想”视为更加上位的课程目标。数学的“基本思想”是关于数学科学最为根本的要旨,是数学研究的基础,也是数学教学的核心所在。这里的“基本思想”是最能体现数学本质特征的思想,包括数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。由“建模的思想”可以派生出量化的思想、函数的思想、方程的思想等。
事实上,这些“基本思想”也是其他数学思想产生的源头。例如,由“抽象的思想”可以派生出数学结合的思想、符号表示的思想等;由“推理的思想”可以派生出演绎的思想、转化化归的思想等。而当应用数学思想解决问题时,需要有具体的操作程序,这样就逐步形成了“数学方法”,也就可以得到我们日常所说的反证法、待定系数法、配方法。
而笔者在本文所提及的“模型化”教学应该更贴近数学方法这一层面的概念,是一种具体的程序化操作。按模型所使用的数学工具来分属于几何模型,虽然简单,难登大雅之堂,但也能以管窥豹。所谓数学模型是指针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系,用形式化的数学语言,概括地或近似地表述出来的一种数学结构。笔者这里就是用“筝形图”来概括命名一类凹四边形,并用一个等式表述其中蕴含的虽然简单但却很实用的结论,方便学生找出图形的本质特征,优化学生的思维过程,也能激发部分学生学习数学的兴趣。
小学阶段到初中阶段,由研究数学事物本身升华到研究数学结构关系,这一个飞跃不可谓不大,也算开始真正接触数学,真正迈进数学殿堂。但是横亘在学生面前的无形的鸿沟,使不少学生“谈数学色变”。教师研究的就是如何教学,如何缩小这个“鸿沟”。最常用的方法就是把陌生的问题转化为一个个熟悉的基本问题,而笔者也一直在日常教学中反思、研究这个问题。笔者觉得,从初中开始的几何演绎推理教学,可以作为一个很好的突破口和抓手,几何图形蕴含的结构特征才是一些几何问题的本质所在。在数学教学中,从结构的观点出发分析问题和解决问题,有利于知识的统一化、整体化、精炼化。因为在结构方法中,凡具有同构性质的一些结构,在本质上都可以看成一种结构。利用同构概念对数学结构进行比较和分类,在同一类中只要把其中一个结构的性质属性搞清楚,该类中的有关性质就只需经过一个简单的符号“翻译”即可获得。
本文提及的“模型化教学”只是初步尝试,想把“数学建模思想”用一种具体的程序化操作为“数学方法”,也许不太成熟,但笔者会在今后的教学实践中不断完善、修正,以期取得更好的效果。
关键词:初中数学;案例;几何;模型化
一、数学活动经验的案例分析
模题:如图1所示的图形,就像一只风筝一样,我们不妨把这样的图形叫做“筝形图”。试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系。
这是《新苏科版》七年级第7章《平面图形认识(二)》教材配套练习册的一道例题。是在学了三角形内角、定理以及推论“三角形的外角和等于与它不相邻的两个内角的和”后讲解的一道典型例题。
初次遇到这个题目,绝大部分学生无从下手,毕竟这是以前不常见的凹四边形。而要解决这个问题,需要用到分割补缺思想。下面笔者就简单地介绍一下常见的三种做法。
从分割角度讲,有以下两种解法:延长BD,交AC于E,或者过点D,作射线AE。这两种解法,本质都是把这个凹四边形分割成两个三角形。由于本题要求探究的∠BDC、∠A、∠B、∠C这四角不在一个三角形内,会自然地想到运用三角形内角和定理,利用外角找出它们四角之间的关系:∠BDC=∠A+∠B+∠C。
从补缺角度讲,可以连接BC,这也是较多学生能想到的方法,即利用三角形内角和定理解题。但是这四角不是被囊括在一个三角形中,而是分别在△ABC和△BCD中。笔者个人感觉证明过程没有上面的解法那么简单,要利用等式性质把里面涉及的中间角∠DBC和∠DCB消去。
通过上述方法的证明,我们在“筝形图”中,得到了一个很重要的结论:∠BDC=∠A+∠B+∠C。下面我们就可以利用这样一个模型图和它的结论,解决后面出现的一系列问题。
问题1:如图2所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
在讲了上面的模题后,再看这道题,很多学生马上就有了思路,能很快说出在里面的凹四边形ABCO就是我们要找的“筝形图”,从而得到∠AOC=∠A+∠B+∠C。再利用对顶角,就能求解。
通过这道题,大部分学生对于“筝形图”有了更深的认识和直观的理解,也初次尝到“甜头”。把这么一道看起来有点小复杂的图形快速地解出来,关键在于能用我们的“火眼金睛”看出本题图中蕴含的模图——“筝形图”。
问题2:如图3,国旗中五
角星的五个角的和∠A+∠B+
∠C+∠D+∠E等于多少度?
这是大家在生活中最常见的图形,是我们的国旗上的图形。常见归常见,可真问起来,也没有多少学生能回答对。这张图其实要比上面的图形复杂得多,但关键还是要看能不能找到其中的“筝形图”。其实图里面有5个“筝形图”,五角星的每个角都可以与它不相邻的两个角构成一个“筝形图”。当然,找到其中一个就能解决该题。在这里,笔者就以凹四边形ACOD为例,得∠COD=∠A+∠C+∠D,接下来由对顶角,最后得解。通过提示,学生找到了答案,想到原来我们天天见的五角星还有这么多奥秘和学问。这样,把爱国教育穿插在课堂教学中,达到润物细无声的效果。
问题3:如图4所示,试求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
看完上一道题,再看这张有点“怪”的图,有些反应快的学生就看明白了与上面的两道题是一样的。对啊,就是把上图中的点A移动到边BE上。同理,答案也是相同的。
问题4:如图5所示,∠1=130°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为多少?
在这道题里,图形比上面一张更为复杂。不少学生想了一会,还是没有什么思路。因为在这道题里面,找到“筝形图”并不能马上求出解,还需要利用外角进行转换。
如图6,凹四边形ADOE是“筝形图”,可得
∠2=∠A+∠D+∠E,由对顶角得∠2=∠3,
再根据外角定理,∠1=∠3+∠F,∠1=∠B+∠C,等量代换,最后得到结果260°。
其实在问题3的铺垫下,一部分学生有了更好的解法。如图7,如果把本图里面的△BCO去掉,就相当于把问题3中的点A继续往下移动。由问题3的结论可得,∠A+∠F+∠E+∠D+∠2=180°,又因为∠1+∠2=180°,可得∠A+∠F+∠E+∠D=130°。再由外角,最后求出解。
问题5:1.如图8,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=50°,则∠ABX+∠ACX =______°。
2.如图9,DC平分∠AD,EC平分∠AEB,
若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数。
3.如图10,分别作∠ABD与∠ACD的十等分线,
并分别交于点G1,G2,…G9,若∠BDC=140°,
∠BG1C=77°,求∠A的度数。
本题中的第1小题,多了一个直角三角尺道具,但只要能掌握“筝形图”的图形特点和结论,本题不难做出答案。
第2小题,把“筝形图”与角平分线结合在一起,会出现怎样的奇妙结论呢?先提问学生,大家能找出其中的“筝形图”吗?有几个“筝形图”?图形感觉好的学生,能找出其中存在3个“筝形图”。根据题目条件,由已知得未知,先看这个“筝形图”——凹四边形ADBE,可得∠B=∠A+∠ADB+∠AEB,代入算出∠ADB+∠AEB=80°。根据角平分线,得到∠ADC+∠AEC=40°,下面找上式对应的“筝形图”——凹四边形ADCE,最后得解。 第3小题,初看起来挺吓人,里面多了好多线,还带省略号,会让不少学生“望山止步”。这时,要鼓励学生首先克服恐惧心理,再带着他们慢慢走近题目,多看看,多想想。这一小题跟在后面,有什么用意呢?这时要明确告知学生,这种类型题目,后面的小题往往会用到前面小题的思想方法,往往有“异曲同工”之妙。这时,教师要帮助学生,不要被“异曲”迷惑,找出“同工”之妙。这道题的“同工”在哪里?其实就是“筝形图”。由已知条件∠BDC=140°,∠BG1C=77°,找对应的“筝形图”——凹四边形G1BDC,得到∠BDC= BG1C+∠G1BD+∠G1CD,算出∠G1BD+∠G1CD=63°,因为十等分线∠ABD+ACD=(∠G1BD+∠G1CD)=70°,最后再由图中的最大“筝形图”求出答案。
二、思考
义务教育课程标准2011版(下面简称新课标)与老课标相比较,其中一个很大的变化就是课程目标由原来的“双基”升华为“四基”,特别把“基本思想”视为更加上位的课程目标。数学的“基本思想”是关于数学科学最为根本的要旨,是数学研究的基础,也是数学教学的核心所在。这里的“基本思想”是最能体现数学本质特征的思想,包括数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。由“建模的思想”可以派生出量化的思想、函数的思想、方程的思想等。
事实上,这些“基本思想”也是其他数学思想产生的源头。例如,由“抽象的思想”可以派生出数学结合的思想、符号表示的思想等;由“推理的思想”可以派生出演绎的思想、转化化归的思想等。而当应用数学思想解决问题时,需要有具体的操作程序,这样就逐步形成了“数学方法”,也就可以得到我们日常所说的反证法、待定系数法、配方法。
而笔者在本文所提及的“模型化”教学应该更贴近数学方法这一层面的概念,是一种具体的程序化操作。按模型所使用的数学工具来分属于几何模型,虽然简单,难登大雅之堂,但也能以管窥豹。所谓数学模型是指针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系,用形式化的数学语言,概括地或近似地表述出来的一种数学结构。笔者这里就是用“筝形图”来概括命名一类凹四边形,并用一个等式表述其中蕴含的虽然简单但却很实用的结论,方便学生找出图形的本质特征,优化学生的思维过程,也能激发部分学生学习数学的兴趣。
小学阶段到初中阶段,由研究数学事物本身升华到研究数学结构关系,这一个飞跃不可谓不大,也算开始真正接触数学,真正迈进数学殿堂。但是横亘在学生面前的无形的鸿沟,使不少学生“谈数学色变”。教师研究的就是如何教学,如何缩小这个“鸿沟”。最常用的方法就是把陌生的问题转化为一个个熟悉的基本问题,而笔者也一直在日常教学中反思、研究这个问题。笔者觉得,从初中开始的几何演绎推理教学,可以作为一个很好的突破口和抓手,几何图形蕴含的结构特征才是一些几何问题的本质所在。在数学教学中,从结构的观点出发分析问题和解决问题,有利于知识的统一化、整体化、精炼化。因为在结构方法中,凡具有同构性质的一些结构,在本质上都可以看成一种结构。利用同构概念对数学结构进行比较和分类,在同一类中只要把其中一个结构的性质属性搞清楚,该类中的有关性质就只需经过一个简单的符号“翻译”即可获得。
本文提及的“模型化教学”只是初步尝试,想把“数学建模思想”用一种具体的程序化操作为“数学方法”,也许不太成熟,但笔者会在今后的教学实践中不断完善、修正,以期取得更好的效果。