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在生产生活中，常常会遇到在一定条件下使得利润最大、效率最高、用料最省、强度最大等问题，这些问题通常称为优化问题. 优化问题往往可归结为求函数的最大值或最小值问题，而导数是求最值的有力工具，因此，熟练应用导数解决实际应用问题就非常重要. 用导数解决优化问题的基本思路是认真分析实际问题，然后将其转化为数学问题，再用导数求解这个数学问题.
一、面积、体积最大问题
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角上切去相等的正方形，然后把它的四边翻转[90∘]角，焊接成一个无盖的方底箱子，问箱底的边长是多少时箱子的容积最大?最大容积是多少？
分析 可设箱底边长为[xcm]，然后将容积表示成关于[x]的函数，再用导数求最值.
解 设箱底的边长为[xcm]，则箱子的高为[60-x2cm][(0 令[V′(x)=-32x2+60x=0,]
解得[x=40]. （[x=0]舍去）
当[x∈(0,40)][时，V′(x)>0]；
当[x∈(40,60)][时，V′(x)<0].
因此，[x=40]是函数[V(x)]的极大值点，也是最大值点. 而[V(40)=16000cm3]，所以当箱底的边长是40cm时箱子的容积最大，最大容积是[16000cm3.]
点评 在求面积、容积最大问题时，要充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数计算，计算时一定要注意自变量的取值范围.
二、用力最省、用料最少、消耗最小等问题
例2 做一个圆柱形锅炉，容积为[V]，两个底面的材料每单位面积的价格为[a]元，侧面的材料每单位面积的价格为[b]元，问锅炉的直径与高的比为多少时，造价最低？
分析 可设底面半径为[r]，高为[h]，则[V=π r2h]，再列出造价的表达式，利用导数找出[V]取最小值时直径与高之比.
解 设底面半径为[r]，高为[h]，则[V=π r2h]，故有[h=Vπ r2]. 设造价为[f(r)]，则
[f(r)=2π r2a+2π rhb][=2π r2a+2π rb⋅Vπr2]
[=2π r2a+2bVr].
求导数，得[f ′(r)=4π a(r3-bV2π a)r2].
令[f ′(r)=4π a(r3-bV2π a)r2] [=0]，
解得[r=bV2π a3].
当[x∈(0,bV2π a3)]时，[f ′(r)<0]；[x∈(bV2π a3,+∞)]时，[f ′(r)>0]. 因此，[r=bV2π a3]时，[f(r)]最小，此时[r3=bV2π a=b⋅π r2h2π a]，故[2rh=ba]，即锅炉造价最低时，底面直径与高之比是[ba].
点评 用料最少等问题是日常生活中的常见问题，解决这类问题时要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
三、利润最大、效率最高等问题
例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交[a]元（[3≤a≤5]）的管理费，预计当每件产品的售价为[x]元（[9≤x≤11]）时，一年的销售量为[(12-x)2]万件.
（1）求分公司一年的利润[L]（万元）关于每件产品的售价[x]的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润[L]最大？求出[L]的最大值[Q(a)].
分析 结合题意列出函数关系式，再对其求导，注意对[a]的讨论.
解 （1）分公司一年的利润[L]（万元）关于售价[x]的函数关系式为
[L=(x-3-a)(12-x)2，x∈[9，11]].
（2）[L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)]
[=(12-x)(18+2a-3x)].
令[L′=0]，得[x=6+23a]或[x=12]（不合题意，舍去）.
[∵3≤a≤5]，[∴8≤6+23a≤283].
在[x=6+23a]两侧，[L′]的值由正变负.
所以，当[8≤6+23a<9]即[3≤a<92]时，
[Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)]；
当[9≤6+23a≤283]即[92≤a≤5]时，
[Lmax=L(6+23a)=6+23a-3-a12-6+23a2]
[=43-13a3].
所以[Q(a)=9(6-a)， 3≤a<92，43-13a3， 92≤a≤5.]
综上，若[3≤a<92]，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润[L]最大，最大值[Q(a)=9(6-a)]万元；若[92≤a≤5]，则当每件售价为[6+23a]元时，分公司一年的利润[L]最大，最大值[Q(a)=43-13a3]万元.
点评 含有参数的极值问题，需要按照极值点和区间的位置关系进行分类讨论.
【练习】
1. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积为[27π]，且用料最省，则圆柱的底面半径为 .
2. 已知矩形的两个顶点位于[x]轴上，另两个顶点位于抛物线[y=4-x2]在[x]轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的边长分别为 .
3. 某公司在甲乙两地销售同一品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为[L1=5.06x-0.15x2]和[L2=2x]，其中[x]为销售量（单位：辆）. 若该公司在这两地共销售了15辆车，则该公司可能够获得的最大利润是 万元.
【参考答案】
1. 3 2. [433,83] 3. 45. 6
一、面积、体积最大问题
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角上切去相等的正方形，然后把它的四边翻转[90∘]角，焊接成一个无盖的方底箱子，问箱底的边长是多少时箱子的容积最大?最大容积是多少？
分析 可设箱底边长为[xcm]，然后将容积表示成关于[x]的函数，再用导数求最值.
解 设箱底的边长为[xcm]，则箱子的高为[60-x2cm][(0
解得[x=40]. （[x=0]舍去）
当[x∈(0,40)][时，V′(x)>0]；
当[x∈(40,60)][时，V′(x)<0].
因此，[x=40]是函数[V(x)]的极大值点，也是最大值点. 而[V(40)=16000cm3]，所以当箱底的边长是40cm时箱子的容积最大，最大容积是[16000cm3.]
点评 在求面积、容积最大问题时，要充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数计算，计算时一定要注意自变量的取值范围.
二、用力最省、用料最少、消耗最小等问题
例2 做一个圆柱形锅炉，容积为[V]，两个底面的材料每单位面积的价格为[a]元，侧面的材料每单位面积的价格为[b]元，问锅炉的直径与高的比为多少时，造价最低？
分析 可设底面半径为[r]，高为[h]，则[V=π r2h]，再列出造价的表达式，利用导数找出[V]取最小值时直径与高之比.
解 设底面半径为[r]，高为[h]，则[V=π r2h]，故有[h=Vπ r2]. 设造价为[f(r)]，则
[f(r)=2π r2a+2π rhb][=2π r2a+2π rb⋅Vπr2]
[=2π r2a+2bVr].
求导数，得[f ′(r)=4π a(r3-bV2π a)r2].
令[f ′(r)=4π a(r3-bV2π a)r2] [=0]，
解得[r=bV2π a3].
当[x∈(0,bV2π a3)]时，[f ′(r)<0]；[x∈(bV2π a3,+∞)]时，[f ′(r)>0]. 因此，[r=bV2π a3]时，[f(r)]最小，此时[r3=bV2π a=b⋅π r2h2π a]，故[2rh=ba]，即锅炉造价最低时，底面直径与高之比是[ba].
点评 用料最少等问题是日常生活中的常见问题，解决这类问题时要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
三、利润最大、效率最高等问题
例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交[a]元（[3≤a≤5]）的管理费，预计当每件产品的售价为[x]元（[9≤x≤11]）时，一年的销售量为[(12-x)2]万件.
（1）求分公司一年的利润[L]（万元）关于每件产品的售价[x]的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润[L]最大？求出[L]的最大值[Q(a)].
分析 结合题意列出函数关系式，再对其求导，注意对[a]的讨论.
解 （1）分公司一年的利润[L]（万元）关于售价[x]的函数关系式为
[L=(x-3-a)(12-x)2，x∈[9，11]].
（2）[L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)]
[=(12-x)(18+2a-3x)].
令[L′=0]，得[x=6+23a]或[x=12]（不合题意，舍去）.
[∵3≤a≤5]，[∴8≤6+23a≤283].
在[x=6+23a]两侧，[L′]的值由正变负.
所以，当[8≤6+23a<9]即[3≤a<92]时，
[Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)]；
当[9≤6+23a≤283]即[92≤a≤5]时，
[Lmax=L(6+23a)=6+23a-3-a12-6+23a2]
[=43-13a3].
所以[Q(a)=9(6-a)， 3≤a<92，43-13a3， 92≤a≤5.]
综上，若[3≤a<92]，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润[L]最大，最大值[Q(a)=9(6-a)]万元；若[92≤a≤5]，则当每件售价为[6+23a]元时，分公司一年的利润[L]最大，最大值[Q(a)=43-13a3]万元.
点评 含有参数的极值问题，需要按照极值点和区间的位置关系进行分类讨论.
【练习】
1. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积为[27π]，且用料最省，则圆柱的底面半径为 .
2. 已知矩形的两个顶点位于[x]轴上，另两个顶点位于抛物线[y=4-x2]在[x]轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的边长分别为 .
3. 某公司在甲乙两地销售同一品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为[L1=5.06x-0.15x2]和[L2=2x]，其中[x]为销售量（单位：辆）. 若该公司在这两地共销售了15辆车，则该公司可能够获得的最大利润是 万元.
【参考答案】
1. 3 2. [433,83] 3. 45. 6