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【摘要】本文以《用抽象的单位“1”解决问题》一课的多次研读、试讲、反思为例，展示了学生经历解决问题、充分感悟数学思想方法的教学过程。
【关键词】分数单位 单位“1” 小学数学 解决问题
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）07A-0074-02
新修订的人教版小学数学教材有很多亮点，其中六年级上册第二单元《分数除法》中《用抽象的分数单位“1”解决问题》一课是新增内容。
笔者在研读教材时，总感觉似曾相识：这节课的内容不就是当年小学数学九年义务教育教材应用题中“工程问题”的再现吗？在2001年进行课程改革时被删除了。时隔多年，它又出现在新版小学数学的教材中，那么该内容出现的用意是什么？教学目标有什么变化吗？因此这节课教学内容便成为我们城区小学数学片区的研究目标。
通过对这一节课的多次研读、试讲、反思及同课异构，笔者认识到新修订的教材对如何进一步落实《义务教育数学课程标准》的新理念，如何准确把握“问题的解决”的教学尺度，均有一定的价值和意义。
一、目标明确，要求准确，突出“问题解决”的具体要求
（一）通读教材，初步认知
教材中呈现的内容如下：
参考教师教学用书时，笔者产生了疑问：为什么可以用抽象的单位“1”解决问题？标题为什么不是“工程问题”？这两者之间有什么联系与区别？
（二）再读课标，明确要求
在《义务教育数学课程标准》（2011版）中，关于“问题解决”第二学段的目标是这样描述的：
1.尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。
2.能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。
3.经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。
4.能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。
上述目标中，发展应用意识和形成解决问题的策略是重点。问题解决更重视过程的教学，寻求解决问题的方法和策略。因此本课教学应该是以工程问题引出可用抽象的“1”来解决问题，但并非是对工程问题进行系统教学，而是要建立一种数量关系的模型。
（三）教学设计带领学生经历“问题解决”的全过程
为了落实以上教学目标，笔者在《分数除法》中《用抽象的分数单位“1”解决问题》一课的教学设计中，结合教材内容，呈现以下环节，突出“问题解决”的方法和策略的教学过程。
1.提出问题。情境展示，让学生思考“因为工程时间很紧，该把修路任务交给哪个工程队？”“如果再需要缩短时间怎么办？”由学生自行提出问题：“两队合修，需要多少天？”
2.阅读与理解。让学生根据数学问题，寻找数学信息、分析数量关系，思考“两队合修，多少天可以完成”这个问题。学生觉得这个问题不能解决，因为他们在分析数量关系时，发现缺少了要修的路的长度，即工作总量。知道了这条路的长度，就可以先算出一队每天修的路长，再算出二队每天修的路长，最后把两队每天修的路长加起来，用总路长除以两队每天修的路长，就能知道两队合修的时间。
3.分析与解答。为了让学生解决“缺少要修的路的长度”这一矛盾，笔者引导学生一起假设，假设要修的路总长是多少？还可以假设是多少？让学生经历假设法，用自己假设的路的长度来分别计算，两队合修需要用的时间（板书如下）。
板书学生假设法的计算后思考，学生对路的长度假设出不同的数量，但两队合修的时间却完全相同。学生思考质疑：为什么假设路的长度不同，但两队合修的天数是一样的？
通过线段图演示来解决以上问题，让学生进一步理解为什么修路的长度可以设为单位“1”。
4.回顾与反思。引导学生回顾：用数量关系解决了这一问题是否正确，可以采用哪些方法？
5.练习。用假设法还可以解决生活中的更多问题。
以上教学环节，笔者的设计尊重教材，根据新课标的目标要求，发挥学生的主体能动性，并充分体现了本节课的意图：一方面，在几个环节中引导学生经历问题解决的全过程，经历假设法的活动过程，亲身感受“假设法”是解决问题的一个重要策略。另一方面，让学生在使用策略解决问题时，再次发现问题的矛盾，提出问题，进一步解决问题。
二、经历“假设法”，重点在“解决问题”的方法和策略
（一）放大矛盾，提出“假设法”策略
在“分析与解答”这一环节时，学生通过分析数量关系知道“工作时间=工作总量/工作效率”，但此时的矛盾在于“工作总量即修路的长度”不知道，只知道两个队修路分别需要的天数，需要计算出两队合修的天数，一定要知道修路的長度。于是，笔者顺势略一提点，学生马上说：“我能将修路的长度假设为……”学生心中徘徊的假设意图呼之即出。
（二）全员尝试，经历“假设法”
这样，学生将工作总量假设为不同的数，分别自行尝试，计算出两队合修的天数，经历了用“假设法”来分析的过程。（板书如下）
从以上板书笔者看到，学生将修路的长度假设为不同的数，有的说30千米，有的说36千米，有的说单位“1”，还有的说100或1000千米……他们不仅有想法，还能结合“方便计算”来寻找自己需要的数据。
（三）对比异同，聚集难点
每个学生都有不同的假设，当学生学习生成的过程放在一起的时候，就可以让学生观察、对比异同，学生也自然而然地聚集核心问题——为什么假设道路的长度不一样，但最后两队合修需要的天数是一样的？对比观察促进了学生的有效思考。
三、数形结合的特殊演示，解决“问题解决”的难点
经历假设法之后，学生随之提出：“为什么假设道路的长度不一样，但最后两队合修需要的天数是一样的？”这也是理解“无论道路的长度假设为多少，两队合修的天数都要一样，所以我们能将这条道路假设为单位‘1’”这一难点的关键。 有学生说“修路的速度不变，可是当路的长度不一样时，每天合修的长度也是不一样的”；有学生说是“商不变性质”。可以说，学生的感觉是对的，但在这道题中，又如何体现当修路的长度变化时这些数量关系随之而变化呢？这个问题，笔者在此前的多次试讲、团队同课异构中发现，仅靠学生的表达、教师的讲述，是很难让学生理解清楚的。
如何突破这一难点呢？我们团队的成员经过几次备课、讨论，找到了“数形结合”这一有效途径，认为可以借助线段图来帮助学生理解“数量关系”。
但是路的长度可以设为不同的数量，又涉及一队、二队、两队合修三种情况，这条“线段图”仅用普通的课件来演示还是不够充分。经过大家的充分讨论和思维的不断碰撞，我们在科学课老师的启发下，用了特殊的材料——生活中的“松紧带”来帮助演示（如下图）。
在演示中，原始长度一样、同时又可变长或变短的三条松紧带，分别演示一队修路情况、二队修路情况以及两队合修情况。
松紧带可长可短的变化，正好表示路的长度的变化。这个特殊的演示，形象地体现了“路的总长度变化，两队每天修的效率和同时变化，两队合修的时间不变”这个数量关系，也解决了本题的数量关系与“被除数和除数同时变化，商不变”相结合的问题，让学生发现假设不同总长，得到相同的结果，进而探究其中的道理：虽然总长不同，但因为修路的时间是不变的，每天固定修这条路的几分之几。
通过数形结合的特殊展示，学生可以感受到：无论道路的长度假设为多少，两队合修的天数都一样，所以较简便的方法就是将这条道路假设为单位“1”。
在此课教学中，笔者带领学生经历解决问题的全过程，而不是死背数量关系，也不是只记住“把总量看作单位1”的结论，而是通过经历过程，感悟数学建模的思想方法。可以说，这一节课教学的亮点，不再是当年“应用题”教学中的重点——把公式记下来，可以解答即可；而是侧重“问题解决”，侧重于让学生经历解决问题的过程以及获得体验，在找到解决问题的方法和策略的同时，建立一种数量关系的模型。
以此为例，我们或者可以运用假设法，借助数形结合的方法来解释，用抽象的单位“1”来解决生活中类似的问题，为学生后续学习百分数的问题（涨幅问题）打下基础，也为学生学会思考如何建立数学模型打下基础，更为今后解决问题提供更多的启示。
（責编 林 剑）
【关键词】分数单位 单位“1” 小学数学 解决问题
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）07A-0074-02
新修订的人教版小学数学教材有很多亮点，其中六年级上册第二单元《分数除法》中《用抽象的分数单位“1”解决问题》一课是新增内容。
笔者在研读教材时，总感觉似曾相识：这节课的内容不就是当年小学数学九年义务教育教材应用题中“工程问题”的再现吗？在2001年进行课程改革时被删除了。时隔多年，它又出现在新版小学数学的教材中，那么该内容出现的用意是什么？教学目标有什么变化吗？因此这节课教学内容便成为我们城区小学数学片区的研究目标。
通过对这一节课的多次研读、试讲、反思及同课异构，笔者认识到新修订的教材对如何进一步落实《义务教育数学课程标准》的新理念，如何准确把握“问题的解决”的教学尺度，均有一定的价值和意义。
一、目标明确，要求准确，突出“问题解决”的具体要求
（一）通读教材，初步认知
教材中呈现的内容如下：
参考教师教学用书时，笔者产生了疑问：为什么可以用抽象的单位“1”解决问题？标题为什么不是“工程问题”？这两者之间有什么联系与区别？
（二）再读课标，明确要求
在《义务教育数学课程标准》（2011版）中，关于“问题解决”第二学段的目标是这样描述的：
1.尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。
2.能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。
3.经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。
4.能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。
上述目标中，发展应用意识和形成解决问题的策略是重点。问题解决更重视过程的教学，寻求解决问题的方法和策略。因此本课教学应该是以工程问题引出可用抽象的“1”来解决问题，但并非是对工程问题进行系统教学，而是要建立一种数量关系的模型。
（三）教学设计带领学生经历“问题解决”的全过程
为了落实以上教学目标，笔者在《分数除法》中《用抽象的分数单位“1”解决问题》一课的教学设计中，结合教材内容，呈现以下环节，突出“问题解决”的方法和策略的教学过程。
1.提出问题。情境展示，让学生思考“因为工程时间很紧，该把修路任务交给哪个工程队？”“如果再需要缩短时间怎么办？”由学生自行提出问题：“两队合修，需要多少天？”
2.阅读与理解。让学生根据数学问题，寻找数学信息、分析数量关系，思考“两队合修，多少天可以完成”这个问题。学生觉得这个问题不能解决，因为他们在分析数量关系时，发现缺少了要修的路的长度，即工作总量。知道了这条路的长度，就可以先算出一队每天修的路长，再算出二队每天修的路长，最后把两队每天修的路长加起来，用总路长除以两队每天修的路长，就能知道两队合修的时间。
3.分析与解答。为了让学生解决“缺少要修的路的长度”这一矛盾，笔者引导学生一起假设，假设要修的路总长是多少？还可以假设是多少？让学生经历假设法，用自己假设的路的长度来分别计算，两队合修需要用的时间（板书如下）。
板书学生假设法的计算后思考，学生对路的长度假设出不同的数量，但两队合修的时间却完全相同。学生思考质疑：为什么假设路的长度不同，但两队合修的天数是一样的？
通过线段图演示来解决以上问题，让学生进一步理解为什么修路的长度可以设为单位“1”。
4.回顾与反思。引导学生回顾：用数量关系解决了这一问题是否正确，可以采用哪些方法？
5.练习。用假设法还可以解决生活中的更多问题。
以上教学环节，笔者的设计尊重教材，根据新课标的目标要求，发挥学生的主体能动性，并充分体现了本节课的意图：一方面，在几个环节中引导学生经历问题解决的全过程，经历假设法的活动过程，亲身感受“假设法”是解决问题的一个重要策略。另一方面，让学生在使用策略解决问题时，再次发现问题的矛盾，提出问题，进一步解决问题。
二、经历“假设法”，重点在“解决问题”的方法和策略
（一）放大矛盾，提出“假设法”策略
在“分析与解答”这一环节时，学生通过分析数量关系知道“工作时间=工作总量/工作效率”，但此时的矛盾在于“工作总量即修路的长度”不知道，只知道两个队修路分别需要的天数，需要计算出两队合修的天数，一定要知道修路的長度。于是，笔者顺势略一提点，学生马上说：“我能将修路的长度假设为……”学生心中徘徊的假设意图呼之即出。
（二）全员尝试，经历“假设法”
这样，学生将工作总量假设为不同的数，分别自行尝试，计算出两队合修的天数，经历了用“假设法”来分析的过程。（板书如下）
从以上板书笔者看到，学生将修路的长度假设为不同的数，有的说30千米，有的说36千米，有的说单位“1”，还有的说100或1000千米……他们不仅有想法，还能结合“方便计算”来寻找自己需要的数据。
（三）对比异同，聚集难点
每个学生都有不同的假设，当学生学习生成的过程放在一起的时候，就可以让学生观察、对比异同，学生也自然而然地聚集核心问题——为什么假设道路的长度不一样，但最后两队合修需要的天数是一样的？对比观察促进了学生的有效思考。
三、数形结合的特殊演示，解决“问题解决”的难点
经历假设法之后，学生随之提出：“为什么假设道路的长度不一样，但最后两队合修需要的天数是一样的？”这也是理解“无论道路的长度假设为多少，两队合修的天数都要一样，所以我们能将这条道路假设为单位‘1’”这一难点的关键。 有学生说“修路的速度不变，可是当路的长度不一样时，每天合修的长度也是不一样的”；有学生说是“商不变性质”。可以说，学生的感觉是对的，但在这道题中，又如何体现当修路的长度变化时这些数量关系随之而变化呢？这个问题，笔者在此前的多次试讲、团队同课异构中发现，仅靠学生的表达、教师的讲述，是很难让学生理解清楚的。
如何突破这一难点呢？我们团队的成员经过几次备课、讨论，找到了“数形结合”这一有效途径，认为可以借助线段图来帮助学生理解“数量关系”。
但是路的长度可以设为不同的数量，又涉及一队、二队、两队合修三种情况，这条“线段图”仅用普通的课件来演示还是不够充分。经过大家的充分讨论和思维的不断碰撞，我们在科学课老师的启发下，用了特殊的材料——生活中的“松紧带”来帮助演示（如下图）。
在演示中，原始长度一样、同时又可变长或变短的三条松紧带，分别演示一队修路情况、二队修路情况以及两队合修情况。
松紧带可长可短的变化，正好表示路的长度的变化。这个特殊的演示，形象地体现了“路的总长度变化，两队每天修的效率和同时变化，两队合修的时间不变”这个数量关系，也解决了本题的数量关系与“被除数和除数同时变化，商不变”相结合的问题，让学生发现假设不同总长，得到相同的结果，进而探究其中的道理：虽然总长不同，但因为修路的时间是不变的，每天固定修这条路的几分之几。
通过数形结合的特殊展示，学生可以感受到：无论道路的长度假设为多少，两队合修的天数都一样，所以较简便的方法就是将这条道路假设为单位“1”。
在此课教学中，笔者带领学生经历解决问题的全过程，而不是死背数量关系，也不是只记住“把总量看作单位1”的结论，而是通过经历过程，感悟数学建模的思想方法。可以说，这一节课教学的亮点，不再是当年“应用题”教学中的重点——把公式记下来，可以解答即可；而是侧重“问题解决”，侧重于让学生经历解决问题的过程以及获得体验，在找到解决问题的方法和策略的同时，建立一种数量关系的模型。
以此为例，我们或者可以运用假设法，借助数形结合的方法来解释，用抽象的单位“1”来解决生活中类似的问题，为学生后续学习百分数的问题（涨幅问题）打下基础，也为学生学会思考如何建立数学模型打下基础，更为今后解决问题提供更多的启示。
（責编 林 剑）