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考情分析
正余弦定理及其应用的重点内容为正弦、余弦定理及三角形面积公式，是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.本讲内容主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，也可能会涉及立体几何的空间角以及解析几何中的有关角等问题.对考生的运算能力，逻辑推理能力，对数形结合，函数与方程的思想，分类与整合的思想，转化与化归等重要数学思想进行了重点考查.选择题、填空题考查1～2题（分值5～10），位置应该比较靠前，以考查用正、余弦定理解三角形为主，题型基础，难度不大，容易得分；解答题1题（分值10～12），在16～17题位置，主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题（测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，计算面积问题等），难度中等.
命题特点
1.基础题型一般是考查直接用正余弦定理解斜三角形.正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、两解或无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角求第三边和其它两角；（2）已知三边，求各角.这类型题题型稳定，得分较易.
2.中档题型一般是考查正余弦定理与三角函数的综合应用，这类题重点是正余弦定理，侧重点还是三角函数的转化，最后落脚点是三角函数的相关知识，如：三角函数的周期性、对称性、单调性、最值等.题型较活，要求学生活中求稳，利用扎实的基本功解决问题.
3.中难档题多数是与代数、三角、立体几何、解析几何中的知识点进行结合命题，具有较强的灵活性，对学生的运算能力，逻辑推理能力，数形结合的思想，函数与方程的思想，分类与整合的思想要求较高，该题型既新又活，能很好的区分学生的能力层次.
备考指南
1.利用正余弦定理解三角形是重点题型，解题时有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化.所以需要学生熟记正余弦定理的形式及其各种变式，并熟练转化.
2. 与代数、三角、立体几何、解析几何中的知识点进行结合命题，具有较强的灵活性，备受命题者的青睐.这种题型灵活性强，涉及知识面广，正余弦定理是解决整个题目的基本工具，备考时多注意与相关知识的衔接.
限时训练
1.在锐角中[△ABC]，角[A，B]所对的边长分别为[a，b].若[2asinB=b3]，则角[A]等于 （ ）
A.[π12] B.[π6]
C.[π4] D.[π3]
2.在[△ABC]中，若[sinCsinA=3，b2-a2=52ac]，则[cosB]的值为 （ ）
A.[13] B.[12]
C.[15] D.[14]
3.在[△ABC]中，[a=3，b=5]，[sinA=13]，则[sinB=] （ ）
A.[15] B.[59]
C.[53] D.[1]
4.在[△ABC]中，[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[acosC，bcosB，ccosA]成等差数列，则[B]= （ ）
A. [π6] B. [π4]
C. [π3] D. [2π3]
5.在[△ABC]中，[a2=b2+c2+bc]，则[A]等于 （ ）
A.60° B.120°
C.30° D.150°
6.在[△ABC]中，内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，]c，且[2c2=2a2+2b2+ab]，则[△ABC]是 （ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等边三角形
7.在[△ABC]中，[a，b，c]分别为角[A，B，C]所对的边，[a，b，c]成等差数列，且[a=2c]，[S△ABC=3154]，则[b]的值为 （ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
8.在等腰直角三角形[ABC]中，[AB=AC=4]，点[P]是边[AB]上异于[A，B]的一点，光线从点[P]出发，经[BC]，[CA]发射后又回到原点[P]（如图）.若光线[QR]经过[△ABC]的重心，则[AP]等于 （ ）
A.2 B.1
C. [83] D. [43]
9.对于下列命题，其中正确命题的个数是 （ ）
①在[△ABC]中，若[cos2A=cos2B]，则[△ABC]为等腰三角形；
②在[△ABC]中，角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[a=2，b=5，A=π6]，则[△ABC]有两组解；
③设[a=sin2014π3，b=cos2014π3，c=tan2014π3]，则[a ④将函数[y=2sin（3x+π6）]的图象向左平移[π6]个单位，得到函数[y=2cos（3x+π6）]的图象.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
10.如图，半径为2的半圆有一内接梯形[ABCD]，它的下底[AB]是[⊙O]的直径，上底[CD]的端点在圆周上.若双曲线以[A，B]为焦点，且过[C，D]两点，则当梯形[ABCD]的周长最大时，双曲线的实轴长为 （ ）
A. [3+1] B. 2[3+2]
C. [3-1] D. 2[3-2] 11. 在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为[30°]，由此点向塔沿直线行走[20]米，测得塔顶的仰角为[45°]，则塔高是__________米.
12. 已知[P]为三角形[ABC]内部任一点（不包括边界），且满足[PB-PA?PB+PA-2PC=0]，则[△ABC]的形状一定为___________.
13. 已知正方体[ABCD-A1B1C1D1]棱长为1，点[M]是[BC1]的中点，[P]是[BB1]一动点，则[（AP+MP）2]的最小值为___________.
14.设函数[f（x）=ax+bx-cx]其中[c>a>0，c>b>0].若[a，b，c]是[△ABC]的三条边长，则下列结论正确的是_________.（写出所有正确结论的序号）
①[?x∈（-∞，1），f（x）>0]；
②[?x∈R]，使[ax，bx，cx]不能构成一个三角形的三条边长；
③若[△ABC]为钝角三角形，则[?x∈（1，2）]，使[f（x）=0].
15.在[△ABC]中，角[A，B，C]所对的边分别是[a，b，c]，已知[csinA=3acosC].
（1）求[C]；
（2）若[c=7]，且[sinC+sin（B-A）=3sin2A]，求[△ABC]的面积.
16.已知向量[a=（12，12sinx+32cosx）]，[b=（1，y）]，[a∥b]，且有函数[y=f（x）].
（1）求函数[y=f（x）]的周期；
（2）已知锐角[△ABC]的三个内角分别为[A，B，C]，若有[f（A-π3）=3]，边[BC=7]，[sinB=217]，求[AC]的长及[△ABC]的面积.
17.已知[a，b，c]分别为[△ABC]三个内角[A，B，C]的对边，[A]为[B，C]的等差中项.
（1）求[A]；
（2）若[a=2]，[△ABC]的面积为[3]，求[b，c]的值.
18.如图，海上有[A，B]两个小岛相距10km，船[O]将保持观望[A]岛和[B]岛所成的视角为60°，现从船[O]上派下一只小艇沿[BO]方向驶至[C]处进行作业，且[OC=BO].设[AC=xkm].
（1）用[x]分别表示[OA2+OB2]和[OA?OB]，并求出[x]的取值范围；
（2）晚上小艇在[C]处发出一道强烈的光线照射[A]岛，[B]岛至光线[CA]的距离为[BD]，求[BD]的最大值.
正余弦定理及其应用的重点内容为正弦、余弦定理及三角形面积公式，是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.本讲内容主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，也可能会涉及立体几何的空间角以及解析几何中的有关角等问题.对考生的运算能力，逻辑推理能力，对数形结合，函数与方程的思想，分类与整合的思想，转化与化归等重要数学思想进行了重点考查.选择题、填空题考查1～2题（分值5～10），位置应该比较靠前，以考查用正、余弦定理解三角形为主，题型基础，难度不大，容易得分；解答题1题（分值10～12），在16～17题位置，主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题（测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，计算面积问题等），难度中等.
命题特点
1.基础题型一般是考查直接用正余弦定理解斜三角形.正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、两解或无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角求第三边和其它两角；（2）已知三边，求各角.这类型题题型稳定，得分较易.
2.中档题型一般是考查正余弦定理与三角函数的综合应用，这类题重点是正余弦定理，侧重点还是三角函数的转化，最后落脚点是三角函数的相关知识，如：三角函数的周期性、对称性、单调性、最值等.题型较活，要求学生活中求稳，利用扎实的基本功解决问题.
3.中难档题多数是与代数、三角、立体几何、解析几何中的知识点进行结合命题，具有较强的灵活性，对学生的运算能力，逻辑推理能力，数形结合的思想，函数与方程的思想，分类与整合的思想要求较高，该题型既新又活，能很好的区分学生的能力层次.
备考指南
1.利用正余弦定理解三角形是重点题型，解题时有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化.所以需要学生熟记正余弦定理的形式及其各种变式，并熟练转化.
2. 与代数、三角、立体几何、解析几何中的知识点进行结合命题，具有较强的灵活性，备受命题者的青睐.这种题型灵活性强，涉及知识面广，正余弦定理是解决整个题目的基本工具，备考时多注意与相关知识的衔接.
限时训练
1.在锐角中[△ABC]，角[A，B]所对的边长分别为[a，b].若[2asinB=b3]，则角[A]等于 （ ）
A.[π12] B.[π6]
C.[π4] D.[π3]
2.在[△ABC]中，若[sinCsinA=3，b2-a2=52ac]，则[cosB]的值为 （ ）
A.[13] B.[12]
C.[15] D.[14]
3.在[△ABC]中，[a=3，b=5]，[sinA=13]，则[sinB=] （ ）
A.[15] B.[59]
C.[53] D.[1]
4.在[△ABC]中，[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[acosC，bcosB，ccosA]成等差数列，则[B]= （ ）
A. [π6] B. [π4]
C. [π3] D. [2π3]
5.在[△ABC]中，[a2=b2+c2+bc]，则[A]等于 （ ）
A.60° B.120°
C.30° D.150°
6.在[△ABC]中，内角[A，B，C]的对边分别为[a，b，]c，且[2c2=2a2+2b2+ab]，则[△ABC]是 （ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等边三角形
7.在[△ABC]中，[a，b，c]分别为角[A，B，C]所对的边，[a，b，c]成等差数列，且[a=2c]，[S△ABC=3154]，则[b]的值为 （ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
8.在等腰直角三角形[ABC]中，[AB=AC=4]，点[P]是边[AB]上异于[A，B]的一点，光线从点[P]出发，经[BC]，[CA]发射后又回到原点[P]（如图）.若光线[QR]经过[△ABC]的重心，则[AP]等于 （ ）
A.2 B.1
C. [83] D. [43]
9.对于下列命题，其中正确命题的个数是 （ ）
①在[△ABC]中，若[cos2A=cos2B]，则[△ABC]为等腰三角形；
②在[△ABC]中，角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c]，若[a=2，b=5，A=π6]，则[△ABC]有两组解；
③设[a=sin2014π3，b=cos2014π3，c=tan2014π3]，则[a
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
10.如图，半径为2的半圆有一内接梯形[ABCD]，它的下底[AB]是[⊙O]的直径，上底[CD]的端点在圆周上.若双曲线以[A，B]为焦点，且过[C，D]两点，则当梯形[ABCD]的周长最大时，双曲线的实轴长为 （ ）
A. [3+1] B. 2[3+2]
C. [3-1] D. 2[3-2] 11. 在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为[30°]，由此点向塔沿直线行走[20]米，测得塔顶的仰角为[45°]，则塔高是__________米.
12. 已知[P]为三角形[ABC]内部任一点（不包括边界），且满足[PB-PA?PB+PA-2PC=0]，则[△ABC]的形状一定为___________.
13. 已知正方体[ABCD-A1B1C1D1]棱长为1，点[M]是[BC1]的中点，[P]是[BB1]一动点，则[（AP+MP）2]的最小值为___________.
14.设函数[f（x）=ax+bx-cx]其中[c>a>0，c>b>0].若[a，b，c]是[△ABC]的三条边长，则下列结论正确的是_________.（写出所有正确结论的序号）
①[?x∈（-∞，1），f（x）>0]；
②[?x∈R]，使[ax，bx，cx]不能构成一个三角形的三条边长；
③若[△ABC]为钝角三角形，则[?x∈（1，2）]，使[f（x）=0].
15.在[△ABC]中，角[A，B，C]所对的边分别是[a，b，c]，已知[csinA=3acosC].
（1）求[C]；
（2）若[c=7]，且[sinC+sin（B-A）=3sin2A]，求[△ABC]的面积.
16.已知向量[a=（12，12sinx+32cosx）]，[b=（1，y）]，[a∥b]，且有函数[y=f（x）].
（1）求函数[y=f（x）]的周期；
（2）已知锐角[△ABC]的三个内角分别为[A，B，C]，若有[f（A-π3）=3]，边[BC=7]，[sinB=217]，求[AC]的长及[△ABC]的面积.
17.已知[a，b，c]分别为[△ABC]三个内角[A，B，C]的对边，[A]为[B，C]的等差中项.
（1）求[A]；
（2）若[a=2]，[△ABC]的面积为[3]，求[b，c]的值.
18.如图，海上有[A，B]两个小岛相距10km，船[O]将保持观望[A]岛和[B]岛所成的视角为60°，现从船[O]上派下一只小艇沿[BO]方向驶至[C]处进行作业，且[OC=BO].设[AC=xkm].
（1）用[x]分别表示[OA2+OB2]和[OA?OB]，并求出[x]的取值范围；
（2）晚上小艇在[C]处发出一道强烈的光线照射[A]岛，[B]岛至光线[CA]的距离为[BD]，求[BD]的最大值.