论文部分内容阅读
伴随基础教育课程改革的进行，探究性学习成为一种重要的学习方式．数学探究性学习具有可能性与必要性．在数学课堂教学中，可以通过直觉、逆向思维、归纳、类比、试验几种途径实施探究性学习．
探究性学习作为学生的一种学习方式，是指学生在课堂中以研究的态度和一般的研究方法探索可能结论的一种学习活动．对于教师而言，它是教师进行课堂教学时可以采用的一种教学方式或策略．
数学有联系紧密的知识结构，数学知识本身就有一个创生和发展的过程，诸多数学家的发明和创造本身就是一本“活生生”的教科书．凭借着数学结构链之间的内在联系，学生可以进行类比的猜想；凭借着数学与生活之间的联系，学生可以进行经验的猜想；凭借着对数学问题的敏感，学生可以进行直觉的猜想．有了这样的猜想，学生就有了主动探究的欲望．从问题的发现到有依据的猜想，从验证猜想到归纳概括获得结论，数学可以提供学生发现的方法和思维的策略，能够给学生以智慧和力量，学生就有可能实现数学知识的“再创造”．因此，在数学学习中，学生进行探究性学习是可能的．在数学课堂中可以通过以下途径，引导学生实施数学探究性学习．
1运用直觉思维实施探究性学习
数学直觉，可以简称数觉,并非数学家才能产生直觉,对于学习数学已经达到一定水平的人来说，直觉是可能产生的，也是可以培养的．数学直觉的基础在于数学知识的组块和数学形象直感的生长．因此，如果一个学生在解决数学新问题时能够对它的结论作出直接的迅速的领悟，那么我们就应该认为这是数学直觉的表现．这较之数学家在创造性思维过程中表现出的直觉来说，虽然层次上显得较低，但其本质是一致的．
例15个自然数，它们的和等于它们的积，求这5个自然数．
探究：对于这样的问题，如果盲目猜想就会多走弯路．但是通常按运算经验，5个自然数的积一般总大于它们的和．要使两者相等就必须缩小积的值，即多用几个较小的数，如1，2，3等．这个想法就是一种最简单的直觉，它来源于经验，而在脑际迅速闪现，并指示了解题的方向．事实上1+1+2+2+2=1×1×2×2×2，1+1+1+3+3=1×1×1×3×3，1+1+1+2+5=1×1×1×2×5．进一步探究后还可知道，在上述三式中，将任何一个因数增加1后，5个数的积必大于其和，因此本题仅有上述3组解．
2运用逆向思维实施探究性学习
思维背离指定方向，进行逆向思考探索是逆向思维的特征．正确引导学生运用逆向思维进行探究，可以培养学生的发散思维．
例2某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间共100人，把甲车间人数加4，乙车间人数减4，丙车间人数乘以4，丁车间人数除以4，所得人数一样多．问四个车间原有多人?
探究：若直接从四个车间原有人数考虑设未知数，问题则难于求解．引导学生从“所得人数一样多”这个条件去逆想，假如知道车间人员变化后的人数，则可由此推出四个车间各自原有的人数．
解：设四车间人员变化后的人数都为x，则四个车间原有人数分别为x-4, x+4, x4, 4x，依题意得，上述四项之和等于100，解得x=16．故甲、乙、丙、丁四车间的原有人数依次是12人，20人，4人，64人．
3通过归纳实施探究性学习
归纳是从若干事物的属性中找出其共性，从而归纳出一般性．归纳分完全归纳和不完全归纳两种．不完全归纳用于发现，完全归纳用于证明．这里说的归纳，主要指不完全归纳或者说是经验性归纳，即指通过部分对象、部分性质的研究，找到其共性，然后对全体对象进行猜想探究．
例3下列每个图案是由若干盆花组成的三角形图案,每条边(包括两个顶点)有n (n＞1)盆花，每个图案花盆的总数是s，推导 s与n关系式，如图1．
图1探究：n=2, s=2+1,
n=2, s=3×2-3
n=3, s=3+2+1, n=3, s=3×3-3
n=4, s=4+3+2, n=4, s=3×4-3
………………
ns=n+(n-1)+(n-2), n, s=3n-3．
通过不完全归纳合理猜想探究在解决数列问题时用得更为广泛．数学上的许多发现都是通过观察（试验）、归纳、猜想然后再去证明的．“观察（试验）—归纳—猜想”是数学探究活动的一种模式，在这种模式中，试验（观察）是基础，归纳是关键．
4通过类比猜想实施探究性学习
类比猜想就是由一类事物的已知属性，去猜想另一类事物也具有相同或相似的属性．在数学教学中，常引导学生由命题条件的相似性，去猜想命题结论的相似性，或由命题的相似性，去猜想结论或推理方法的相似 性．有了猜想，学生就有了主动探究的欲望．
如图2，PA和PB分别切圆O于点A和点B，问这个基本图形有什么性质?
图2图3在学生回答的基础上，教师进一步启发：如果把P看成是点圆，逐步将它“扩大”，会得到真正意义上的圆，如图3所示．引导学生类比联想，猜想：AE=BF；C，P，O三点共线；∠ACO=∠BCO．然后分析和证明猜想，形成定理：(1) 两圆的外公切线长相等；(2) 如果两圆有两条外公切线，并且相交，那么交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分这两条公切线的夹角．
5通过试验进行探究
北师大版七年级数学下册第四章《概率》．教科书在第一节首先呈现了一个转盘游戏，通过实验与分析，使学生体会必然事件、不可能事件和不确定事件．接着同桌两人分别做20次掷硬币的游戏，并将正面(反面)朝上的次数、正面(反面)朝．上的频率记录在下来．
累计全班同学的实验结果，分别计算试验累计进行到20次、40次、80次、120次……400次时正面朝上的频率，并完成正面朝上的频率随试验总次数变化的折线统计图．
通过折线统计图，引导学生发现规律．最后呈现一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的数据：
学生通过对自己的试验结果及历史上数学家的试验数据的分析，已初步体会到：当试验总次数较大时，“正面朝上的次数”与“反面朝上的次数”将非常接近，都差不多等于试验总次数的一半．在此基础上，教师可引导学生根据生活经验进一步体会“正面朝上”与“反面朝上”发生的等可能性．
又如：小学圆周长计算的教学，教师实验：先手拿一根绳子的一端作为圆心，以这根绳子为半径，甩动绳子另一端系着的红球，使红球变化出圆的轨迹．然后变化绳子的长短，观察前后两个红圆大小发生的变化，使学生在试验观察的基础上探究出圆周长大小与半径的关系．
参考文献
1吴亚萍．基于新基础教育的探究性学习．课程教材教法，2004（5）
2任章辉著．数学思维理论．广西：广西教育出版社，2001
3数学课程标准．北京：北京师范大学出版社，2001
4张可法主编．初中数学解题研究．湖南：湖南师范大学出版社，1999
5浦叙德，以学生探究活动为中心设计教学过程．数学教学通讯，2003（3）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
探究性学习作为学生的一种学习方式，是指学生在课堂中以研究的态度和一般的研究方法探索可能结论的一种学习活动．对于教师而言，它是教师进行课堂教学时可以采用的一种教学方式或策略．
数学有联系紧密的知识结构，数学知识本身就有一个创生和发展的过程，诸多数学家的发明和创造本身就是一本“活生生”的教科书．凭借着数学结构链之间的内在联系，学生可以进行类比的猜想；凭借着数学与生活之间的联系，学生可以进行经验的猜想；凭借着对数学问题的敏感，学生可以进行直觉的猜想．有了这样的猜想，学生就有了主动探究的欲望．从问题的发现到有依据的猜想，从验证猜想到归纳概括获得结论，数学可以提供学生发现的方法和思维的策略，能够给学生以智慧和力量，学生就有可能实现数学知识的“再创造”．因此，在数学学习中，学生进行探究性学习是可能的．在数学课堂中可以通过以下途径，引导学生实施数学探究性学习．
1运用直觉思维实施探究性学习
数学直觉，可以简称数觉,并非数学家才能产生直觉,对于学习数学已经达到一定水平的人来说，直觉是可能产生的，也是可以培养的．数学直觉的基础在于数学知识的组块和数学形象直感的生长．因此，如果一个学生在解决数学新问题时能够对它的结论作出直接的迅速的领悟，那么我们就应该认为这是数学直觉的表现．这较之数学家在创造性思维过程中表现出的直觉来说，虽然层次上显得较低，但其本质是一致的．
例15个自然数，它们的和等于它们的积，求这5个自然数．
探究：对于这样的问题，如果盲目猜想就会多走弯路．但是通常按运算经验，5个自然数的积一般总大于它们的和．要使两者相等就必须缩小积的值，即多用几个较小的数，如1，2，3等．这个想法就是一种最简单的直觉，它来源于经验，而在脑际迅速闪现，并指示了解题的方向．事实上1+1+2+2+2=1×1×2×2×2，1+1+1+3+3=1×1×1×3×3，1+1+1+2+5=1×1×1×2×5．进一步探究后还可知道，在上述三式中，将任何一个因数增加1后，5个数的积必大于其和，因此本题仅有上述3组解．
2运用逆向思维实施探究性学习
思维背离指定方向，进行逆向思考探索是逆向思维的特征．正确引导学生运用逆向思维进行探究，可以培养学生的发散思维．
例2某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间共100人，把甲车间人数加4，乙车间人数减4，丙车间人数乘以4，丁车间人数除以4，所得人数一样多．问四个车间原有多人?
探究：若直接从四个车间原有人数考虑设未知数，问题则难于求解．引导学生从“所得人数一样多”这个条件去逆想，假如知道车间人员变化后的人数，则可由此推出四个车间各自原有的人数．
解：设四车间人员变化后的人数都为x，则四个车间原有人数分别为x-4, x+4, x4, 4x，依题意得，上述四项之和等于100，解得x=16．故甲、乙、丙、丁四车间的原有人数依次是12人，20人，4人，64人．
3通过归纳实施探究性学习
归纳是从若干事物的属性中找出其共性，从而归纳出一般性．归纳分完全归纳和不完全归纳两种．不完全归纳用于发现，完全归纳用于证明．这里说的归纳，主要指不完全归纳或者说是经验性归纳，即指通过部分对象、部分性质的研究，找到其共性，然后对全体对象进行猜想探究．
例3下列每个图案是由若干盆花组成的三角形图案,每条边(包括两个顶点)有n (n＞1)盆花，每个图案花盆的总数是s，推导 s与n关系式，如图1．
图1探究：n=2, s=2+1,
n=2, s=3×2-3
n=3, s=3+2+1, n=3, s=3×3-3
n=4, s=4+3+2, n=4, s=3×4-3
………………
ns=n+(n-1)+(n-2), n, s=3n-3．
通过不完全归纳合理猜想探究在解决数列问题时用得更为广泛．数学上的许多发现都是通过观察（试验）、归纳、猜想然后再去证明的．“观察（试验）—归纳—猜想”是数学探究活动的一种模式，在这种模式中，试验（观察）是基础，归纳是关键．
4通过类比猜想实施探究性学习
类比猜想就是由一类事物的已知属性，去猜想另一类事物也具有相同或相似的属性．在数学教学中，常引导学生由命题条件的相似性，去猜想命题结论的相似性，或由命题的相似性，去猜想结论或推理方法的相似 性．有了猜想，学生就有了主动探究的欲望．
如图2，PA和PB分别切圆O于点A和点B，问这个基本图形有什么性质?
图2图3在学生回答的基础上，教师进一步启发：如果把P看成是点圆，逐步将它“扩大”，会得到真正意义上的圆，如图3所示．引导学生类比联想，猜想：AE=BF；C，P，O三点共线；∠ACO=∠BCO．然后分析和证明猜想，形成定理：(1) 两圆的外公切线长相等；(2) 如果两圆有两条外公切线，并且相交，那么交点一定在两圆的连心线上，并且连心线平分这两条公切线的夹角．
5通过试验进行探究
北师大版七年级数学下册第四章《概率》．教科书在第一节首先呈现了一个转盘游戏，通过实验与分析，使学生体会必然事件、不可能事件和不确定事件．接着同桌两人分别做20次掷硬币的游戏，并将正面(反面)朝上的次数、正面(反面)朝．上的频率记录在下来．
累计全班同学的实验结果，分别计算试验累计进行到20次、40次、80次、120次……400次时正面朝上的频率，并完成正面朝上的频率随试验总次数变化的折线统计图．
通过折线统计图，引导学生发现规律．最后呈现一些历史上的数学家所做的掷硬币试验的数据：
学生通过对自己的试验结果及历史上数学家的试验数据的分析，已初步体会到：当试验总次数较大时，“正面朝上的次数”与“反面朝上的次数”将非常接近，都差不多等于试验总次数的一半．在此基础上，教师可引导学生根据生活经验进一步体会“正面朝上”与“反面朝上”发生的等可能性．
又如：小学圆周长计算的教学，教师实验：先手拿一根绳子的一端作为圆心，以这根绳子为半径，甩动绳子另一端系着的红球，使红球变化出圆的轨迹．然后变化绳子的长短，观察前后两个红圆大小发生的变化，使学生在试验观察的基础上探究出圆周长大小与半径的关系．
参考文献
1吴亚萍．基于新基础教育的探究性学习．课程教材教法，2004（5）
2任章辉著．数学思维理论．广西：广西教育出版社，2001
3数学课程标准．北京：北京师范大学出版社，2001
4张可法主编．初中数学解题研究．湖南：湖南师范大学出版社，1999
5浦叙德，以学生探究活动为中心设计教学过程．数学教学通讯，2003（3）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文