【摘要】针对一类特殊的多维随机变量函数——最大值和最小值的数学期望求解问题，本文给出了四种计算方法，并指出各种计算方法的适用情况，以期能够使学生开阔思路，做到举一反三、触类旁通.
　　【关键词】数学期望;分布;最大值;最小值
　　【基金项目】河南省高等学校教改项目（2019SJGLX504），2020年度信阳市哲学社会科学规划项目（2020SH021），信阳学院校级教改项目（2020YJG018，2019YJG26）
　　1引言
　　数学期望，又称期望或均值，是随机变量按概率的加权平均，表征其概率分布的中心位置[1].数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念，最初起源于历史上著名的“分赌本问题”[2].随机变量数学期望研究的文献较多，如，王瑞瑞等关于负二项分布的数学期望和方差的一种求法[3]，丁黎明关于随机变量数学期望的教学实践与探索[4]，孙莉敏等关于连续随机变量数学期望的定义式的推导[5]等.
　　在实际生活中，我们常常要用到一类特殊的多维随机变量的函数——最大值和最小值.如，为研究某地区未来五十年涝灾或干旱发生的可能性，我们就需要研究该地区过去五十年中最大年降雨量和最小年降雨量.又如，实际生活中某地区的最大风速、最大车流量、最小损耗等均与最大值和最小值有直接的关系.同时，计算最大降雨量、最大风速、最大车流量等的平均值，均需计算最大值的数学期望;而计算最小降雨量、最小损耗等的平均值，则需要计算最小值的数学期望.
　　而关于最大值和最小值这类特殊的多维随机变量函数的数学期望研究的文献资料较少，罗建华仅给出了二维正态分布的最大值数学期望的求法[6，7].故笔者结合自身教学实践，给出了最大值和最小值数学期望的四种计算方法，并指出各种计算方法的适用情况.
　　2预备知识
　　定理1[1，2]若随机变量X的分布列为p（xi）或密度函数为p（x），则X的某一函数g（X）的数学期望为
　　E[g（X）]=∑ig（xi）p（xi），离散，∫ ∞-∞g（x）p（x）dx，连续
　　定理2[1，2]若二维随机变量（X，Y）的联合分布列为p（xi，yj）或联合密度函数为p（x，y），则Z=g（X，Y）的数学期望为
　　E[g（X，Y）]=∑i∑jg（xi，yj）p（xi，yj），离散，∫ ∞-∞∫ ∞-∞g（x，y）p（x，y）dxdy，连续
　　3最大值和最小值数学期望的几种求法
　　方法一直接计算法.先写出（X，Y）的联合分布列或联合密度，再利用上述定理2直接对最大值最小值的数学期望进行求解.
　　例1系统L由两个相互独立的子系统L1，L2并联而成，设L1，L2的寿命分别为X，Y，且均服从指数分布Exp（λ），试求该系统L的平均寿命.
　　解由于当且仅当L1，L2都损坏时，系统L才停止工作，所以系统L的寿命为Z=max{X，Y}，
　　故求系统L的平均寿命即求E（max{X，Y}）.
　　因X和Y独立同分布于指数分布Exp（λ），从而（X，Y）的联合密度函数为
　　p（x，y）=λ2e-λx-λy，x