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立体几何常要考查我们的空间想象能力,在推理中兼顾考查逻辑思维能力,其中点、线、面的位置关系是考查的重点,而位置关系的探索问题(在线上或是在面内是否存在点满足平行、垂直关系)是大家感觉比较困难的部分,本文就此内容做些探讨.
一、在线上找点满足平行关系
例1如图1所示,在边长为12的正方形[AA′A′1A1]中,[BB1∥CC1∥AA1],且[AB=3],[BC=4],[AA′1]分别交[BB1],[CC1]于[P、Q],将该正方形沿[BB1]、[CC1]折叠,使得[AA′1]与[AA1]重合,构成如图2所示的三棱柱[ABC-A1B1C1],在底边[AC]上是否存在一点[M],满足[BM∥]平面[APQ]?若存在,试求[AM],若不存在,请说明理由.
解析假设存在一点[M]满足[BM∥]平面[APQ],过[M]作[MN∥CQ]交[AQ于N].
∵[PB∥CQ,∴MN∥PB].
连接[PN],因为[BM∥]平面[APQ,][∴BM∥PN],
∴四边形[PBMN]为平行四边形.
∴[MN=3,AM∶AC=MN∶CQ=3∶7].
∴当[AM=157]时,[BM∥平面APQ.]
点拨先假设在线上存在一点满足线面平行,将要满足的结论当成条件,应用线面平行性质定理以及平行线分线段成比例确定点的位置.
二、在线上找点满足垂直关系
例2如图3所示,正三角形[ABC]的边长为4,[CD]是[AB]边上的高,[E]是[AC]边上的中点,将[△ABC]沿[CD]折叠成直二面角[A-DC-B],如图4所示. 在线段[BC]上是否存在点[P],使[AP⊥DE]?并证明结论.
解析在线段[BC]上存在点[P],使[AP⊥DE.]
证明如下:在线段[BC]上取点[P],使[BP=13BC],过[P]作[PQ⊥CD于点Q],
∴[PQ]⊥平面[ACD.]
∵[DQ=13DC=233],在等边[△ADE]中,
[∠DAQ=30°, ∴AQ⊥DE, ∴AP⊥DE.]
点拨把[AP]看成平面[ADC]的一条斜线,要使斜线垂直于平面内一条直线,可以使其射影垂直于这条直线,从而转化成在平面内过点[A]找条直线与[DE]垂直.
三、在面内找点满足平行关系
例3如图5所示,在正四棱锥[P-ABCD]中,平面[PBC]内是否存在一点[E],使得[PA∥平面EBD]?
解析当[E为PC]中点时,[PA∥平面EBD].
连接[AC],且[AC⋂BD=O],
由于四边形[ABCD]为正方形,
∴[O]为[AC]的中点.
又[E]为中点,∴[OE]为[△ACP]的中位线,
∴[PA∥EO],又[PA⊄平面EBD],
∴[PA∥平面EBD.]
点拨要使线平行于面,在平面内找条直线与此直线平行即可,由中位线得到平行直线,从而得到面平行于直线.
四、在面内找点满足垂直关系
例4如图6所示,在正四棱锥[P-ABCD]中,[E]是[PB]的中点,在侧面[PAD]内是否存在一点[F],使[EF]⊥平面[PCB]?
解析取PA的中点R,BC、AD的四等分点靠近B、A的一个,分别为M、S,连接EM、ER、RS、SM,取BC的中点O,连接PO.
∵PB=PC, ∴PO⊥BC.
又∵EM∥PO, ∴EM⊥BC.
∵AB⊥BC,SM∥AB, ∴SM⊥BC.
而ER∥MS,所以可确定平面ERSM,
∴BC⊥平面ERSM.∴面ERSM⊥面PBC,
在平面ERSM中过E点作直线垂直于EM,交RS于点F,即为所求.
点拨要过[E]点找条线垂直于面,可以先找个平面与平面垂直,然后在找到的平面内作交线的垂线即可.而题目条件中有中点,从而想到用中位线.
由以上例子可以发现,解决位置关系的探索问题时,一方面可以先假设点存在,把结论当做条件,应用性质定理从而确定点的位置;另一方面也可以从结论出发,采用逆推分析法,执果索因,从而确定点的位置.
一、在线上找点满足平行关系
例1如图1所示,在边长为12的正方形[AA′A′1A1]中,[BB1∥CC1∥AA1],且[AB=3],[BC=4],[AA′1]分别交[BB1],[CC1]于[P、Q],将该正方形沿[BB1]、[CC1]折叠,使得[AA′1]与[AA1]重合,构成如图2所示的三棱柱[ABC-A1B1C1],在底边[AC]上是否存在一点[M],满足[BM∥]平面[APQ]?若存在,试求[AM],若不存在,请说明理由.
解析假设存在一点[M]满足[BM∥]平面[APQ],过[M]作[MN∥CQ]交[AQ于N].
∵[PB∥CQ,∴MN∥PB].
连接[PN],因为[BM∥]平面[APQ,][∴BM∥PN],
∴四边形[PBMN]为平行四边形.
∴[MN=3,AM∶AC=MN∶CQ=3∶7].
∴当[AM=157]时,[BM∥平面APQ.]
点拨先假设在线上存在一点满足线面平行,将要满足的结论当成条件,应用线面平行性质定理以及平行线分线段成比例确定点的位置.
二、在线上找点满足垂直关系
例2如图3所示,正三角形[ABC]的边长为4,[CD]是[AB]边上的高,[E]是[AC]边上的中点,将[△ABC]沿[CD]折叠成直二面角[A-DC-B],如图4所示. 在线段[BC]上是否存在点[P],使[AP⊥DE]?并证明结论.
解析在线段[BC]上存在点[P],使[AP⊥DE.]
证明如下:在线段[BC]上取点[P],使[BP=13BC],过[P]作[PQ⊥CD于点Q],
∴[PQ]⊥平面[ACD.]
∵[DQ=13DC=233],在等边[△ADE]中,
[∠DAQ=30°, ∴AQ⊥DE, ∴AP⊥DE.]
点拨把[AP]看成平面[ADC]的一条斜线,要使斜线垂直于平面内一条直线,可以使其射影垂直于这条直线,从而转化成在平面内过点[A]找条直线与[DE]垂直.
三、在面内找点满足平行关系
例3如图5所示,在正四棱锥[P-ABCD]中,平面[PBC]内是否存在一点[E],使得[PA∥平面EBD]?
解析当[E为PC]中点时,[PA∥平面EBD].
连接[AC],且[AC⋂BD=O],
由于四边形[ABCD]为正方形,
∴[O]为[AC]的中点.
又[E]为中点,∴[OE]为[△ACP]的中位线,
∴[PA∥EO],又[PA⊄平面EBD],
∴[PA∥平面EBD.]
点拨要使线平行于面,在平面内找条直线与此直线平行即可,由中位线得到平行直线,从而得到面平行于直线.
四、在面内找点满足垂直关系
例4如图6所示,在正四棱锥[P-ABCD]中,[E]是[PB]的中点,在侧面[PAD]内是否存在一点[F],使[EF]⊥平面[PCB]?
解析取PA的中点R,BC、AD的四等分点靠近B、A的一个,分别为M、S,连接EM、ER、RS、SM,取BC的中点O,连接PO.
∵PB=PC, ∴PO⊥BC.
又∵EM∥PO, ∴EM⊥BC.
∵AB⊥BC,SM∥AB, ∴SM⊥BC.
而ER∥MS,所以可确定平面ERSM,
∴BC⊥平面ERSM.∴面ERSM⊥面PBC,
在平面ERSM中过E点作直线垂直于EM,交RS于点F,即为所求.
点拨要过[E]点找条线垂直于面,可以先找个平面与平面垂直,然后在找到的平面内作交线的垂线即可.而题目条件中有中点,从而想到用中位线.
由以上例子可以发现,解决位置关系的探索问题时,一方面可以先假设点存在,把结论当做条件,应用性质定理从而确定点的位置;另一方面也可以从结论出发,采用逆推分析法,执果索因,从而确定点的位置.