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摘 要:反证法的合适运用能够培养学生的逆向思维能力、逻辑思维能力以及发展学生智力,本文就高中数学反证法的具体运用做出讨论。
关键词:高中数学;反证法;运用;思维能力
高中数学比初中数学深奥许多,存在很多难以直接解决的问题,像假设条件中不存在需要的有效条件、对问题的解决办法不能一目了然,这时候高中生就需要变换思路,尝试用反证法解决问题。
一、 反证法轻松解决存在性问题
存在性问题即涉及“存在”“必有”“至少有”“至多有”等关键词的命题,这类问题从一般逻辑出发,往往涉及分门别类、分段讨论等,比较麻烦,更容易让学生们眼花缭乱、思路混淆,这时候学生们不如采用迂回求解的办法,从原命题的逆否命题着手,我们知道若原命题为真,则其逆否命题为真,能够证明其逆否命题为真,问题就迎刃而解了。概括反证法的解决问题步骤就是:否定——推理——否定。在存在性问题的证明中,反证法无疑是解决问题最简洁的方法,学生们应该牢固掌握,并加以运用,来解决卷面和生活中的数学问题。
二、 反证法轻松解决唯一性问题
反证法在唯一性证明问题中的应用也非常普遍。唯一性问题即带有“唯一”“只有一个”等字眼的证明性问题。由于不同部分所适用的定义域的不同,学生们应该分类讨论,呈现在试卷上的也是长篇大论,还不如证明该问题的两个或者多个解是相同的,相应也就证明了该证明题的解是唯一的。反证法就是首先否定结论,作相反的判断,再将其当作已知条件,站在正常的逻辑思维角度,进行推理,所得结论与已知条件背道而驰,从而就能够证明原命题的正确性。以上观点也是反证法中矛盾律的体现:对于这样一种相同的事理,在对其的所有推理证明过程中,在同一理论体系下,一定不会存在矛盾。
比如,已知三角函数方程:x=sinx m(m是常数),试证明该三角函数方程的解是唯一的。
对于该证明题,利用反证法只需要从解的角度出发,相反观点就是该函数方程的解不唯一,然后求出其两个解,证明这两个解是相同的,所得结论与已知条件相违背,从而间接证明该证明题:
三、 反证法轻松解决分段式命题的逆命题
分断式命题即命题的主题以分段的形式书写,不同的表达方式有不同的定义域,这类证明问题,如果从正常的逻辑思维出发,就要论证两个甚至多个领域的命题的正确性,既繁琐又困难,像崎岖不平的山间小路,需要经历许多的曲折才能够“柳暗花明又一村”。如果采用反证法就会让广大学子们眼前一亮,这条路线就像宽阔而又笔直的马路直通胜利的彼岸,鼓舞学生们解决数学难题的气势,给予学生们自信心,在数学的世界中“为所欲为”,富有创新精神,思维活跃,在接解决数学问题时游刃有余。
以上我做了一些关于反证法在存在性问题、唯一性问题、分段命題的逆命题正确性问题证明的简单讨论,其实在数学世界中还有很多种类的问题可以用到反证法,像否定性问题、肯定性问题、无限性问题等许多难以直接证明的问题,反证法的应用能够给学生解决数学问题带来极大的便利,活跃学生的思维,平和学生的心态,开发自己的潜能,让学生们在考试以及生活中都能够熟练顺利地解决数学领域的问题,真正地做到学以致用,以用促学,二者相互促进,让学生能够更进一步,所以教师们也要重视数学反证法在高中阶段的重要性!
作者简介:
廖庚泰,甘肃省甘南藏族自治州,夏河县夏河中学。
关键词:高中数学;反证法;运用;思维能力
高中数学比初中数学深奥许多,存在很多难以直接解决的问题,像假设条件中不存在需要的有效条件、对问题的解决办法不能一目了然,这时候高中生就需要变换思路,尝试用反证法解决问题。
一、 反证法轻松解决存在性问题
存在性问题即涉及“存在”“必有”“至少有”“至多有”等关键词的命题,这类问题从一般逻辑出发,往往涉及分门别类、分段讨论等,比较麻烦,更容易让学生们眼花缭乱、思路混淆,这时候学生们不如采用迂回求解的办法,从原命题的逆否命题着手,我们知道若原命题为真,则其逆否命题为真,能够证明其逆否命题为真,问题就迎刃而解了。概括反证法的解决问题步骤就是:否定——推理——否定。在存在性问题的证明中,反证法无疑是解决问题最简洁的方法,学生们应该牢固掌握,并加以运用,来解决卷面和生活中的数学问题。
二、 反证法轻松解决唯一性问题
反证法在唯一性证明问题中的应用也非常普遍。唯一性问题即带有“唯一”“只有一个”等字眼的证明性问题。由于不同部分所适用的定义域的不同,学生们应该分类讨论,呈现在试卷上的也是长篇大论,还不如证明该问题的两个或者多个解是相同的,相应也就证明了该证明题的解是唯一的。反证法就是首先否定结论,作相反的判断,再将其当作已知条件,站在正常的逻辑思维角度,进行推理,所得结论与已知条件背道而驰,从而就能够证明原命题的正确性。以上观点也是反证法中矛盾律的体现:对于这样一种相同的事理,在对其的所有推理证明过程中,在同一理论体系下,一定不会存在矛盾。
比如,已知三角函数方程:x=sinx m(m是常数),试证明该三角函数方程的解是唯一的。
对于该证明题,利用反证法只需要从解的角度出发,相反观点就是该函数方程的解不唯一,然后求出其两个解,证明这两个解是相同的,所得结论与已知条件相违背,从而间接证明该证明题:
三、 反证法轻松解决分段式命题的逆命题
分断式命题即命题的主题以分段的形式书写,不同的表达方式有不同的定义域,这类证明问题,如果从正常的逻辑思维出发,就要论证两个甚至多个领域的命题的正确性,既繁琐又困难,像崎岖不平的山间小路,需要经历许多的曲折才能够“柳暗花明又一村”。如果采用反证法就会让广大学子们眼前一亮,这条路线就像宽阔而又笔直的马路直通胜利的彼岸,鼓舞学生们解决数学难题的气势,给予学生们自信心,在数学的世界中“为所欲为”,富有创新精神,思维活跃,在接解决数学问题时游刃有余。
以上我做了一些关于反证法在存在性问题、唯一性问题、分段命題的逆命题正确性问题证明的简单讨论,其实在数学世界中还有很多种类的问题可以用到反证法,像否定性问题、肯定性问题、无限性问题等许多难以直接证明的问题,反证法的应用能够给学生解决数学问题带来极大的便利,活跃学生的思维,平和学生的心态,开发自己的潜能,让学生们在考试以及生活中都能够熟练顺利地解决数学领域的问题,真正地做到学以致用,以用促学,二者相互促进,让学生能够更进一步,所以教师们也要重视数学反证法在高中阶段的重要性!
作者简介:
廖庚泰,甘肃省甘南藏族自治州,夏河县夏河中学。