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【摘要】通过数学教育来培养学生的思维能力已成为不争的事实。怎样在教学过程中发展学生思维，就显得尤为重要。本文从概念教学的四个方面即：从导入激活思维，理解展现思维，到应用拓展思维，再到反思提升思维展开论述。
【关键词】导入；理解；应用；反思
发展学生数学思维是数学新课程对课堂教学提出的重要要求。在数学概念学习中，课堂教学只有把握好教学过程，才能充分调动和激发学生的思维积极性，有效引导学生主动建构知识，从而揭示数学概念的本质。
一、概念的导入---激活学生思维
导入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。导入得好，能激发学生的学习积极性，为后序教学作好准备。因此，教学中应认清数学概念产生的方式及学生思维认知的特点，通过创设“教学情境”导入概念教学。
1.以数学史故事导入
数学概念的产生与自然客观的需求是分不开的，它昭示着人类进步与发展的历程。向学生介绍其产生的背景，能帮助学生更为深刻地认识与理解知识，激发学生的求知欲。不少数学概念的产生都有一个经典的故事。如“无理数”概念教学中，先讲一段数学史。毕达哥拉斯学派有一个信条：“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可以用有理数去描述。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，成为数学史上的第一次危机。据说希伯索斯为此被投进了大海，他为发现真理而献出了生命。真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，进而促进了数学的发展---希伯索斯所发现的这个数就是一种新的数，后人称这类数为无理数。
这样的教学还原了概念的原貌，鲜活的历史能激活学生的思维。诚如我国老一辈数学家余介石主张“历史之于教学可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序如何得以融合调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也。”
2.以感性材料导入
通过贴近学生的生活实例来对相应的概念做出解释，能使学生从感性认识上升到理性认识，有利于学生加深对概念的印象。如在教“轴对称变换”这一概念时，先介绍我国的剪纸艺术与建筑艺术，展现轴对称变换的过程。这样的教学注重了概念的现实背景，弘扬了民族文化，展现了数学美的一面，同时也能激活学生思维，激发学生学习兴趣。数学概念教学中的感性材料可以是学生日常生活中所接触的事物，也可以是教材中的实际问题及模型、图形、图表等。这类导入可发挥多媒体的优势，多方面调动学生的感官，由形象直观的认识逐步形成抽象的概括，为后序难点的突破作准备。
3.以动手操作导入
动手实践是新课程实施下的一个重要理念。在数学概念教学中，教师可让学生亲自动手尝试，在实验中得出结论。如在“概率”教学中，可通过设计让学生体验摸球领悟其含义；在圆柱、圆锥的侧面展开图，有关视图，截面等教学中，让学生课前先准备好模型，课堂上让学生现场操作。有时也可以通过让学生画图、拼图、剪纸等动手形式来导入。这类导入能让学生亲历知识的形成过程，激活学生思维，引领其思维向纵深延拓。
二、概念的理解---展现学生思维
概念的理解是概念教学的中心环节。把课堂中概念学习的权利还给学生，充分展现学生思维过程，以便让学生真正理解概念。
1.引导学生用自己的话描述概念---在说中展现学生思维
数学概念教学中，要引导学生抓住其本质特征，让学生扣准数学概念的关键词。为此，应淡化形式，注重过程，通过学生用自己的语言描述概念，在说中展现学生的思维。如在教学“二次根式”这个概念时，首先用多媒体引入排球网架情景，抽象出等腰三角形后，给出部分数据表示高度，然后出示直角三角形表示边长和正方形已知面积表示边长，分别列出代数式后，引导学生用自己的话来描述代数式的共同特点。抓住算术平方根这个关键词，概括出二次根式概念。学生一开始的概括往往不够全面，但随着不断补充与完善，概念的内涵就会显露出来。这样的教学在展现学生思维的同时，也发展了学生的语言表达能力及抽象、概括能力。
2.设计变式练习---在练中展现学生思维
“概念作为一种智慧技能的本质特征，在于它们能在不同于原先的学习情境中应用，而促进应用的关键是变式”。如教学“三角形的高”这一概念时，先呈现定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。接下去应呈现变式练习，让学生去尝试作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，引导学生发现规律。教学中应突出学生动手练习及学生板演，以此能展现学生的思维，暴露其存在的问题。另外，适当设计开放性的变式练习也有利于学生对概念的理解。如通过让学生自己写一个一元二次方程等形式能培养学生的发散性思维。
3.运用正例与反例---在辩中展现学生思维
通过举例让学生分辨，是数学概念教学中不可缺少的一个环节。数学概念中肯定例证传递的信息有利于数学概念抽象与概括，便于学生概括出数学概念的共同特征；数学的否定例证，传递的数学信息有助于学生进行辨析，辨别出数学概念的本质特征，达到排除无关特征的干扰；利用数学概念的肯定例证与否定例证，能达到分辨数学概念，剖析数学概念，展现学生思维的目的。如“二元一次方程组”概念教学，在初步了解概念的基础上，让学生辨别下列方程组是不是二元一次方程组？
这一应用就是代数式概念知觉水平上的应用。反之，若用上述若干个1×1的正方形和若干个a×1的长方形，拼出面积为3a+2和3（a+2）的长方形，画出示意图，标明数量关系。这一应用就是代数式概念在思维水平上的应用，有利于学生发散性思维与逆向思维能力的培养。
四、概念的反思---提升学生思维 对数学概念的深层理解，需要学生增强反思意识、形成反思习惯。这样，学生的思维就能不断得以提升，实现飞跃。
1.反思概念的本质---培养学生思维的深刻性
概念在内容上可分为内涵与外延两个方面。在数学概念教学中，要挖掘概念的内涵与外延，抓住其本质，使学生不仅知其然，更知其所以然。以“三角函数”为例，正弦涉及比的定义、角的大小、点的坐标、勾股定理、相似三角形、函数概念等知识。正弦的值本质上是一个“比值”，为了突出这个比值，可引导学生思考：这个比是∠A的对边与斜边的比值，只与∠A的大小有关，与∠A的对边与斜边的长度无关；由于是对边与斜边的比，所以这个比值不超过1。分析正弦概念的本质属性后应指出：直角三角函数还有五个，这便是三角函数的外延，初中学习其中三个：正弦、余弦、正切。
2.反思概念间的关系---培养学生思维的系统性
人类的思维反映和对客观世界的把握是通过概念体系来进行的。概念体系是人类的思维之网，各个概念是这张思维之网的各个“纽结”。教学中应注重学生对概念的类比，领悟之间的内在联系，科学地、系统地分析概念间的关系，形成概念体系，提升学生思维。如“四边形”认知图形的构建，把四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）知识有机地融合在一起。又如，把中心对称图形、成中心对称的概念教学与轴对称图形、成轴对称的概念进行类比，并把这些知识与图形的其他变换（平移变换、旋转变换、相似变换等）知识融合在一起，形成概念体系。
3.反思概念的实际应用---培养学生思维的创新性
问题解决能力的高低取决于如下相关要素：数学概念、数学技能、数学过程、态度与元认知。数学概念是解决数学问题所需要的基本数学知识，它是解决问题的前提条件。在概念教学中，不仅要让学生体悟到概念知识来源于实践，而且还应引导学生学会反思，反思概念在实际生活中的应用，发展学生的数学应用意识。如学习了“线段”概念后，学生已掌握了数线段的规律，并明白在直线上有n个点，可得到n（n-1）∕2条线段。然后引导学生思考：若每小组4名同学，每两人握一次手，共握几次手？若5名同学呢？n名呢？在此基础上进一步引导学生反思，你还能联想到实际生活中其它的应用吗？如篮球循环赛比赛场次的问题也可归于此类。在学习三角形的“内切圆”后，引导学生反思，如何帮工人从一块三角形的余料中截取一个面积最大的圆。这类教学，有利于学生创新思维的培养，经常会有意想不到的收获。
以上四个过程不是相互割裂的，而是相互交错的，四者相辅相成，辩证统一。教学过程中，教师应引导学生通过观察、比较、分析、归纳、抽象、概括、演绎等思维活动，引领学生进行数学概念知识的再创造，经历数学化。
参考文献：
[1]李铁安.义务教育课程标准（2011年版）案例式解读.初中数学.北京：教育科学出版社，2012.3.
[2]吴增生.例说3B教育理念下的数学概念教学策略.中国数学教育（初中版），2010（12）：2-5.
[3]雷明生.让数学阅读贯穿概念教学的全过程.中国数学教育（初中版），2012（7-8）：13-15.
[4]孙朝仁.数学教学中深化参与式教学法思想的实践与思考.中国数学教育（初中版），2012（3）：5-7.
[5]高惠莲.浅谈反思型课堂教学中的反思时机.中国数学教育（初中版），2011（9）：14-16.
[6]刘金英.数学概念教学中的“数学味道”.中国数学教育（初中版），2011（7-8）：50-51.
【关键词】导入；理解；应用；反思
发展学生数学思维是数学新课程对课堂教学提出的重要要求。在数学概念学习中，课堂教学只有把握好教学过程，才能充分调动和激发学生的思维积极性，有效引导学生主动建构知识，从而揭示数学概念的本质。
一、概念的导入---激活学生思维
导入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。导入得好，能激发学生的学习积极性，为后序教学作好准备。因此，教学中应认清数学概念产生的方式及学生思维认知的特点，通过创设“教学情境”导入概念教学。
1.以数学史故事导入
数学概念的产生与自然客观的需求是分不开的，它昭示着人类进步与发展的历程。向学生介绍其产生的背景，能帮助学生更为深刻地认识与理解知识，激发学生的求知欲。不少数学概念的产生都有一个经典的故事。如“无理数”概念教学中，先讲一段数学史。毕达哥拉斯学派有一个信条：“万物皆数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可以用有理数去描述。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，成为数学史上的第一次危机。据说希伯索斯为此被投进了大海，他为发现真理而献出了生命。真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，进而促进了数学的发展---希伯索斯所发现的这个数就是一种新的数，后人称这类数为无理数。
这样的教学还原了概念的原貌，鲜活的历史能激活学生的思维。诚如我国老一辈数学家余介石主张“历史之于教学可指示基本概念之有机发展情形，与夫心理及逻辑程序如何得以融合调剂，不至相背，反可相成，诚为教师最宜留意体会之一事也。”
2.以感性材料导入
通过贴近学生的生活实例来对相应的概念做出解释，能使学生从感性认识上升到理性认识，有利于学生加深对概念的印象。如在教“轴对称变换”这一概念时，先介绍我国的剪纸艺术与建筑艺术，展现轴对称变换的过程。这样的教学注重了概念的现实背景，弘扬了民族文化，展现了数学美的一面，同时也能激活学生思维，激发学生学习兴趣。数学概念教学中的感性材料可以是学生日常生活中所接触的事物，也可以是教材中的实际问题及模型、图形、图表等。这类导入可发挥多媒体的优势，多方面调动学生的感官，由形象直观的认识逐步形成抽象的概括，为后序难点的突破作准备。
3.以动手操作导入
动手实践是新课程实施下的一个重要理念。在数学概念教学中，教师可让学生亲自动手尝试，在实验中得出结论。如在“概率”教学中，可通过设计让学生体验摸球领悟其含义；在圆柱、圆锥的侧面展开图，有关视图，截面等教学中，让学生课前先准备好模型，课堂上让学生现场操作。有时也可以通过让学生画图、拼图、剪纸等动手形式来导入。这类导入能让学生亲历知识的形成过程，激活学生思维，引领其思维向纵深延拓。
二、概念的理解---展现学生思维
概念的理解是概念教学的中心环节。把课堂中概念学习的权利还给学生，充分展现学生思维过程，以便让学生真正理解概念。
1.引导学生用自己的话描述概念---在说中展现学生思维
数学概念教学中，要引导学生抓住其本质特征，让学生扣准数学概念的关键词。为此，应淡化形式，注重过程，通过学生用自己的语言描述概念，在说中展现学生的思维。如在教学“二次根式”这个概念时，首先用多媒体引入排球网架情景，抽象出等腰三角形后，给出部分数据表示高度，然后出示直角三角形表示边长和正方形已知面积表示边长，分别列出代数式后，引导学生用自己的话来描述代数式的共同特点。抓住算术平方根这个关键词，概括出二次根式概念。学生一开始的概括往往不够全面，但随着不断补充与完善，概念的内涵就会显露出来。这样的教学在展现学生思维的同时，也发展了学生的语言表达能力及抽象、概括能力。
2.设计变式练习---在练中展现学生思维
“概念作为一种智慧技能的本质特征，在于它们能在不同于原先的学习情境中应用，而促进应用的关键是变式”。如教学“三角形的高”这一概念时，先呈现定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。接下去应呈现变式练习，让学生去尝试作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，引导学生发现规律。教学中应突出学生动手练习及学生板演，以此能展现学生的思维，暴露其存在的问题。另外，适当设计开放性的变式练习也有利于学生对概念的理解。如通过让学生自己写一个一元二次方程等形式能培养学生的发散性思维。
3.运用正例与反例---在辩中展现学生思维
通过举例让学生分辨，是数学概念教学中不可缺少的一个环节。数学概念中肯定例证传递的信息有利于数学概念抽象与概括，便于学生概括出数学概念的共同特征；数学的否定例证，传递的数学信息有助于学生进行辨析，辨别出数学概念的本质特征，达到排除无关特征的干扰；利用数学概念的肯定例证与否定例证，能达到分辨数学概念，剖析数学概念，展现学生思维的目的。如“二元一次方程组”概念教学，在初步了解概念的基础上，让学生辨别下列方程组是不是二元一次方程组？
这一应用就是代数式概念知觉水平上的应用。反之，若用上述若干个1×1的正方形和若干个a×1的长方形，拼出面积为3a+2和3（a+2）的长方形，画出示意图，标明数量关系。这一应用就是代数式概念在思维水平上的应用，有利于学生发散性思维与逆向思维能力的培养。
四、概念的反思---提升学生思维 对数学概念的深层理解，需要学生增强反思意识、形成反思习惯。这样，学生的思维就能不断得以提升，实现飞跃。
1.反思概念的本质---培养学生思维的深刻性
概念在内容上可分为内涵与外延两个方面。在数学概念教学中，要挖掘概念的内涵与外延，抓住其本质，使学生不仅知其然，更知其所以然。以“三角函数”为例，正弦涉及比的定义、角的大小、点的坐标、勾股定理、相似三角形、函数概念等知识。正弦的值本质上是一个“比值”，为了突出这个比值，可引导学生思考：这个比是∠A的对边与斜边的比值，只与∠A的大小有关，与∠A的对边与斜边的长度无关；由于是对边与斜边的比，所以这个比值不超过1。分析正弦概念的本质属性后应指出：直角三角函数还有五个，这便是三角函数的外延，初中学习其中三个：正弦、余弦、正切。
2.反思概念间的关系---培养学生思维的系统性
人类的思维反映和对客观世界的把握是通过概念体系来进行的。概念体系是人类的思维之网，各个概念是这张思维之网的各个“纽结”。教学中应注重学生对概念的类比，领悟之间的内在联系，科学地、系统地分析概念间的关系，形成概念体系，提升学生思维。如“四边形”认知图形的构建，把四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等）知识有机地融合在一起。又如，把中心对称图形、成中心对称的概念教学与轴对称图形、成轴对称的概念进行类比，并把这些知识与图形的其他变换（平移变换、旋转变换、相似变换等）知识融合在一起，形成概念体系。
3.反思概念的实际应用---培养学生思维的创新性
问题解决能力的高低取决于如下相关要素：数学概念、数学技能、数学过程、态度与元认知。数学概念是解决数学问题所需要的基本数学知识，它是解决问题的前提条件。在概念教学中，不仅要让学生体悟到概念知识来源于实践，而且还应引导学生学会反思，反思概念在实际生活中的应用，发展学生的数学应用意识。如学习了“线段”概念后，学生已掌握了数线段的规律，并明白在直线上有n个点，可得到n（n-1）∕2条线段。然后引导学生思考：若每小组4名同学，每两人握一次手，共握几次手？若5名同学呢？n名呢？在此基础上进一步引导学生反思，你还能联想到实际生活中其它的应用吗？如篮球循环赛比赛场次的问题也可归于此类。在学习三角形的“内切圆”后，引导学生反思，如何帮工人从一块三角形的余料中截取一个面积最大的圆。这类教学，有利于学生创新思维的培养，经常会有意想不到的收获。
以上四个过程不是相互割裂的，而是相互交错的，四者相辅相成，辩证统一。教学过程中，教师应引导学生通过观察、比较、分析、归纳、抽象、概括、演绎等思维活动，引领学生进行数学概念知识的再创造，经历数学化。
参考文献：
[1]李铁安.义务教育课程标准（2011年版）案例式解读.初中数学.北京：教育科学出版社，2012.3.
[2]吴增生.例说3B教育理念下的数学概念教学策略.中国数学教育（初中版），2010（12）：2-5.
[3]雷明生.让数学阅读贯穿概念教学的全过程.中国数学教育（初中版），2012（7-8）：13-15.
[4]孙朝仁.数学教学中深化参与式教学法思想的实践与思考.中国数学教育（初中版），2012（3）：5-7.
[5]高惠莲.浅谈反思型课堂教学中的反思时机.中国数学教育（初中版），2011（9）：14-16.
[6]刘金英.数学概念教学中的“数学味道”.中国数学教育（初中版），2011（7-8）：50-51.