论文部分内容阅读
集合与函数是高中数学的基础知识，也是学好高中数学的基础。大家要想学好这部分知识，理解概念是关键，在掌握概念的基础上，要学会灵活运用。下面介绍这部分的常考题型，供大家参考。
一、集合的基本概念
（1）用描述法表示集合时，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合。（2）集合中元素的互异性容易被忽略，求解问题时要特别注意。（3）分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。
倒1 若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4），且下列4个关系：①a=l，②b≠1，③c=2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是______。
解：若①正确，则②③④不正确，可知b≠1不正确，即b=l，与a=l矛盾，可知①不正确。
若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d=4。由a≠1，b≠l，c≠2，知满足条件的有序数组为（3，2，1，4）或（2，3，1，4）。
若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d=4。由②不正确，得b=l。知满足条件的有序数组为（3，1，2，4）。
若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b-l。由a≠1，c≠2，d≠4，知满足条件的有序数组为（2，l，4，3）或（3，1，4，2）或（4，1，3，2）。
综上所述，满足条件的有序数组的个数为6。
跟踪练习1：已知集合A={a，a+b，a+2b），B={a，ac，ac2}，若A=B，求c的值。
提示：利用集合相等，转化为方程问题来解决。
若a十b=ac，且a+2b=ac2，消去b，则a-2ac+ac2=0。
显然a≠0，否则集合B的元素均为O，与集合中元素的互异性矛盾，所以1-2c+c2=0，得c=l，这时B={a，a，a}，仍与集合中元素的互异性矛盾。
二、集合间的基本关系
（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则容易产生漏解。（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。常用数轴、Venn图来直观解决这类问颢。
三、集合的基本运算
（1）-般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况。（2）对集合的运算要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算更简化。
四、函数的概念
函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数。值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同）。
五、求函数的解析式
求函数的解析式的主要方法有：待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
六、利用函数的单调性求参数
已知函数的单调性确定参数的值或范围时要注意两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值。
数的值域为（m，1），所以f（a）+f（b）>2m，f（c）<1，可得2m≥1，即m≥1/2。
综上可知，1/2≤m≤2。
应选A。
跟踪练习6：设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意z∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是_____。
提示：当x≥O时，f（x）=x2，可知f（x）是[0，+∞）上的增函数。又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）是R上的增函数。
对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即对任意x∈[a，a+2]，x+a≥3x十l，即a≥2x十l成立。
因为函数y=2x+1是[a，a+2]上的增函数，所以y=2x+l有最大值2a+5，可得a≥2a+5，a≤-5，即a∈（-∞，-5]。
答案为（-∞，-5]。
七、判断函数的奇偶性
（1）利用定义判断函数的奇偶性。（2）在判断函数奇偶性的运算中，可以转化为判断函数关系式：f（x）+f（-x）=0或f（x）-f（-x）=0是否成立。
例7 设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）。
A.f（x）g（x）是偶函数
B.|f（x）|g（x）是奇函数
C.f（x）|g（x）|是奇函数
D.|f（x）g（x）|是奇函数
解：偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数。
应选C。
跟踪练习7：已知y=f（x）是奇函数。
若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（-1）=____。
提示：本题考查奇函数的定义及函数值的求法。
因为f（x）为奇函数，所以f（-1）=-f（1）。
g（1）=f（1）+2 ①。
g（-1）=f（-1）+2 ②。
由①+②得g（1）+g（-1） =4，所以g（-1）=4-g（1）=3。 八、函数性质的综合应用
关于奇偶性、单调性、周期性的综合问题，其解题的关键是利用函数的奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，这体现了数学中的转化思想。
对称轴为直线x=2。因为函数f（x）是奇函数，其定义域为R，所以f（0）=O，可得f（8）=f（-4）=-f（4）=-f（0）=0。所以f（8）+f（9）=0+f（-5）=-f（5）=-f（-1）=f（1）=1。
应选D。
（方法2）由f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，可设g（x）=f（x+2），则g（-x）=g（x），即f（-x+2）=f（x+2）。
因为f（x）是奇函数，所以f（-x+2）=f（x+2）=-f（x-2），即f（x+4）=-f（x），可得f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x）。
所以函数f（x）的周期为8。
所以f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，可得f（8）+f（9）=1。
应选D。
九、函数的图像问题
（1）识图：对于给定函数的图像，要从图像的左右分布范围、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，要注意函数图像与函数解析式中参数的关系。（2）用图：函数的图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具。解题时要重视数形结合的思想方法。
十、复合函数问题
对于复合函数y=f[g（x）]，t=g（x）在区间（a，b）上是单调函数，且y=f（t）在区间（g（a），g（b））或者（g（b），g（a））上是单调函数，若t=g（x）与y=f（t）的单调性相同（同增或同减），则y=f[g（x）]为增函数；若t=g（x）与y=f（t）的单调性相反，则y=f[g（x）]为减函数。简称为“同增异减”。
十一、函数的创新题
这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查同学们获取信息、分析信息并解决问题的能力。
十二、取整函数（高斯函数）
设x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=[x]叫做取整函数（或高斯函数）。
取整函数是近几年高考命题的热点。
一、集合的基本概念
（1）用描述法表示集合时，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合。（2）集合中元素的互异性容易被忽略，求解问题时要特别注意。（3）分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。
倒1 若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4），且下列4个关系：①a=l，②b≠1，③c=2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是______。
解：若①正确，则②③④不正确，可知b≠1不正确，即b=l，与a=l矛盾，可知①不正确。
若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d=4。由a≠1，b≠l，c≠2，知满足条件的有序数组为（3，2，1，4）或（2，3，1，4）。
若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d=4。由②不正确，得b=l。知满足条件的有序数组为（3，1，2，4）。
若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b-l。由a≠1，c≠2，d≠4，知满足条件的有序数组为（2，l，4，3）或（3，1，4，2）或（4，1，3，2）。
综上所述，满足条件的有序数组的个数为6。
跟踪练习1：已知集合A={a，a+b，a+2b），B={a，ac，ac2}，若A=B，求c的值。
提示：利用集合相等，转化为方程问题来解决。
若a十b=ac，且a+2b=ac2，消去b，则a-2ac+ac2=0。
显然a≠0，否则集合B的元素均为O，与集合中元素的互异性矛盾，所以1-2c+c2=0，得c=l，这时B={a，a，a}，仍与集合中元素的互异性矛盾。
二、集合间的基本关系
（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则容易产生漏解。（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。常用数轴、Venn图来直观解决这类问颢。
三、集合的基本运算
（1）-般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况。（2）对集合的运算要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算更简化。
四、函数的概念
函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数。值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的（判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同）。
五、求函数的解析式
求函数的解析式的主要方法有：待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
六、利用函数的单调性求参数
已知函数的单调性确定参数的值或范围时要注意两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值。
数的值域为（m，1），所以f（a）+f（b）>2m，f（c）<1，可得2m≥1，即m≥1/2。
综上可知，1/2≤m≤2。
应选A。
跟踪练习6：设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意z∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是_____。
提示：当x≥O时，f（x）=x2，可知f（x）是[0，+∞）上的增函数。又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）是R上的增函数。
对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即对任意x∈[a，a+2]，x+a≥3x十l，即a≥2x十l成立。
因为函数y=2x+1是[a，a+2]上的增函数，所以y=2x+l有最大值2a+5，可得a≥2a+5，a≤-5，即a∈（-∞，-5]。
答案为（-∞，-5]。
七、判断函数的奇偶性
（1）利用定义判断函数的奇偶性。（2）在判断函数奇偶性的运算中，可以转化为判断函数关系式：f（x）+f（-x）=0或f（x）-f（-x）=0是否成立。
例7 设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）。
A.f（x）g（x）是偶函数
B.|f（x）|g（x）是奇函数
C.f（x）|g（x）|是奇函数
D.|f（x）g（x）|是奇函数
解：偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数。
应选C。
跟踪练习7：已知y=f（x）是奇函数。
若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（-1）=____。
提示：本题考查奇函数的定义及函数值的求法。
因为f（x）为奇函数，所以f（-1）=-f（1）。
g（1）=f（1）+2 ①。
g（-1）=f（-1）+2 ②。
由①+②得g（1）+g（-1） =4，所以g（-1）=4-g（1）=3。 八、函数性质的综合应用
关于奇偶性、单调性、周期性的综合问题，其解题的关键是利用函数的奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，这体现了数学中的转化思想。
对称轴为直线x=2。因为函数f（x）是奇函数，其定义域为R，所以f（0）=O，可得f（8）=f（-4）=-f（4）=-f（0）=0。所以f（8）+f（9）=0+f（-5）=-f（5）=-f（-1）=f（1）=1。
应选D。
（方法2）由f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，可设g（x）=f（x+2），则g（-x）=g（x），即f（-x+2）=f（x+2）。
因为f（x）是奇函数，所以f（-x+2）=f（x+2）=-f（x-2），即f（x+4）=-f（x），可得f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x）。
所以函数f（x）的周期为8。
所以f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，可得f（8）+f（9）=1。
应选D。
九、函数的图像问题
（1）识图：对于给定函数的图像，要从图像的左右分布范围、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，要注意函数图像与函数解析式中参数的关系。（2）用图：函数的图像形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具。解题时要重视数形结合的思想方法。
十、复合函数问题
对于复合函数y=f[g（x）]，t=g（x）在区间（a，b）上是单调函数，且y=f（t）在区间（g（a），g（b））或者（g（b），g（a））上是单调函数，若t=g（x）与y=f（t）的单调性相同（同增或同减），则y=f[g（x）]为增函数；若t=g（x）与y=f（t）的单调性相反，则y=f[g（x）]为减函数。简称为“同增异减”。
十一、函数的创新题
这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查同学们获取信息、分析信息并解决问题的能力。
十二、取整函数（高斯函数）
设x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=[x]叫做取整函数（或高斯函数）。
取整函数是近几年高考命题的热点。