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同学们，也许在读小学甚至读幼儿园的时候老师就教过您：“0乘以任何数都得0”，如果我们用数学符号语言来描述这一数学事实就是：“若a=0，b=0，则x取任意实数等式ax=b都成立”.那么它的逆命题就是：“若x取任意实数等式ax=b都成立，则a=0，b=0”.当然它的逆命题还可以作如下改进：
定理 若x能取到至少两个不同的实数满足等式ax=b，则a=0，b=0.
证明 设x取x1和x2时满足等式ax=b，(x1≠x2).
则ax1=b，ax2=b.
两式相减得a(x1-x2)=0，
显然x1-x2≠0，
所以a=0，
代入ax=b知b=0.
显然上述结论很简单，但它在解决数学问题确有着神奇的运用，下面就结合实例谈谈它的应用.
1 对方程(组)解的讨论
例1 (第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题)关于x，y的方程组x+ay+1=0，
bx-2y+1=0有无数组解，则a，b的值为( )
A.a=0，b=0 B.a=-2，b=1
C.a=2，b=-1D.a=2，b=1
分析 利用代入消元法，可将原方程组化为(ab+2)y=1-b，由于y有无数个解，所以ab+2=0，1-b=0，即a=-2，b=1.故答案选B.
例2 (2008年全国初中数学联合竞赛(天津赛区)试题) 已知实数a、b、c、d使得方程(x-a)(x+b)-24=(x+c)(x+d)对一切实数x均成立，那么当代数式a2+b2+c2+d2+ab+cd-4a-4b+8c+8d+10取到最小值时，a+b+c+d的值为多少?
分析 化简原方程，得到
(b-a-c-d)x=ab+cd+24，
因为此方程对一切实数x均成立，故得到：
b-a=c+d，①
-ab-24=cd.②
而①2-②×2，得a2+b2=c2+d2.③
将①、②、③式代入所求代数式中，得
原式=a2+b2+a2+b2+48-24-4a-4b+8(b-a)+10
=2a2+2b2-12a+4b+34
=2(a-3)2+2(b+1)2+14.
故在a-3=0，b+1=0 ，即a=3，b=-1时，该式取到最小值14，此时c+d=-1-3=-4，于是a+b+c+d=3+(-1)+(-4)=-2.
2 等式恒成立问题
例3 (2006年山东省初中数学竞赛试题)已知整数a、b、c使等式(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)对于任意x均成立，求c的值.
分析 对于等式两边展开合并可得
(a+b+c+10)x=10c-ab-11.
因为等式对于任意x均成立，所以a+b+c+10=0
10c-ab-1=0消去c，便有ab+10(a+b)+111=0，
即(a+10)(b+10)=-11=-11×1，
因为a、b是整数，所以a+10=1，-1，11，-11，
b+10=-11，11，1，-1.
进一步可得c=-(a+b+10)=20或0.
例4 如果使分式ak+7bk+11有意义的一切k的值，都使这个分式的值是一个定值，试问a、b应满足怎样的关系?
分析 不妨设ak+7ak+11=t，t为定值.
以k为主元将等式化为(a-bt)k=11t-7，所以a-bt=0，11t-7=0，即t=711，ab=711.
点评 在例4中我们运用了主元思想，就是把等式中的某个字母视为未知数，其它的视为已知数对其进行变形，这是运用于等式恒等变形的一种常用方法.
3 函数图象恒过定点问题
例5 不论m为何值时，直线y=(m-1)x+2m-1都经过某一个定点，请求出这个定点.
分析 将直线解析式化为(x+2)m=x+y+1，即x+2=0，x+y+1=0，解得x=-2，y=1，因此经过的定点为(-2，1).
例6 (2002年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛)如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线y=m-1mx2+2mx-m-3m在平面直角坐标系中都经过两个定点，那么这两个定点的距离是.
分析 二次函数可化为my=mx2-x2+2x-m+3，即(x2-y-1)m=x2-2x-3，
因为m取不等于0和1的任意实数上式都成立.
所以x2-y-1=0
x2-2x-3=0，
解得x1=-1
y1=0，x2=3
y2=8.
即这两个定点为(-1，0)，(3，8)，利用两点间距离公式可求得这两个定点的距离是45.
注 在求解函数图象恒过定点问题中，还有一种常用的方法就是取特殊值法.
同学们，通过以上的讨论我想告诉大家，数学是一门普遍联系的的科学，如果我们换一个角度去思考，或许一个简单的数学问题也会有意想不到的收获.
作者简介 沈毅，男，1982年生，重庆合川人.主要从事数学教育、数学竞赛、初等数学及数学竞赛命题研究工作，在国内中学数学各级刊物上发表文章30余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
定理 若x能取到至少两个不同的实数满足等式ax=b，则a=0，b=0.
证明 设x取x1和x2时满足等式ax=b，(x1≠x2).
则ax1=b，ax2=b.
两式相减得a(x1-x2)=0，
显然x1-x2≠0，
所以a=0，
代入ax=b知b=0.
显然上述结论很简单，但它在解决数学问题确有着神奇的运用，下面就结合实例谈谈它的应用.
1 对方程(组)解的讨论
例1 (第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题)关于x，y的方程组x+ay+1=0，
bx-2y+1=0有无数组解，则a，b的值为( )
A.a=0，b=0 B.a=-2，b=1
C.a=2，b=-1D.a=2，b=1
分析 利用代入消元法，可将原方程组化为(ab+2)y=1-b，由于y有无数个解，所以ab+2=0，1-b=0，即a=-2，b=1.故答案选B.
例2 (2008年全国初中数学联合竞赛(天津赛区)试题) 已知实数a、b、c、d使得方程(x-a)(x+b)-24=(x+c)(x+d)对一切实数x均成立，那么当代数式a2+b2+c2+d2+ab+cd-4a-4b+8c+8d+10取到最小值时，a+b+c+d的值为多少?
分析 化简原方程，得到
(b-a-c-d)x=ab+cd+24，
因为此方程对一切实数x均成立，故得到：
b-a=c+d，①
-ab-24=cd.②
而①2-②×2，得a2+b2=c2+d2.③
将①、②、③式代入所求代数式中，得
原式=a2+b2+a2+b2+48-24-4a-4b+8(b-a)+10
=2a2+2b2-12a+4b+34
=2(a-3)2+2(b+1)2+14.
故在a-3=0，b+1=0 ，即a=3，b=-1时，该式取到最小值14，此时c+d=-1-3=-4，于是a+b+c+d=3+(-1)+(-4)=-2.
2 等式恒成立问题
例3 (2006年山东省初中数学竞赛试题)已知整数a、b、c使等式(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)对于任意x均成立，求c的值.
分析 对于等式两边展开合并可得
(a+b+c+10)x=10c-ab-11.
因为等式对于任意x均成立，所以a+b+c+10=0
10c-ab-1=0消去c，便有ab+10(a+b)+111=0，
即(a+10)(b+10)=-11=-11×1，
因为a、b是整数，所以a+10=1，-1，11，-11，
b+10=-11，11，1，-1.
进一步可得c=-(a+b+10)=20或0.
例4 如果使分式ak+7bk+11有意义的一切k的值，都使这个分式的值是一个定值，试问a、b应满足怎样的关系?
分析 不妨设ak+7ak+11=t，t为定值.
以k为主元将等式化为(a-bt)k=11t-7，所以a-bt=0，11t-7=0，即t=711，ab=711.
点评 在例4中我们运用了主元思想，就是把等式中的某个字母视为未知数，其它的视为已知数对其进行变形，这是运用于等式恒等变形的一种常用方法.
3 函数图象恒过定点问题
例5 不论m为何值时，直线y=(m-1)x+2m-1都经过某一个定点，请求出这个定点.
分析 将直线解析式化为(x+2)m=x+y+1，即x+2=0，x+y+1=0，解得x=-2，y=1，因此经过的定点为(-2，1).
例6 (2002年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛)如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线y=m-1mx2+2mx-m-3m在平面直角坐标系中都经过两个定点，那么这两个定点的距离是.
分析 二次函数可化为my=mx2-x2+2x-m+3，即(x2-y-1)m=x2-2x-3，
因为m取不等于0和1的任意实数上式都成立.
所以x2-y-1=0
x2-2x-3=0，
解得x1=-1
y1=0，x2=3
y2=8.
即这两个定点为(-1，0)，(3，8)，利用两点间距离公式可求得这两个定点的距离是45.
注 在求解函数图象恒过定点问题中，还有一种常用的方法就是取特殊值法.
同学们，通过以上的讨论我想告诉大家，数学是一门普遍联系的的科学，如果我们换一个角度去思考，或许一个简单的数学问题也会有意想不到的收获.
作者简介 沈毅，男，1982年生，重庆合川人.主要从事数学教育、数学竞赛、初等数学及数学竞赛命题研究工作，在国内中学数学各级刊物上发表文章30余篇.
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”