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【摘要】《曹冲称象》、《乌鸦喝水》、《司马光砸缸》故事之所以流传千古,至今还在启迪人们的智慧,是因为主人公在解决问题时实现有效的问题转化。数学中的转化思想、转化方法,学生喜闻乐见,有的已成为学生终生享用财富。同时实现有效的问题转化是一种创造,需要知识、经验、能力的支持,也需要遵守问题转化的原则。
【关键词】数学;转化问题;方法
1 日常生活中转化现象的启示
水的势能通过发电厂转化为电能,发电机是转化的机器,发电机的高效是转化的关键。货币通过市场交易转化为日常必需品,市场交易是转化的手段,市场是转化的关键。鸡蛋转化为小鸡,孵化是转化的条件,孵化过程是转化的关键。在这里,转化的机器、转化的场所、转化的条件统称为转化的方法。
2 转化问题的经典回放
《曹冲称象》的故事之所以能启迪几代人的聪明才智,是因为曹冲把不能秤重的大象的质量通过渡船转化为可秤重的石头的质量;《乌鸦喝水》的故事之所以能开发孩子的智力,是因为乌鸦把石头的体积转化为升高水柱的体积;他们的转化问题方法的合理、简单、有效,可谓令人赞叹。《司马光砸缸》的故事之所以让人耳目一新、赞不绝口,是因为司马光在救落水儿童时有许多种方法,譬如:跳入缸中直接救人;去叫大人来施救;向缸中插入竹杆让儿童逃离危险;把缸翻倒让水倒掉,达到救人目的等等。在这些救人的方案中,根据当时特定的实际情况,只有砸缸放水、转化为救人的方案最为简便、熟悉、有效、合理。虽然 不是直接转化,但转化的有效性、合理性、思维的创造性,让人感到司马光确实聪明绝顶。
3 初中数学教材中,有效转化问题的采拮
转化是数学中最常用的数学思想,其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的、抽象的问题通过演绎、归纳转化为已知的、熟悉的、简单的、形象的问题。数的计算、代数式、方程、函数、三角函数、几何变换、因式分解、解析几何、微积分、乃至尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想。打开浙江省义务教育初中数学教材,有效转化数学问题充溢着整个教科书,象闪烁的星星点缀着教材。现列举一些常见的、简单的例子:
教学实践中,教师围绕转化数学问题进行课堂教学,学生会对教学的思路加深理解,产生兴趣,进而愿意听,愿意学,乐意做。同时,教师围绕转化数学问题教学,还能发挥数学教育的功能,当学生的思想与教学思想产生共鸣碰撞出火花之时,将对培养学生分析问题解决问题的能力,以及培养学生的创造能力起着巨大的推动作用。那些合理、简单、熟悉、形象、有效地转化问题的方法也将成为学生终身享用的财富。
4 转化数学问题在解题中应用举例
转化是常用的、活跃的数学思想。所谓转化数学问题是把所要解决的问题转化(归结)为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。即化难为易,化繁为简,化未知为已知,化陌生为熟悉。罗莎•彼得曾经描述:人们“往往不是对问题实行正面的攻击,而是将它不断地变形,直至把它转化成能够得到解决的问题。”数学大师华罗庚在解答数学问题时也说过;“把一个比较复杂的问题退成(转化)最简单、最原始的问题”;著名数学家莫斯科大学教授AC雅洁卡娅在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出;“解题就是把要解的题转化为已经解过的题,数学解题过程就是从未知向已知、从复杂向简单的转化过程”在数学解题中常见的转化就有:一般——特殊的转化,复杂——简单的转化,数——形转化,构造转化,联想转化,类比转化等。现举例如下:
4.1 用等价命题转化数学问题
已知二次函数y=2x2―3x+1和一次函数y=x+k。(1)当k取什么值时,两函数图象有两个交点,(2)当k取什么值时,两图象有一个交点,(3)当k取什么值时,两图象没有交点。
分析:直接解题,无法表述,无法进行,只能用等价命题转化此问题,这是必经之路。
此命题等价于(二)方程组y=2x2-3x+1y=x+k,(1)k取什么值时,方程组有两组解,(2)k取什么值时,方程组有一组解,(3)k取什么值时,方程组没有解。
此题命题也等价于(三)一元二次方程,2x2―4x+(1―k)=0,(1)k取什么值时,方程有两个不相等的实数根,(2)k取什么值时,方程有两个相等的实数根,(3)k取什么值时,方程没有实数根。
此命题又等价于(四)根的判别式“△”的值,(1)当△>0,(2)△=0,(3)△<0。并由(四)的结论确定(1)的答案。
解:△=(―4)2―4×2(1―k)=8k+8
令8k+8>0,则k>―1,当k>―1时,两函数图象有两个交点;
令8k+8=0,则k=―1,当k=―1时,两图象有一个交点;
令8k+8<0,则k<―1,当k<―1时,两图象没有交点。
解题反思;利用等价命题能将复杂的,难以表达的命题转化成简单的、熟悉的命题,简便有效。当然,冰冻三尺、非一日之寒,有效完成等价命题转化还需要相应的知识,经验、能力。
4.2 用假设转化数学问题
计算;
2007
(2007-2009)(2007-2011)+
2009
(2009-2011)(2009-2007+
2011(2011-2007)(2011-2009
分析:直接计算此题简直无从下手,无章可寻,因此只能把此题通过假设化解,使数字运算转化为字母代数法,这样计算得以顺利进行。
解:设2007=a,2009=b,2011=c,则
原式=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b
=-a(b-c)-b(c-a)-c(b-a)(a-b)(b-c)(c-a)
=-ab+ac-bc+ab-ac+bc(a-b)(b-c)(c-a)
=0。
解题反思:用假设方法不仅能把复杂问题转化为简单问题,还能把几何问题转化为代数问题,把间接证明转化为直接证明,把一般问题转化为特殊问题,把实际问题转化为数学问题等等,诸如此类,在此不再一一举例。
由此可见,实现有效的问题转化是一种积极的创造,需要相应知识、能力的支持,也需要合理、简单、熟悉、形象、有效问题转化的原则的遵循。
参考文献
[1]周国镇.“希望杯”数学能力培训教程[S].北京:气象出版社,2005.
[2]丁保荣.新课标数学竞赛阶梯训练[S].杭州:浙江大学出版社,2006.
[3]浙江教育出版社.义教初中数学教学参考书[S].杭州:浙江教育出版社,1998.
【关键词】数学;转化问题;方法
1 日常生活中转化现象的启示
水的势能通过发电厂转化为电能,发电机是转化的机器,发电机的高效是转化的关键。货币通过市场交易转化为日常必需品,市场交易是转化的手段,市场是转化的关键。鸡蛋转化为小鸡,孵化是转化的条件,孵化过程是转化的关键。在这里,转化的机器、转化的场所、转化的条件统称为转化的方法。
2 转化问题的经典回放
《曹冲称象》的故事之所以能启迪几代人的聪明才智,是因为曹冲把不能秤重的大象的质量通过渡船转化为可秤重的石头的质量;《乌鸦喝水》的故事之所以能开发孩子的智力,是因为乌鸦把石头的体积转化为升高水柱的体积;他们的转化问题方法的合理、简单、有效,可谓令人赞叹。《司马光砸缸》的故事之所以让人耳目一新、赞不绝口,是因为司马光在救落水儿童时有许多种方法,譬如:跳入缸中直接救人;去叫大人来施救;向缸中插入竹杆让儿童逃离危险;把缸翻倒让水倒掉,达到救人目的等等。在这些救人的方案中,根据当时特定的实际情况,只有砸缸放水、转化为救人的方案最为简便、熟悉、有效、合理。虽然 不是直接转化,但转化的有效性、合理性、思维的创造性,让人感到司马光确实聪明绝顶。
3 初中数学教材中,有效转化问题的采拮
转化是数学中最常用的数学思想,其精髓在于将未知的、陌生的、复杂的、抽象的问题通过演绎、归纳转化为已知的、熟悉的、简单的、形象的问题。数的计算、代数式、方程、函数、三角函数、几何变换、因式分解、解析几何、微积分、乃至尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想。打开浙江省义务教育初中数学教材,有效转化数学问题充溢着整个教科书,象闪烁的星星点缀着教材。现列举一些常见的、简单的例子:
教学实践中,教师围绕转化数学问题进行课堂教学,学生会对教学的思路加深理解,产生兴趣,进而愿意听,愿意学,乐意做。同时,教师围绕转化数学问题教学,还能发挥数学教育的功能,当学生的思想与教学思想产生共鸣碰撞出火花之时,将对培养学生分析问题解决问题的能力,以及培养学生的创造能力起着巨大的推动作用。那些合理、简单、熟悉、形象、有效地转化问题的方法也将成为学生终身享用的财富。
4 转化数学问题在解题中应用举例
转化是常用的、活跃的数学思想。所谓转化数学问题是把所要解决的问题转化(归结)为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。即化难为易,化繁为简,化未知为已知,化陌生为熟悉。罗莎•彼得曾经描述:人们“往往不是对问题实行正面的攻击,而是将它不断地变形,直至把它转化成能够得到解决的问题。”数学大师华罗庚在解答数学问题时也说过;“把一个比较复杂的问题退成(转化)最简单、最原始的问题”;著名数学家莫斯科大学教授AC雅洁卡娅在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出;“解题就是把要解的题转化为已经解过的题,数学解题过程就是从未知向已知、从复杂向简单的转化过程”在数学解题中常见的转化就有:一般——特殊的转化,复杂——简单的转化,数——形转化,构造转化,联想转化,类比转化等。现举例如下:
4.1 用等价命题转化数学问题
已知二次函数y=2x2―3x+1和一次函数y=x+k。(1)当k取什么值时,两函数图象有两个交点,(2)当k取什么值时,两图象有一个交点,(3)当k取什么值时,两图象没有交点。
分析:直接解题,无法表述,无法进行,只能用等价命题转化此问题,这是必经之路。
此命题等价于(二)方程组y=2x2-3x+1y=x+k,(1)k取什么值时,方程组有两组解,(2)k取什么值时,方程组有一组解,(3)k取什么值时,方程组没有解。
此题命题也等价于(三)一元二次方程,2x2―4x+(1―k)=0,(1)k取什么值时,方程有两个不相等的实数根,(2)k取什么值时,方程有两个相等的实数根,(3)k取什么值时,方程没有实数根。
此命题又等价于(四)根的判别式“△”的值,(1)当△>0,(2)△=0,(3)△<0。并由(四)的结论确定(1)的答案。
解:△=(―4)2―4×2(1―k)=8k+8
令8k+8>0,则k>―1,当k>―1时,两函数图象有两个交点;
令8k+8=0,则k=―1,当k=―1时,两图象有一个交点;
令8k+8<0,则k<―1,当k<―1时,两图象没有交点。
解题反思;利用等价命题能将复杂的,难以表达的命题转化成简单的、熟悉的命题,简便有效。当然,冰冻三尺、非一日之寒,有效完成等价命题转化还需要相应的知识,经验、能力。
4.2 用假设转化数学问题
计算;
2007
(2007-2009)(2007-2011)+
2009
(2009-2011)(2009-2007+
2011(2011-2007)(2011-2009
分析:直接计算此题简直无从下手,无章可寻,因此只能把此题通过假设化解,使数字运算转化为字母代数法,这样计算得以顺利进行。
解:设2007=a,2009=b,2011=c,则
原式=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b
=-a(b-c)-b(c-a)-c(b-a)(a-b)(b-c)(c-a)
=-ab+ac-bc+ab-ac+bc(a-b)(b-c)(c-a)
=0。
解题反思:用假设方法不仅能把复杂问题转化为简单问题,还能把几何问题转化为代数问题,把间接证明转化为直接证明,把一般问题转化为特殊问题,把实际问题转化为数学问题等等,诸如此类,在此不再一一举例。
由此可见,实现有效的问题转化是一种积极的创造,需要相应知识、能力的支持,也需要合理、简单、熟悉、形象、有效问题转化的原则的遵循。
参考文献
[1]周国镇.“希望杯”数学能力培训教程[S].北京:气象出版社,2005.
[2]丁保荣.新课标数学竞赛阶梯训练[S].杭州:浙江大学出版社,2006.
[3]浙江教育出版社.义教初中数学教学参考书[S].杭州:浙江教育出版社,1998.