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【摘要】重积分是高等数学的重要内容,对其研究具有很重要的意义.很多学生对重积分理解得不够透彻,利用一题多解的思维可以提升学生的思维发散能力,值得教师们借鉴.用三种不同的解法研究一类重积分的题目,并且将其推广得出一个一般性的定理.定理叙述如下:
设函数 在区域D: 上有二阶连续偏导数,且 存在,则
其中
关键词:重积分 高等数学 积分计算
例1(北京市大学生数学竞赛赛题):设函数 在区域D: 上有二阶连续偏导数,且 ,证明:
证法1 利用极坐标,本题的关键,是把被积函数变化成所给等式左端的形式.在半径为 的圆周 上运用格林公式得
记 为半径是r的圆周, 为 包围的区域 , ,于是上式的内层积分,可看作是沿闭曲线 (逆时针方向)的曲线积分
于是有
由弧微分关系 ,且积分区域为0 ,因而 相当于沿着 的积分,积分方向为逆时针方向.以此上式中的积分区域 相当于 ,进而可得
其中 为 在点 处的法线方向向量,因而上式相当于沿着h点处法向量的积分.因此由格林公式可得
故
证法2 由格林公式,可导出二重积分的分部积分公式
和
其中Ω是一平面区域,?Ω为Ω的正向边界
令A= , ; , 利用
上述公式,得到
.
由于在边界?D上, ,所以
上式=
证法3 利用两类曲线积分的关系,由第一类曲线积分与第二类曲线之间的联系可得
,
上式中 分别为该曲线在 处的法线 与 轴以及 轴之间的夹角,又设 处的切线与x轴正向夹角为 ,则有
由前面的讨论可知
上式中 相当于 沿着与坐标轴夹角为 的单位向量的方向导数并且其为 ,而 故
继而可得
现在来讨论这种一般形式的积分,可以得出一个基础定理.
定理一:设函数 在区域D: 上有二阶连续偏导数,且 存在,则
其中
继而可得
证明:
按照证法3的思路有
继而可得
其中
求
例2:(全国大学数学竞赛赛题) 是 上二次可微函数, 满足
,计算积分 .
解:根据定理一则
结语:本文研究一类基础习题得出一个非常漂亮的定理,值得考研学生以及一线教师借鉴.关于数学解题方法是有限的但是对于学术研究却是无限的.不少学生对高等数学表示头大,提供多种解题方法可以加深对基础概念的理解,提高学生对学习方面的热情.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.微积分(下册)(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2009
[2]华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2010
设函数 在区域D: 上有二阶连续偏导数,且 存在,则
其中
关键词:重积分 高等数学 积分计算
例1(北京市大学生数学竞赛赛题):设函数 在区域D: 上有二阶连续偏导数,且 ,证明:
证法1 利用极坐标,本题的关键,是把被积函数变化成所给等式左端的形式.在半径为 的圆周 上运用格林公式得
记 为半径是r的圆周, 为 包围的区域 , ,于是上式的内层积分,可看作是沿闭曲线 (逆时针方向)的曲线积分
于是有
由弧微分关系 ,且积分区域为0 ,因而 相当于沿着 的积分,积分方向为逆时针方向.以此上式中的积分区域 相当于 ,进而可得
其中 为 在点 处的法线方向向量,因而上式相当于沿着h点处法向量的积分.因此由格林公式可得
故
证法2 由格林公式,可导出二重积分的分部积分公式
和
其中Ω是一平面区域,?Ω为Ω的正向边界
令A= , ; , 利用
上述公式,得到
.
由于在边界?D上, ,所以
上式=
证法3 利用两类曲线积分的关系,由第一类曲线积分与第二类曲线之间的联系可得
,
上式中 分别为该曲线在 处的法线 与 轴以及 轴之间的夹角,又设 处的切线与x轴正向夹角为 ,则有
由前面的讨论可知
上式中 相当于 沿着与坐标轴夹角为 的单位向量的方向导数并且其为 ,而 故
继而可得
现在来讨论这种一般形式的积分,可以得出一个基础定理.
定理一:设函数 在区域D: 上有二阶连续偏导数,且 存在,则
其中
继而可得
证明:
按照证法3的思路有
继而可得
其中
求
例2:(全国大学数学竞赛赛题) 是 上二次可微函数, 满足
,计算积分 .
解:根据定理一则
结语:本文研究一类基础习题得出一个非常漂亮的定理,值得考研学生以及一线教师借鉴.关于数学解题方法是有限的但是对于学术研究却是无限的.不少学生对高等数学表示头大,提供多种解题方法可以加深对基础概念的理解,提高学生对学习方面的热情.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.微积分(下册)(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2009
[2]华东师范大学数学系.数学分析(下册)(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2010